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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%\makeatletter
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG CGRH}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG CGRH ~\decofourright\\Métropole--La Réunion septembre 2009}} 

%\vspace{1cm}

%La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A : Étude statistique préliminaire}

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous indique le prix de vente, en euros, d'une machine-outil et le nombre d'unités vendues de 2001 à 2006.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} 
%\multicolumn{1}{c|}{}&Prix en euros de la machine $\left(x_{i}\right)$&
%Nombre de machines vendues $\left(y_{i}\right)$ \\ \hline
%2001 &\np{1900}& 220 \\ \hline
%2002 &\np{2100} &200 \\ \hline
%2003 &\np{1400} &250 \\ \hline
%2004 &\np{2200} &190 \\ \hline
%2005 &\np{2400} &168 \\ \hline
%2006 &\np{2300} &186 \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Représenter, sur papier millimétré, le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$  dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 1~cm pour 100 ~\euro{} sur l'axe des abscisses, en démarrant la graduation à \np{1200} et 1~cm pour 10~machines sur l'axe des ordonnées, en démarrant la graduation à 100. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$. On donnera les coefficients $a$ et $b$ obtenus dans l'équation de la droite $y = ax + b$ où $a$ sera arrondi à $10^{- 2}$ près et $b$ à l'unité près.
La calculatrice donne : $y = - 0,08x + 364$. 
		\item %Construire la droite obtenue dans le repère de la question 1.
Voir la figure à la fin 
		\item %En utilisant la droite de régression, déterminer graphiquement ou par le calcul le nombre de machines que l'on peut espérer vendre lorsque le prix de vente d'une machine est fixé à 2800~\euro.
\emph{Graphiquement} : on trace la droite d'équation $x = \np{2800}$ qui coupe la droite de régression en un point dont on lit l'ordonnée : à peu près 140.

\emph{Par la calcul} : si $x = \np{2800}$, alors $y = -0,08 \times \np{2800} + 364 = -224 + 364 = 140$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : Étude approfondie à l'aide des fonctions}

\medskip
 
%On note $x$ le prix de vente unitaire d'une machine, $x$ compris entre \np{1200} et \np{3000}.
% 
%On suppose que le nombre $y$ de machines vendues s'exprime sous la forme \mbox{$364 - 0,08x$}. 
\begin{enumerate}
\item %On appelle $f(x)$ le montant total de la vente de $y$ machines. On définit ainsi une fonction $f$ dont on note la dérivée $f'$. Vérifier que : 
%\[f(x) = - 0,08x^2 + 364 x. \]
$x$ machines vendues à un prix de $364 - 0,08x$ donnent un montant des ventes de $x(364 - 0,08x) = 364x - 0,08x^2$.
\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $[\np{1200}~;~\np{3000}]$.
$f$ fonction polyn\^ome est dérivable sur $\R$ donc sur $[\np{1200}~;~\np{3000}]$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = 364 - 2 \times 0,08x = 364 - 0,16x$. 
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[\np{1200}~;~\np{3000}]$.
On a $f'(x) > 0 \iff  364 - 0,16x > 0 \iff 364 > 0,16 x \iff \dfrac{364}{0,16} > x \iff x < \np{2275}$.

Donc $f'(x) > 0$ sur [\np{1200}~;~\np{2275}[$.

De m\^eme $f'(x) < 0 \iff  364 - 0,16x < 0 \iff 364 < 0,16 x \iff \dfrac{364}{0,16} < x \iff x > \np{2275}$.

Donc $f'(x) < 0$ sur $[\np{2275}~;~\np{3000}[$.
\item %En déduire le prix de vente d'une machine pour que le montant total de la vente $f(x)$ soit maximal. Quel sera alors le montant de la vente et le nombre de machines vendues ?
La fonction croît de $f(1200)$ à $f(\np{2275}) = 364 \times \np{2275} - 0,08 \times \np{2275}^2 = \np{414050}$~(\euro), puis décroît de $f(\np{2275}) = \np{414050}$ à $f(\np{3000})$.

Le prix de vente maximal est donc \np{414050}~(\euro).

On aura vendu alors : $364 - 0,08 \times \np{2275} = 182$~machines.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.0075cm,yunit=0.075cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(1700,150)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=1200,Dx=100,Oy=100,Dy=10]{->}(0,0)(1700,150)
\uput[d](1700,0){$x$}\uput[l](0,150){$y$}
\psdots(700,120)(900,100)(200,150)(1000,90)(1200,68)(1100,86)
\psplot[linecolor=blue]{200}{1700}{168 0.08 x mul sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(1600,0)(1600,40)(0,40)
\multido{\n=0+100}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,150)}
\multido{\n=0+10}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(1700,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Quatre candidats A, B, C , D se présentent à une élection régionale.
% 
%Avant le scrutin, on a interrogé \np{1000}~personnes âgées de 18 à 90~ans s'étant prononcées sur leur intention de vote et ayant communiqué leur tranche d'âge.
% 
%On a obtenu le tableau de répartition suivant : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\backslashbox{\^Age}{Candidats des\\ électeurs}&A &B &C &D &Total \\ \hline% 
%[18~;~30[ &100 &50 &30 &20 &200 \\ \hline% 
%[30~;~50[& 150 &50 &20 &80 &300 \\ \hline% 
%[50~;~90] &50 &300 &50 &100 &500 \\ \hline% 
%Total &300 &400 &100 &200 &\np{1000} \\ \hline% 
%\end{tabularx}
%
%\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  %Quel est l'âge moyen des personnes interrogées qui ont l'intention de voter pour le candidat B ?
 
%\emph{On prendra les centres des classes d'âge pour effectuer le calcul.}
L'âge moyen est égal à :

$\dfrac{50 \times 24 + 50 \times 40 + 300 \times 70}{400} = \dfrac{\np{24200}}{400} = \dfrac{242}{4} = 60,5$. 
\item %On choisit une des \np{1000}~ personnes interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.
 
%\emph{On mettra tous les résultats sous forme décimale.}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
  
%J : \og la personne choisie appartient à la tranche d'âge [18~;~30[ \fg.
$p(\text{J}) = \dfrac{200}{\np{1000}} = 0,2$.
%B : \og la personne choisie a voté pour le candidat B \fg.
 
$p(\text{B}) = \dfrac{400}{\np{1000}} = 0,4$.
		\item %Traduire par une phrase l'évènement J ~$\cap~\overline{\text{B}}$ et calculer sa probabilité.
$p\left(\text{J} \cap \overline{\text{B}}\right) = \dfrac{100 + 30 + 20}{\np{1000}} = \dfrac{150}{\np{1000}} = 0,15$.
\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas voté pour le candidat B, sachant qu'elle est dans la tranche d'âge [18~;~30[.
Il faut calculer $p_{\text{J}}\left(\overline{\text{B}}\right) = \dfrac{p\left(\text{J} \cap \overline{\text{B}}\right)}{p(\text{J})} = \dfrac{0,15}{0,2} = \dfrac{15}{20} = 0,75
\medskip
 
%\textbf{Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
		\item  %Le résultat du calcul obtenu à la question 3. a. est-il cohérent avec celui qui a été obtenu à la question 1. ?
		
On a vu que l'âge moyen des votants pour le candidat B est de 60 ans et demi, donc des électeurs âgés. La probabilité pour qu'un jeune de moins de 30 ans ne vote pas pour le candidat B est donc faible : les résultats obtenus sont bien cohérents.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip
 
%Une petite ville des Pyrénées décide de relancer sa station de ski, en faisant certains investissements et de la publicité. Le directeur fait des prévisions. À l'aide d'un tableur, il construit le tableau suivant, donnant pour chaque saison de ski :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  le prix du forfait \og  journée \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$]le nombre de forfaits \og  journée \fg{} vendus; 
%\item[$\bullet~$]la recette correspondante.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Pendant la saison 2006/2007, il a été vendu \np{18540}~forfaits \og  journée \fg{} au prix de 16~euros  l'unité.
% 
%Le directeur de la station décide d'augmenter le prix du forfait de 1,20~\euro{} par an, jusqu'à la saison 2012/2013. Il obtient alors la suite des prix unitaires, en euros, notée $\left(u_{n}\right)$ en colonne C sur la feuille de calcul proposée ci-dessous. On a donc $u_{1} = 16$.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D&E  \\  \hline%
%1&Saison &Rang &Prix du \og forfait journée \fg{} en euros&Nombre de forfaits vendus&Recette en euros\\  \hline%
%2&2006/2007&1&16&\np{18540}&\np{296640}\\  \hline%
%3&2007/2008&2&17,2&\np{19003}&\np{326851,6}\\  \hline%
%4&2008/2009&3&&&\\  \hline%
%5&2009/2010&4&&&\\  \hline%
%6&2010/2011&5&&&\\  \hline%
%7&2011/2012&6&&&\\  \hline%
%8&2012/2013&7&&&\\  \hline%
%9&&&&TOTAL&\\  \hline%
%10&&&&&\\  \hline%
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip 

\textbf{PARTIE A: Étude de la suite \boldmath $\left(u_{n}\right)$ \unboldmath des prix du forfait \og journée \fg}
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser sa raison.
Si chaque année le prix augmente de 1,20~\euro, on a 
$u_{n+1} = u_{n} + 1,2$ : la suite $\left(u_{n}\right)$ est donc une suite arithmétique de raison 1,2 et de premier terme $u_{1} = 16$.
\item %Quelle est la formule à saisir en C3 et à recopier vers le bas pour compléter la colonne C ?
Formule : \fbox{~=C2+1,2~}. 
\item %Si on complétait le tableau jusqu'à la saison 2012/2013, quel serait le nombre obtenu dans la cellule C8 ?
On sait que $u_{n} = u_{1} + (n - 1)r = 16 + 1,2(n - 1)$, donc 

$u_{7} = 16 + 1,2 \times 6 = 23,20$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE B : Étude de la suite des nombres de forfaits \og journée \fg{} vendus}
 
\begin{enumerate}
\item  %Quel est, en pourcentage, le taux d'évolution du nombre de forfaits vendus entre les saisons 2006/2007 et 2007/2008? (on arrondira à 0,1\:\% près).
Le taux d'évolution du nombre de forfaits vendus entre les saisons 2006/2007 et 2007/2008 est égal à :

\dfrac{\np{19003} - \np{18540}}{\np{18540}}\times 100 \approx 2,5\,\%$ à 0,1\,\%.  
\item %Le directeur de la station suppose que chaque saison le taux d'augmentation sera celui trouvé à la question précédente et obtient ainsi en colonne D la suite notée $\left(v_{n}\right)$ des nombres de forfaits vendus.

%On a donc $v_{1} = \np{18540}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la formule à saisir en D4 et à recopier vers le bas pour compléter la colonne D ?
Pour passer d'un rang au suivant on multiplie par 1,025 ; on a donc 

$v_{n+1} = v_{n} \times 1,025$ : la suite  $\left(v_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison 1,025, de premier terme $v_{1} = \np{18540}$.

La formule est donc : \fbox{~D3*1,025~}
		\item %Quel serait alors le nombre obtenu dans la cellule D8 ?
On sait que $v_{n} = v_{1}\times q^{n-1} = \np{18540} \times 1,025^{n - 1}$, donc $v_{7} = \np{18540} \times 1,025^{7 - 1} \approx \np{21500,72}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE C: Étude de la recette}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la formule à saisir en E2 et à recopier vers le bas dans la plage E3\negthinspace:E8 ?
Il faut multiplier le nombre de forfaits journée par le prix du forfait. La formule est donc : \fbox{~=C2*D2~}. 
\item %Quelle formule peut-on saisir en E9 afin de calculer la recette totale des 7 saisons ?
Formule : \fbox{~=SOMME(E2\negthinspace:E8)~}. 
\end{enumerate}

\end{document}