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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{C. G. R. H.}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Corrigé du baccalauréat STG CGRH   \decofourright\\Polynésie juin 2010}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
%\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
%\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip
 
%Le tableau suivant donne le taux d'inflation annuel des prix en Argentine depuis l'année 2000 : 
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\begin{tabular}{l}Année\\\end{tabular}&2000&2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007&2008\\ \hline
%\begin{tabular}{l}
%Taux d'inflation\\ en pourcentage\\ \end{tabular}&$-2$&$-0,9$&4&41&13,4&6,1&9,6&9,8&8,5\\ \hline
%\multicolumn{10}{r}{\emph{Source : GIA Wodd Fadbook}}
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
% 
%On considère une marchandise produite en Argentine dont la valeur au 01/01/2000 était \np{1500}~euros.
%
%On admet que chaque année le taux d'évolution de la valeur de cette marchandise est égal au taux d'inflation en Argentine.
% 
%Par exemple  le taux d 'évolution de la valeur de cette marchandise entre le 01/01/2000 et le 01/01/2001 
%était $-2$\,\%.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur de la  marchandise le 01/01/2001 puis la valeur de cette marchandise le 01/01/2002.
Le  01/01/2001 la valeur était de $\np{1500}\times \left(1 - \dfrac{2}{100}\right) = \np{1500} \times 0,98 = \np{1470}$.

Le 01/01/2002 la valeur était de $\np{1470}\times \left(1 - \dfrac{0,9}{100}\right) = \np{1500} \times 0,991 = \np{1456,77}$.
		\item %Calculer, en pourcentage, à 0,1\,\% près, le taux d'évolution global de la valeur de la marchandise au cours des deux années comprises entre le 01/01/2003 et le 01/01/2005.
Les prix ont été multipliés la première année par 1,41 et la seconde par $1,134$, donc sur les deux ans par $ 1,41 \times 1,134 = \np{1,58984}$ soit une augmentation d'environ 59,9\,\%.
%Sur la période de deux ans la valeur est passée de \np{1500} à \np{1456,77} soit une baisse de $\dfrac{\np{1500} - \np{1456,77}}{\np{1500}} \times 100 = 2,882$~\,\?.


		\item %Calculer, en pourcentage, à 0,1\,\% près, le taux annuel moyen  d'évolution de la valeur de la marchandise entre le 01/01/2003 et le   01/01/2005.
%De 2003 à 2005 le prix a été multiplié par 1,41 puis par 1,134 soit en tout par \np{1,59894} soit un taux annuel d'augmentation $t'$ tel que :
Si $t$ est le taux annuel sur la période de deux ans on a :

$(1 + t)^2 = 1,599$ ou $(1 + t)^2 = \np{0,97118}$ soit $1 + t = 1,599^{1/2}$ et enfin $t = 1,599^{1/2} - 1 \approx 0,264$ soit un taux moyen annuel d'environ 26,4\,\%$.
%$(1 + t')^2 = \np{1,59894}$, d'où $1 + t' = \np{1,59894}^{1/2}$ et enfin $t' = \np{1,59894}^{1/2} - 1 \approx \np{0,264492}$ soit un taux annuel de 26,4\,\%.		
	\end{enumerate} 
\item On prend pour base 100 la valeur de la marchandise le 01/01/2007.
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant avec les indices arrondis au dixième :
		
		\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Date& 01/01/2006& 01/01/2007 & 01/01/2008 & 01/01/2009 \\ \hline
Indice&91,2&100&109,8&119,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item %Quel est le taux d'évolution global de la valeur de la marchandise entre le 01/01/2007 et le 01/01/2009 ?
		L'indice est passé de 100 à 119,1 ce qui correspond à une augmentation en deux ans de 19,1\,\%.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
%Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.\\ 
%Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ 
%Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Une reponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point}
%
%\medskip 
%
%Pour les questions 1. et 2. on considère le tableau ci-dessous qui donne les résultats du baccalauréat 
%des 160 élèves  élèves des classes terminales d'un lycée suivant la série :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&Terminale S & Terminale ES & Terminale STG & Total\\ \hline 
%Admis &63  &28&56 &147\\ \hline 
%Refusés& 7 & 4  &2 &13\\ \hline 
%Total&  70 &32 &58&160\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
%
%Les résultats de chaque élève sont reportés dans son dossier scolaire. Après la publication des résultats,  on choisit au  hasard le dossier d'un élève de classe terminale de ce lycée. Tous les dossiers ont la même 
%probabilité  d'être choisis. 
%
%On note 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $A$ l'évènement \og le dossier choisi est celui d'un élève admis \fg, 
%\item[] $S$ l'évènement \og le dossier choisi est celui d'un élève de Terminale S \fg, 
%\item[] $G$ l'évènement \og le dossier choisi est celui d'un élève de Terminale STG \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  %La valeur arrondie au centième de la probabilité de l'évènement $A \cap S$ est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~ 0,39&\textbf{b.}~~0,43 &\textbf{c.}~~ 0,9 &\textbf{d.}~~0,92\\
%\end{tabularx}
On a $p(A \cap S) = \dfrac{63}{160} = 0,39$.
\medskip
 
\item %La valeur arrondie au centième de la probabilité que le dossier choisi soit celui d'un élève admis  sachant qu'il s'agit du dossier d'un élève de terminale STG est :
Sur 58 élèves de terminale STG, 56 sont admis, donc :

$p_{G}(A) = \dfrac{56}{58} = \dfrac{28}{29}\approx 0,97$.
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~ 0,35&\textbf{b.}~~0,38 &\textbf{c.}~~ 0,97 &\textbf{d.}~~0,36\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 

%Pour les questions 3. et 4., répondre à l'aide du graphique ci-dessous :  $\mathcal{C}$ est la courbe représentative  d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~9]. La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A(2~;~3) et elle passe par le point de coordonnées (0~;~ 2).
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(10,7)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.9,-0.9)(10,7)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{0}{9}{x 1.5 add x dup mul 0.125 mul sub}
%\psplot{0}{9}{0.5 x mul 2 add}
%\psgrid[gridlabels=0pt,linewidth=0.5pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-1)(10,7)
%\uput[ul](2,3){A}\uput[u](7,2.4){$\mathcal{C}$}\uput[u](7,5.5){$\mathcal{D}$}
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O} 
%\end{pspicture}
%\end{center} 

\item  %Le nombre dérivé de la fonction $f$ en 2 est :
Le nombre dérivé de la fonction $f$ en 2 est égal à la pente de dla tangente au point (2~;~3). On lit cette pente en allant de A(2~ ;~3) au point (4~;~4) soit $\dfrac{4 - 3}{4 - 2} = \dfrac{1}{2} = 0,5$.
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~ 3&\textbf{b.}~~2 &\textbf{c.}~~ 1,5 &\textbf{d.}~~0,5\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip  

\item  %Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 3$ sur l'intervalle [0~;~ 9] est :
Il y a deux points de $\mathcal{C}$ d'ordonnée 3 : le point A d'abscisse 2 et le point d'abscisse 6.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~ 0&\textbf{b.}~~1 &\textbf{c.}~~2 &\textbf{d.}~~3\\
%\end{tabularx}

\medskip  

\item %Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = x^3 - 5x + 4$.

%La fonction dérivée  de la fonction $f$ est définie par :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~$f'(x) = 3x^2 - 1$&\textbf{b.}~~$f'(x) = 3x^2 - 5$&\textbf{c.}~~$f'(x) = 3x - 5$&\textbf{d.}~~$f'(x) = 2x - 5$\\
%\end{tabularx}
On a $f'(x) = 3x^2 - 5$.
\medskip  

\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

%Vincent veut emprunter \np{2500}~\euro{} pour un achat. Le vendeur lui propose de choisir entre deux formules de crédit sur 12 mois.
%
%\medskip
% 
%\textbf{Proposition 1 :}  la première mensualité est de 400~\euro, et chaque mois  les mensualités suivantes  diminuent de 30~\euro{} par rapport au mois précédent.
% 
%\textbf{Proposition 2 :} La première mensualité est de 400~\euro{} et chaque mois, les mensualités suivantes diminuent de 10\,\% par rapport au mois précédent.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie I}

\medskip
 
%Vincent utilise un tableur pour comparer les deux propositions et on donne ci-dessous un extrait de  la feuille de calcul qu'il a créée :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0,8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%	&A 						&B &C\\ \hline
%1	&						&1\up{re} proposition&2\up{e} proposition\\ \hline
%2	&1\up{re} mensualité	&400	&400\\ \hline
%3	&2\up{e} mensualité				&370	&360\\ \hline
%4	&3\up{e} mensualité 	&		&\\ \hline
%5	&4\up{e} mensualité		&		&\\ \hline 
%6	&5\up{e} mensualité		&		&\\ \hline
%7	&6\up{e} mensualité		&		&\\ \hline
%8	&7\up{e} mensualité		&		&\\ \hline
%9	&8\up{e} mensualité		&		&\\ \hline
%10	&9\up{e} mensualité		&		&\\ \hline
%11	&10\up{e} mensualité	&		&\\ \hline
%12	&11\up{e} mensualité	&		&\\ \hline
%13	&12\up{e} mensualité	&		&\\ \hline
%14	&TOTAL					&		&\\ \hline
%15	&						&		&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule, à recopier dans la plage B4~:~B13, Vincent peut-il saisir dans la cellule B3 ?
		Formule : \fbox{~=B2$-$30~} 
		\item %Quelle sera alors la valeur de la cellule B4 ?
En B4, il y aura $370 - 30 = 340$.
 	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule, à recopier dans la plage C4~:~C13, Vincent peut-il saisir dans la cellule C3 ?
Diminuer de 10\,\%, c'est multiplier par $1 - \dfrac{10}{100} = 1 - 0,1 = 0,9$.

La formule est donc : \fbox{~=C2*0,9~} 
		\item %Quelle sera alors la valeur de la cellule C4 ?
En C4, il y aura : $360 \times 0,9 = 324$.
	\end{enumerate} 
\item %Quelle formule Vincent peut-il saisir dans la cellule B14 pour obtenir le montant total des 12 mensualités de la proposition 1 ?
Formule : \fbox{~=SOMME(B2\negthinspace:B13)~}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On note $u_{n}$ le montant de la $n$-ième mensualité dans la proposition 1.
 
%Ainsi on a : $u_{1} = 400$ et $u_{2} = 370$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature et la raison de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Chaque mois la mensualité baisse de 30~\euro. Donc $u_{n+1} = u_{n}  - 30$, donc la suite  $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- 30$ et de premier terme $u_{1} = 400$.
		\item %Calculer le terme $u_{13}$.
$u_{13}$ correspond à 12 baisses de 30~\euro, donc $u_{13} = 400 - 12 \times 30 = 400 - 360 = 40$.
	\end{enumerate} 
\item %On note $v_{n}$ le montant de la $n$-ième mensualité dans la proposition 2.
 
%Ainsi on a : $v_{1} = 400$ et $v_{2} = 360$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature et la raison de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
Chaque mois la mensualité baisse de 10\,\%, donc est ultipliée par $0,9$.
On a donc $v_{n+1} = v_{n} \times 0,9$. La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 0,9$ et de premier terme $v_{1} = 400$.
		\item %Calculer le terme $v_{12}$ au centième près.
$v_{12}$ est la mensualité après 11 baisses, donc 11 produits par 0,9.

On a donc $v_{12} = 400 \times 0,9^{11} \approx 125,52$~(\euro)
 	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}
 
%Déterminer quelle est la proposition la plus avantageuse pour Vincent.
Avec la première formule Vincent versera :

$400 + 370 + 340 + \cdots + 70 = 12 \times \dfrac{u_{1} + u_{12}}{2} = \np{2820}$~(\euro).

Avec la seconde  Vincent versera :

$400 + 370 + 360 + \cdots + 125,52 = 400 \times \dfrac{1 - 0,9^{12}}{1 - 0,9} \approx  \np{2870,28}$~(\euro).

La formule la plus avantageuse est la première.
\end{enumerate}
\end{document}