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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG CGRH}
\lfoot{\small{correction Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie~\decofourright\\ septembre 2011\hspace{1cm}Correction}} 

\vspace{1cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

En 2009, l'étude de la fréquentation d'un site P2P (pair-à-pair) québécois donne les résultats suivants : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{3.665cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
\backslashbox{Nationalité}{Âge} &Québécois & Non québécois&Total\\ \hline 
compris entre 20 et \phantom{xxxx} 29 ans& \np{25667}& \np{75907}&\np{101574}\\ \hline 
inférieur à 19 ans ou supérieur à 30 ans &\np{36032}& \np{97268}&\np{133300}\\ \hline
Total&\np{61699}&\np{173175}&\np{234874}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 Le tableau précédent est complété par les marges.
 
On choisit au hasard un utilisateur répertorié sur le site P2P.  
On note Q et A les événements suivants : 

Q : \og l'utilisateur est québécois \fg{};
 
A : \og l'âge de l'utilisateur est compris entre 20 et 29 ans\fg{}.
 
 L'univers est l'ensemble des utilisateurs du site P2P. La loi mise sur cet univers est la loi équirépartie, la probabilité d'un événement A est définie par $P(\text{A})=\dfrac{\text{\small nombre d'éléments de A }}{\text{\small nombre d'eléments de } \Omega}$. Le nombre d'éléments de $\Omega$ est \np{234874}.
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculons la probabilité de l'événement Q.  Les Québécois fréquentant le site sont au nombre de \np{61699},

\mbox{ $P(\text{Q})=\dfrac{\np{61699}}{\np{234874}}\approx \np{0.26}$ }.
\item Calculons la probabilité de l'événement A $~\cap~$ Q. Les Québécois fréquentant le site, âgés entre  20 et 29 ans, sont au nombre de \np{25667}, 

$P(\text{A}\cap \text{Q})=\dfrac{\np{25667}}{\np{234874}}\approx\np{0.11}$. 
\item Calculons la probabilité de l'événement A sachant que l'événement Q est réalisé.

 $P_{\text{Q}}(\text{A})=\dfrac{P(\text{A}\cap \text{Q})}{P(\text{Q})}=\dfrac{\np{0.11}}{\np{0.26}}\approx\np{0.42}$
\item L'âge de l'utilisateur choisi n'est pas compris entre 20 et 29 ans.
 
Calculons la probabilité qu'il soit québécois. L'univers ici est l'ensemble des personnes dont l'âge est inférieur à 19 ans ou supérieur à 29 ans. La probabilité mise sur cet univers est aussi l'équiprobabilité. 
  Le nombre d'éléments de cet univers est \np{133300} et le nombre d'utilisateurs québécois dont l'âge est inférieur à 19 ans ou supérieur à 29 ans est \np{36032}.

  La probablité est  $\dfrac{\np{36032}}{\np{133300}}\approx\np{0.27}$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip 

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Monsieur Économe décide de se constituer une épargne. Le 1\up{er} juillet 2011, il déposera sur un compte rémunéré au taux annuel de 2,5\,\% la somme de 500~\euro. Ensuite, le 1\up{er} juillet de chacune des années suivantes, il déposera 100~\euro{} sur ce compte.
 
On a reproduit ci-dessous une feuille de calcul réalisée à l'aide d'un tableur, qui donne la valeur, au centime d'euro près, du capital qui sera acquis par Monsieur Économe au 1\up{er} juillet de chaque année jusqu'en 2015. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 					&B 			&C 			&D 			&E 			&F\\ \hline
1 	&Date 				&\footnotesize 01/07/2011 &\footnotesize 01/07/2012 &\footnotesize 01/07/2013 &\footnotesize 01/07/2014 &\footnotesize 01/07/2015\\ \hline 
2	& Valeur en \euro 	&500 		&612,50 	&727,81 	&846,01 	&967,16\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item  \`A une évolution au taux de \np{2.5}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.025}.
	\begin{enumerate}
		\item  La valeur du capital au 01/07/2012 est obtenu en effectuant $500\times \np{1.025}+100$.
		\item  La valeur du capital au 01/07/2016 après le dépôt de 100~\euro{} est : $\np{967.16}\times \np{1.025}+100=\np{1091.34}$.
	\end{enumerate} 
\item  Dans la cellule C2 pour que, en recopiant vers la droite, on obtienne les valeurs indiquées dans la ligne 2, nous devons saisir  \fbox{=B2*1,025+100} ou \fbox{=B\$2*1,025+100}.
\item Calculons le taux moyen annuel de l'évolution du capital de M. Économe entre le 01/07/2011 et le 01/07/2015. 

 Déterminons le coefficient multiplicateur global, CMG, entre le 01/07/2011 et le 01/07/2015. 
 
CMG=$\frac{\np{967.16}}{500}\approx\np{1.93432}$. Si $t$ est le taux moyen d'évolution, son capital à chaque évolution est multiplié par $(1+t)$.

 Entre le 01/07/2011 et le 01/07/2015, il y a eu 4 évolutions, il a donc été multiplié par $(1+t)^4$. $(1+t)^4=\np{1.93432}$ d'où 

$t=(1,93432)^{\tfrac{1}{4}}-1\approx \np{0.18}$. Le capital a augmenté environ de 18\,\% par an.



\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip
 
Monsieur Économe veut maintenant calculer les montants des capitaux qu'il obtiendra chaque année s'il n'effectue qu'un seul versement initial d'un montant de 800~\euro{} le 1\up{er} juillet 2011 sur ce compte rémunéré au taux annuel de 2,5\,\%.
 
On note $u_{n}$ le capital acquis au 1\up{er} juillet de l'année $2011 + n$. Ainsi $u_{0} = 800$. 
\begin{enumerate}
\item  $u_{1}= 800\times \np{1.025}=820$. 
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique car chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par \np{1.025}.

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. 

Il en résulte  $u_{n}=800\times (\np{1.025})^n$  pour tout entier naturel $n$. 
\item  Au 01/07/2015 $n=4$, par conséquent calculons $u_4$. $u_4=800\times (\np{1.025})^4\approx \np{883.05}$. Le capital acquis à la même date grâce au placement de la Partie 1 est supérieur à celui acquis grâce à ce placement. 
\item En 2021 le capital acquis dépassera pour la première fois \np{1000}~\euro{} avec cette deuxième formule de placement. En effet $u_{9}=\np{999.09}$ et $u_{10}=\np{1024.07}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip  

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ tracée sur l'\textbf{annexe} est la représentation graphique, dans un repère du plan, d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3~;~8]$. \textbf{Cette annexe est à rendre avec la copie}.

\bigskip
 
\textbf{Partie I}
 
Les questions de cette partie seront traitées par lecture sur la courbe donnée en annexe. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Complétons le tableau de valeurs suivant : 

\medskip
\begin{center}\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& $-3 $&0&3\\ \hline
$f(x)$&\textcolor{red}{$-6$}&\textcolor{red}{1,5}&\textcolor{red}{0}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 Nous lisons l'ordonnée des points de la courbe dont on  nous a donné l'abscisse.

\item L'ensemble des solutions de  l'équation $f(x) = -1$ avec la précision permise par le graphique est $\left\{ \np{-1.4}~;~\np{3.6}~;~ \np{6.4} \right\}$. 
 Nous lisons les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y=-1$.
\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Dressons le tableau de signe de la fonction $f^{\prime}$ sur l'intervalle $[-3~;~8]$. 

Si la fonction $f$ est croissante sur I, alors $f' >0$ sur I et si la fonction $f$ est décroissante sur I, $f'<0$ sur I

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,1)
\psline[linewidth=0.1mm](0,0.5)(8,0.5) 
\psline[linewidth=0.1mm](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=0.1mm](0,1)(8,1) 
\psline[linewidth=0.1mm](0,0)(8,0)
\psline[linewidth=0.1mm](0,0)(0,1)
\psline[linewidth=0.1mm](8,0)(8,1)
\uput[u](0.5,0.45){$x$}  \uput[u](1.25,0.45){$-3$}\uput[u](7.75,0.45){$8$}\uput[u](5.75,0.45){$5$}\uput[u](3.5,0.45){$1$}
\uput[u](0.45,-0.05){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.6,0.01){$+$}\uput[u](6.6,0.01){$+$}\uput[u](4.6,0.01){$-$}
\rput(3.5,0.25){$0$} \rput(5.75,0.25){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II}

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[-3~;~8]$ par 

\[g(x) = 0,5x^2 - x - 1,5.\]

\begin{enumerate}
\item On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-3~;~8]$, $g^{\prime}(x)=0,5(2x)-1=x-1$. 
		\item Déterminons le signe de $g^{\prime}(x)$ sur l'intervalle $[-3~;~8]$. $x-1>0 \iff x>1$.
		
		Si $x\in[-3~;~1[\ g^\prime(x)<0$ et si $ x\in]1~;~8]\ g^\prime(x)>0 $
		
		Déterminons le sens de variation sur $[-3~;~8]$
		
Si pour tout $x\in I,\ f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Pour $ x\in]1~;~8]\ g^\prime(x)>0 $,  par conséquent $g$ est strictement croisssante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I \ f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

 Pour $ x\in[-3~;~1[\ g^\prime(x)<0 $,  par conséquent $g$ est strictement décroisssante sur cet intervalle.

 Dressons le tableau de variation de la fonction $g$ sur cet intervalle.
	\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
%\psgrid
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.15,2.45){$-3$}\uput[u](7.75,2.45){$8$}
\uput[u](4.5,2.45){$1$}\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}$}\uput[u](2.6,2){$-$}\uput[u](6.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$}
\uput[u](4.5,1.9){$0$} \uput[d](1.25,2){$6$}\uput[u](4.5,0){$-2$}\uput[d](7.62,2){$6$}
\psline{->}(1.3,1.5)(4.3,0.6)  \psline{->}(4.7,0.6)(7.3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
	
	\end{enumerate} 
\item Complétons le tableau de valeurs suivant:

\medskip
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&$-3$	&$-2$	&$-1$	&0	& 1	&  2& 3 &4 	&5 \\ \hline
$g(x)$	&\textcolor{red}{6}	&\textcolor{red}{2,5}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{$-1,5$}	&\textcolor{red}{$-2$}&\textcolor{red}{$-1,5$}	&\textcolor{red}{0}	&\textcolor{red}{2,5}	&\textcolor{red}{6}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\item On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère. La courbe $\mathcal{C}_{g}$ est tracée dans le m\^eme repère que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ sur l'annexe. 
\item Résolvons par lecture graphique l'inéquation $g(x) \leqslant f(x)$.

 Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des points pour lesquels la courbe $\mathcal{C}_g$ est en dessous de $\mathcal{C}_f$ ou en lesquels les courbes se coupent.

 Nous lisons l'intervalle $\left[-1~;~3\right]$
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

Courbe $\mathcal{C}_{f}$ de l'exercice 3 
 
\vspace{0,5cm}
 
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-4,-7)(9,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-7)(9,6)
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 1 add 3 x sub mul 2 div}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{8}{x 3 sub x 7 sub mul 2 div}
\psplot[plotpoints=600, linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{5}{  x  2 exp  0.5 mul 1.5 sub x sub}
\rput(-3.2,5.5){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}