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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG CGRH}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie~\decofourright\\13 septembre 2012}} 

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Les résultats d'une étude sur l'énergie éolienne en France de 2000 à 2010 sont donnés dans le tableau ci-dessous. La \og capacité en MW \fg{} est la quantité annuelle d'électricité fournie par l'ensemble du parc éolien, exprimée en mégawatts et arrondie à l'unité. Le \og pourcentage d'évolution \fg{} est le taux d'évolution de la capacité par rapport à celle de l'année précédente.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &Capacité en MW& Pourcentage d'évolution\\ \hline 
2000 &68&\\ \hline 
2001 &95 		&+ 39,71\,\% \\ \hline
2002 &148 		&+ 55,79\,\%\\ \hline 
2003 &248 		&\\ \hline
2004 &386 		&+ 55,65\,\% \\ \hline
2005 &757 		&+ 96,11\,\%\\ \hline 
2006 &			& + 107,00\,\% \\ \hline
2007 &\np{2455} &+ 56,67\,\%\\ \hline 
2008 &\np{3404} &+ 38,66\,\%\\ \hline 
2009 &\np{4492} &+ 31,96\,\% \\ \hline
2010 &\np{5660} &+ 26,00\,\%\\ \hline 
\multicolumn{3}{r}{\emph{Source : www.thewindpower.net}}\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, les résultats donnés en pourcentage seront arrondis au centième.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution de la capacité de 2002 à 2003, exprimé en pourcentage. 
		\item Calculer la capacité en MW de l'année 2006, arrondie à l'unité.
	\end{enumerate} 
\item Calculer le taux d'évolution global de la capacité de 2007 à 2010, exprimé en pourcentage. 
Déterminer, parmi les équations proposées, celle qui permet de déterminer le taux d'évolution moyen annuel $t$ de 2007 à 2010. On ne demande pas de calculer ce taux. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~}$(1 + t)^3 = \np{2,3055}$&\textbf{b.~~} $(1 + t)^4 = \np{2,3055}$&\textbf{c.~~} $(1 + t)^3 = \np{1,3055}$\\
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On suppose qu'à partir de 2010 le taux d'évolution de la capacité reste égal à 26\,\% par an.
 
\begin{enumerate}
\item Pour visualiser l'évolution de la quantité d'électricité fournie par l'ensemble du parc éolien, on utilise la feuille de calcul ci-dessous. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline  
1 &Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 \\ \hline
2 &Capacité en MW &\np{5660}&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx} 
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la capacité en MW en 2011, à l'unité près. 
		\item Écrire la formule saisie dans la cellule C2, permettant par recopie vers la droite de compléter les cellules de D2 à H2.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie comme suit :
 
$U_{0} = \np{5660}$\: et, pour tout entier naturel $n,\: U_{n}$ est la capacité en MW de l'année\: $2010 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$ et donner sa raison. 
		\item Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. 
		\item Calculer la capacité fournie en 2016. On arrondira le résultat à l'unité. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

Dans l'un des ateliers d'une usine chimique, la production journalière d'une certaine substance est comprise entre $0$ et $90$ kilogrammes.
 
Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~90], on note $f(x)$ le coût de production, en euros, de $x$ kilogrammes de cette substance. La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~90].

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}$, représentative dans un repère orthogonal de la fonction coût de production $f$, est donnée dans l'annexe. 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item Combien coûte à l'usine la production de $40$~kg de la substance ? De 80~kg ? 		
		\item Quelle production correspond à un coût de 480~\euro{} ? 
		\item Quelle est la production maximale pour laquelle le coût n'excède pas 340~\euro{}? 
	\end{enumerate}
\item Un kilogramme de la substance produite est vendu $9$~\euro. La fonction $g$, exprimant la recette en euros pour $x$ kilogrammes vendus, est donc définie sur l'intervalle [0~;~90] par $g(x) = 9x$. 

Toute la production est vendue et l'entreprise souhaite optimiser son bénéfice. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ sur l'annexe à rendre avec la copie. 
		\item Déterminer graphiquement les quantités minimale et maximale que l'atelier doit produire et vendre pour qu'il y ait bénéfice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans la suite, on admet que la fonction coût de production journalier $f$ est définie par :
 
\[f(x) = 0,075x^2 + 1, 5x + 120\: \text{pour tout réel}\: x\: \text{de l'intervalle}\: [0~;~90].\]
 
\begin{enumerate}
\item 

Montrer que le bénéfice $B(x)$ réalisé par l'atelier pour la production et la vente journalières de $x$ kilogrammes est donné par :
 
\[B(x) = - 0,075x^2 + 7,5x - 120\: \text{pour tout réel}\: x\: \text{de l'intervalle}\: [0~;~90].\]
 
	\begin{enumerate}
		\item On note $B^{\prime}$ la dérivée de la fonction $B$. Calculer $B^{\prime}(x)$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~90]. 
		\item En déduire la quantité de substance que l'atelier doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Préciser le montant de ce bénéfice maximal. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Une épidémie due à une bactérie s'est développée dans une grande ville.
 
Afin de lutter contre cette épidémie en distribuant de façon raisonnée un antibiotique adapté, un organisme de santé a mis au point un test de dépistage.
 
On admet que :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 15\,\% de la population est contaminée par cette bactérie 
\item[$\bullet~~$] le test est positif dans $99,6$\,\% des cas pour une personne contaminée par cette bactérie 
\item[$\bullet~~$] le test est négatif dans $97,6$\,\% des cas pour une personne non contaminée par cette bactérie.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Une personne est choisie au hasard dans cette ville. On admet que chaque personne a la même probabilité d'être choisie. On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $B$ : \og La personne choisie est contaminée par la bactérie \fg 
\item $T$ : \og Pour la personne choisie, le test est positif \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\emph{Dans chaque question, les résultats numériques seront donnés sous forme décimale exacte.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot*~[tnpos=a]{$B$}\taput{$0,15$}}
		{
		\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\ldots}
		\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\ldots}
 		}
	\pstree{\Tdot*~[tnpos=b]{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}}
		{
		\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\ldots}
 		\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\ldots}
 		}
}
\end{center} 

\item Quelle est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne choisie est contaminée par la bactérie ? 
\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit contaminée par la bactérie, et que pour elle le test soit positif. 
\item Quelle est la probabilité que, pour la personne choisie, le test soit positif ? 
\item Dans cette question, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte. 
Calculer la probabilité que le test donne un résultat faux. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe de l'exercice 2\\À compléter et à rendre avec la copie}} 
 
\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.0225cm}
\begin{pspicture}(-5,-0)(100,900)
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,900)}
\multido{\n=0+20}{46}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(100,900)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{90}{x dup mul 0.075 mul 1.5 x mul add 120 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}