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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\makeatletter
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG CGRH}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie~\decofourright\\ septembre 2009}} 

\vspace{1cm}

%La calculatrice est autorisée.
%
%\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

%Sophie et Jean Durand veulent acheter une maison.
% 
%Leurs économies ne suffisant pas, ils ont besoin d'emprunter \np{150000}~\euro.
% 
%Afin d'obtenir les meilleures conditions pour leur prêt, ils ont contacté plusieurs banques ; deux d'entre elles attirent particulièrement leur attention :
% 
%La banque AA leur propose de rembourser le prêt sur 20~ans, avec des remboursements mensuels fixes de \np{1047}~\euro.
% 
%La banque BB leur propose également de rembourser le prêt sur 20~ans, mais aux conditions suivantes :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  la première année, chaque remboursement mensuel sera de $\np{1200}$~\euro. 
%\item les années suivantes, les remboursements mensuels seront à chaque fois en baisse de 2\,\% par rapport aux  remboursements mensuels de l'année précédente.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie 1 : Proposition de la banque BB} 

\medskip 
 
%On note $u_{n}$ le montant,  en euros, d'un remboursement mensuel au cours de la $n$-ième année de remboursement. On a donc $u_{1} = \np{1200}$. 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{2}$ puis $u_{3}$.
On a $u_{2} = u_{1}\left(1 - \dfrac{2}{100} \right) = 0,98u_{1} = 0,98 \times \np{1200} = \np{1176}$.

De m\^eme $u_{3} = 0,98u_{2} = 0,98 \times \np{1176} = \np{1152,48}$.
\item %Montrer que la suite $\left(u_{n}\rightn)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Retrancher 2\,\% chaque année revient à multiplier par $0,98$, donc pour $n > 1,~u_{n+1} = 0,98u_{n}$ : cette égalité montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,98$ et de premier terme $u_{1} = \np{1200}$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie II : Utilisation d'un tableur}

\medskip
 
%Afin de mieux visualiser les propositions des banques AA et BB, Sophie et Jean créent une feuille de calcul à l'aide d'un tableur.
% 
%On en donne un extrait ci-dessous :
%
%\medskip 
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A &B &C \\ \hline
%1&Année $n$ de remboursement &
%Montant (en \euro) du remboursement mensuel lors de la $n$-ième année {}&Montant (en \euro) du remboursement mensuel $u_{n}$ lors de la. $n$-ième année{}  \\
%		&			&Banque AA	&Banque BB\\ \hline
%2		& 1 		&1047 		&1200 \\ \hline
%3		& 2 		&1047 		&\\ \hline
%4		&3 			&1047 		&\\ \hline
%$\vdots$&$\vdots$	&$\vdots$ 	&$\vdots$\\ \hline 
%21 		&20 		&\np{1047}	& \\ \hline
%\end{tabularx} 

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle formule, destinée à être recopiée sur la plage C4\negthinspace:C21 Sophie et Jean peuvent-ils écrire dans la cellule C3 ? 
Formule : \fbox{=~C2*0,98~}.
\item %Calculer la valeur de la cellule C21. On arrondira le résultat à 0,01 près.
On sait que $u_{n} = u_{1}\times q^{n-1} = \np{1200}\times 0,98^{n-1}$.

Donc pour $n = 20,~u_{20} = \np{1200} \times 0,98^{19} \approx 817,48$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III : Comparaison des deux propositions}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer le montant total des remboursements sur les 20~ans si Sophie et Jean s'engagent avec la banque AA.
Ils rembourseraient à la banque AA :

$20 \times 12 \times \np{1047} = \np{251280}$~(\euro). 
\item %Calculer le montant total des remboursements sur les 20~ans si Sophie et Jean s'engagent avec la banque BB.
Ils rembourseraient à la banque BB :

$\np{1200}\times \dfrac{1 - 0,98^{24}}{1 - 0,98} \times 12 \approx \np{276638,16}$~(\euro). (donc plus qu'à la banque AA)
\end{enumerate}

 
%Formulaire : La somme $S$ des $N$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $b \neq 1$ est donnée par : 
%\[S = u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{N} = u_{1} \times \dfrac{1 - b^N}{1 - b}.\]
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip
 
%Depuis quelques années, les  Français sont de plus en plus nombreux à préférer acheter une voiture à moteur diesel plutôt qu'une voiture à essence.
% 
%Le tableau ci-dessous indique l'évolution de la part des voitures diesel par rapport aux immatriculations françaises totales entre 1990 et 2005.
% 
%$x_{i}$ représente le rang de l'année et $y_{i}$ la  part des voitures diesel, exprimée en pourcentage.
%
%\bigskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.75cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année&\small 1990 &\small 1996 &\small  1997 &\small 1998&\small  1999&\small 2000 &\small 2001 &\small 2002&\small 2003 &\small 2004 &\small 2005\\ \hline% 
%Rang $x_{i}$& 0 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 & 13 &14 &15 \\ \hline% 
%Pourcentage des voitures diesel $y_{i}$ (arrondi à l'unité) &33 &40 &42&40 &44 &49 &55 &63 & 67 &69&69\\ \hline% 
%\multicolumn{12}{r}{\emph{(Données : Red Business Information)}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}
 
\begin{enumerate}
\item  %Calculer le taux d'augmentation global, entre les années 1990 et 2005, de la part des voitures diesel dans les immatriculations françaises totales.
Le taux est égal à : $\dfrac{69 - 33}{33}\times 100 = \dfrac{36}{33} \times 100 \approx 109,1\,\%$. 
\item %En déduire le taux d'augmentation annuel moyen sur cette même période.
Si $t$ est le taux annuel moyen, alors :

$(1 + t)^{15} = 1 + 1,091$ ou $(1 + t)^{15} = 2,091$ soit 

$1 + t = 2,091^{1/15}$ et enfin $t = 2,091^{1/15} - 1 \approx 0,05$ soit environ 5\,\%.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Sur une feuille de papier millimétré que l'on prendra en format paysage, représenter dans un repère orthogonal \Oij{} du plan, le nuage des points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
 
%On prendra comme unités graphiques 1~cm pour une unité en abscisses et 1~cm pour  dix unités en ordonnées.
 
\item %Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage, puis placer $G$ sur le graphique précédent. 
On a G(9,55~;~51,54)
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner sans justification une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les résultats seront arrondis au dixième.
La calculatrice donne $y = 2,9x + 24,6$ 
		\item  %On notera $\mathcal{D}$ cette droite de régression. Tracer $\mathcal{D}$ dans le repère précédent.
Voir la figure plus bas.
	\end{enumerate} 
\item %Dans cette question on utilise la droite $\mathcal{D}$ pour modéliser l'évolution du pourcentage des immatriculations des voitures diesel pour les années à venir. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer graphiquement, ou par le calcul une estimation du pourcentage du pourcentage des  immatriculations françaises correspondant aux voitures diesel en 2010.
		Par le calcul : si $x = 20$, alors $y = 2,9 \times 20 + 24,6 = 58 + 24,6 = 82,6$. 
		\item  %Calculer le pourcentage des immatriculations françaises correspondant aux voitures diesel en 2020.
Si $x = 30$, alors $y = 2,9 \times 30 + 26,4 = 87 + 26,4 = 113,4$~(\,\%) résultat idiot car dépassant 100\,\%.

Ceci montre que la droite $\mathcal{D}$ ne peut pas modéliser le pourcentage de véhicules diesel, le résultat pour 2010 étant déjà sujet à caution.		 
%Comment interpréter ce résultat ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

%Dans un lycée, le regroupement des élèves de Terminale STG selon leur spécialité et le choix de leur langue vivante 1 est donné dans le tableau ci-dessous :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.75cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%			&Anglais&Italien & Espagnol & Total\\ \hline% 
%CGRH		& 15	&12	& 9 &36  \\ \hline%
%Mercatique 	& 21 	&15 &18 &54   \\ \hline%
%CFE			& 15 	&21 &9  &45   \\ \hline%
%GSI			&6 		&6 	&3 	&15   \\ \hline%
%Total		&57		&54	&39 &150   \\ \hline%
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%On choisit au hasard un élève parmi les 150 élèves  de Terminale STG. On admet que tous les élèves ont la même probabilité d'être choisis.
% 
%On définit les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $C$ : \og L' élève choisi est en spécialité CGRH \fg
%\item[] $I$ : \og L'élève choisi étudie l'italien en LV 1 \fg 
%\item[] $M$ : \og L'élève choisi est en spécialité Mercatique \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  %Calculer les probabilités $P(C)$ et $P(I)$ respectivement des évènements $C$ et $I$.
$P(C) = \dfrac{36}{150} = \dfrac{12}{50} = \dfrac{24}{100} = 0,24$.

$P(I) = \dfrac{54}{150} = \dfrac{18}{50}  = \dfrac{36}{100} = 0,36$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Définir par une phrase l'évènement  $C \cap I$ puis calculer sa probabilité. 
$C \cap I$ désigne l'évènement : \og l'élève choisi est en spécialité CGRH et étudie l'italien en LV1 \fg.
		\item  %Calculer la probabilité $P(C \cup I)$.
$P(C \cup I) = P(C) + P(I) - P(C \cap I) = 0,24 + 0,36 - \dfrac{12}{150} = 0,60 -  0,08 = 0,52$.
	\end{enumerate}  
\item %Calculer la probabilité $P_{I}(C)$. Que représente-t-elle ?
$P_{I}(C) = \dfrac{P(C \cap I)}{P(I)} = \dfrac{0,08}{0,36} = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9} \approx 0,22$.

C'est la probabilité de choisir un élève de CGRH sachant qu'il fait de l'italien. (Sur les 54 faisant de l'italien, 12 sont en CGRH, la probabilité est donc de $\dfrac{12}{54} = \dfrac{2}{9}=  \ldots)$ 
\item %Les évènements $I$ et $M$ sont-ils indépendants ? Expliquer la réponse.
On a $P(M) = \dfrac{54}{150} = \dfrac{18}{50} = \dfrac{36}{100} = 0,36$.

$P(M \cap I) = \dfrac{15}{150} = \dfrac{1}{10} = 0,1$.

$P(M) \times P(I) = 0,36 \times 0,36 = \np{0,1296}$.

Donc $P(M) \times P(I) \neq  P(M \cap I)$ : les évènements $M$ et $I$ ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(15,80)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(15,80)
\uput[d](15,0){$x$}\uput[l](0,80){$y$}
\psdots(0,33)(6,40)(7,42)(8,40)(9,44)(10,49)(11,55)(12,63)(13,67)(14,69)(15,69)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](9.55,51.54) \uput[u](9.55,51.54){G}
\psplot[linecolor=blue]{0}{15}{2.9 x mul 24.6 add}\uput[d](1.5,28){$\mathcal{D}$}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}