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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Correction : Jean-Claude Souque
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small C.G.R.H.}  
\lfoot{\small{Métropole\hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{20 juin 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalauréat STG C.G.R.H  Métropole \decofourright\\ 20 juin 2013 \hspace{1em}correction}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}
{\footnotesize
%\begin{center} 
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté  et la précision des raisonnements entreront pour une part importante  dans l'appréciation des copies.

%\end{center}
}
\vspace{0,5cm}
    
 \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}   
{\footnotesize 
 
    Le supermarché Baprix distribue en caisse un ticket à gratter à chaque acheteur. Les tickets gagnants 
donnent droit à des bons de réduction à utiliser la semaine suivante.
 
Le gérant veut augmenter ses ventes le mardi. Ce jour-là, un ticket sur cinq donne droit à un bon de 
réduction. Les autres jours de la semaine, un ticket sur 100 donne droit à un bon de réduction.
 
On interroge un client choisi au hasard. Celui-ci a acheté une seule fois chez Baprix la semaine précédente. 

Cette semaine là, 32\,\% des achats se sont faits le mardi. 

On désigne par $M$ l' événement: \og le client a fait ses achats le mardi de la semaine précédente\fg{} et par $B$ 
l'événement \og le client a obtenu un bon de réduction la semaine précédente\fg. 

$\overline{M}$ et $\overline{B}$ désignent respectivement les événements contraires de $M$ et de $B$.

\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à 0,001 près.} 
}
\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé, la probabilité que le client ait obtenu un bon de réduction, sachant qu'il 
a fait ses achats le mardi de la semaine précédente est \np{0.2}  car ce jour-là, un ticket sur cinq donne droit à un bon de réduction.
\item Construisons un  arbre de probabilité décrivant la situation. 
 \begin{center}
\psset{nodesep=1mm, labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$}\taput{\np{0.32}}}
	{\TR{$B$}\taput{\np{0.2}}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{\np{0.8}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$}\tbput{\np{0.68}}}
	{\TR{$B$}\taput{\np{0.01}}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{\np{0.99}}
	}
}
\end{center}
 
Calculons la probabilité $p(M \cap B)$ que le client ait fait ses achats le mardi de la semaine précédente et 
obtenu un bon de réduction à cette occasion. 

$p(M\cap B)=p(M)\times p_{M}(B)=\np{0.32}\times \np{0.2}=\np{0.064}$.

\item  $\overline{M}\cap B$ est l'événement : \og le client n'a pas fait ses achats le mardi et a obtenu un bon de réduction\fg. 

 Calculons sa probabilité. $p(\overline{M}\cap B)=p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(B)=\np{0.68}\times \np{0.01}=\np{0.0068}\approx \np{0.007}$. 
\item Calculons $p(B)$.
 
$p(B)=p(M \cap B)+p(\overline{M} \cap B)=\np{0.064}+\np{0.007}=\np{0.071}$.
\item %\textbf{\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}} 

Le client interrogé a un bon de réduction. Y a-t-il plus de 80\,\% de chances qu'il ait fait ses achats le 
mardi de la semaine précédente ? 

Pour  y répondre, calculons la probabilité qu'il ait fait ses achats le mardi de la semaine précédente sachant qu'il a un bon de réduction c'est-à-dire  $p_{B}(M)$.

$p_{B}(M)=\dfrac{p(M \cap B)}{p(B)}=\dfrac{\np{0.064}}{\np{0.071}} \approx \np{0.901}$.

La réponse  est donc oui.
\end{enumerate}    
    \vspace{0.5cm}
    
 \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}   
    
 \medskip   
    
  Le tableau ci-dessous donne le nombre d'abonnements annuels à un stade depuis 2006. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{7}{c|}}
\hline
Année &	2006 &	2007 &	2008 &	2009& 	2010 &	2011 &	2012 \\ \hline
Rang de l'année: $x_i$ &	1 &	2 	&3 &	4 &	5 &	6 &	7 \\ \hline
Nombre d'abonnements: $y_i$& 	\np{12310} &	\np{13 150} 	&\np{13 300}&\np{12855} &\np{13 820}& \np{14490}& \np{15005} \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les parties I, II et III sont indépendantes.}\end{center} 

\medskip

 \textbf{I -- \'Etude statistique} 

Les données ci-dessus sont représentées par le nuage de points figurant en \textbf{\emph{annexe 1 à rendre avec la copie.}}
 
On a représenté sur le même graphique la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine de ce nuage de points par 
la méthode des moindres carrés. 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la calculatrice,  une équation de la droite $\mathcal{D}$ où les coefficients sont arrondis à 0,1 près est 

$y=\np{403.0}x+\np{11949.3}$. 
\item On considère que cet ajustement reste valide jusqu'en 2013 inclus. Calculons le nombre d'abonnements que l'on peut prévoir pour 2013 si la tendance observée se confirme.

Pour 2013 le rang est 8, remplaçons donc $x$ par 8 dans l'équation de la droite $y=\np{403.0}\times 8+\np{11949.3}=\np{15173.3}$ .

Il est possible de prévoir \np{15173} abonnements.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II --\' Etude des taux d'évolution }
\begin{enumerate}
\item Déterminons $T$, le taux global d'évolution du nombre d'abonnements entre 2006 et 2012.

 Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$. 
 
$T=\dfrac{\np{15005}-\np{12310}}{\np{12310}}\approx \np{0.2189277}$.

Le taux d'évolution global, à 1\,\% près, entre 2006 et 2012 est d'environ $\np{22}\,\%$.

%\emph{On arrondira le résultat à 1\,\% près.} 
\item 	Montrons que le taux annuel moyen d'évolution de ce nombre d'abonnements au cours de la période observée est d'environ 3,35 \,\%.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^6$ puisque le nombre d'abonnements a subi 6 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^6=\np{1.2189277}$ par conséquent $t_m=\np{1.2189277}^{\tfrac{1}{6}}-1\approx \np{0.033546}$. 

 Le taux moyen annuel entre 2006 et 2012 est d'environ $\np{3.35}\,\%$.

 \end{enumerate}

\medskip
\textbf{III -- \' Etude d'une suite} 

{\footnotesize
Le gérant du stade veut modéliser l'évolution du nombre d'abonnements dans les années futures en utilisant 
une suite géométrique $\left(u_n\right)$. Il estime que le nombre d'entrées va augmenter de 3\,\% par an. 

$u_n$ représente le nombre d'abonnements lors de l'année 2012+$n$. On a donc $u_0 = \np{15005}$. 

Pour ses calculs, il utilise un tableur dont un extrait figure dans l'\textbf{\emph{annexe 1 à rendre avec la copie.}}
 
Le format des cellules a été choisi pour que tous les nombres soient arrondis à l'unité.
 \smallskip
 
\textbf{Les questions suivantes constituent un questionnaire à choix multiples (QCM).}
 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule réponse est correcte.} 

\emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. \\
Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou 
une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. }
}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item La raison de la suite géométrique est égale à : 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbullet~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,03 } &\textbullet~~\ovalbox{1,03}  &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ \textbullet~~ 103 } \\
\end{tabularx}

\item La formule à entrer en cellule D3, qui, recopiée vers le bas, permettra d'obtenir l'estimation du 
nombre d'entrées entre 2013 et 2017 est: 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbullet~~ \ovalbox{=D2*(1+A\$2)}  &\textbullet~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=D\$2*(1+A\$2)} &\textbullet~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=D2*(1 +\$A2)}  \\
\end{tabularx}

\item  Le nombre d'abonnés devrait dépasser \np{17000} : 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbullet~~ \ovalbox{en 2017}   &\textbullet~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{  en 2015}&\textbullet~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ jamais  }\\
\end{tabularx}

 \end{enumerate} 
    
 \vspace{0.5cm}  
     
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

   {\footnotesize 
    Un artisan fabrique des meubles qu'il vend au prix de 150 euros l'un. Chaque semaine, il en produit au 
maximum 16. On suppose que l'artisan vend tous les meubles qu'il fabrique. 

Le coût de fabrication de $x$ meubles, charges de l'entreprise incluses, exprimé en euros, est noté $C(x)$. La 
fonction C est définie sur l'intervalle [1~;~16]. 
\bigskip

\textbf{Partie A :} lectures graphiques 

Dans le graphique donné dans \textbf{\emph{l'annexe 2 à rendre avec la copie,}} on a représenté la fonction de coût C et la 
fonction recette R respectivement par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{R}$.

Répondre aux questions suivantes en utilisant ce graphique. 

%\emph{On laissera apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.} }
\begin{enumerate}
\item Le coût de fabrication de 6 meubles est de 600 euros. Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe  d'abscisse 6 ;
de la même manière nous pouvons estimer  le coût de fabrication de 13 meubles à  \np{2000}~\euro. (les traits en cyan)

\item Il n'est pas rentable pour l'artisan de fabriquer et vendre 13 meubles car le coût est supérieur à la recette. L'ordonnée du point d'abscissse 13 appartenant à la courbe des coûts est supérieure à l'ordonnée du point de la droite des recettes.
\item Pour un coût de fabrication de 900 euros,  l'artisan fabrique 8 meubles. Lisons l'abscisse du point de la courbe  d'ordonnée 900. (traits en rouge) 
\item   Pour que l'entreprise soit bénéficiaire, la courbe des coûts doit être en dessous de la droite des recettes et nous ne tenons compte que des nombres entiers, par conséquent l'artisan doit fabriquer  entre 2 et 12 meubles, ces valeurs incluses. 
\end{enumerate}
\medskip 
\textbf{Partie B :} étude du bénéfice 

Le bénéfice est donné par $B(x)$ où $B$ est la fonction définie sur l'intervalle [1~;~16] par : 
\[B(x) =-10x^2 + 140x-180 \]
\begin{enumerate}
\item  Pour tout $x \in [1~;~16]\quad B'(x)=-10(2x)+140=-20x+140$, où $B'$ désigne la dérivée de la fonction $B$. 
\item \'Etudions le signe de $B' (x)$. 
Sur $\R, \ -20x+140>0 \iff x<7$.

Si $x\in[1~;~7[\ B'(x)>0$, si $x\in]7~;~16]\ B'(x)<0$.

\'Etudions les variations de la fonction $B$. 

Si pour tout $x\in I,\  f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

Pour $x\in[1~;~7[\ B'(x)>0$ par conséquent  $B$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$. 

Pour  $x\in]7~;~16]\ B'(x)< 0$, par conséquent $B$ est strictement décroisssante sur cet intervalle.

En résumé, $B$ est strictement croissante sur[1~;~7[ et strictement décroisssante  sur ]7~;~16].

\item $B$ admettant un maximum pour $x=7$, l'artisan doit fabriquer par semaine 7 meubles pour que son bénéfice soit maximum.
\item Le bénéfice maximum est de 310~\euro. 
\item %\textbf{\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} }

L'artisan souhaite augmenter son bénéfice maximum. Pour ce faire, il réorganise son mode de production. 

Le bénéfice est alors donné par la fonction $F$ définie sur l 'intervalle [1~;~16] par : 
\[F(x) = -10x^2 +150x-180.\] 
Le bénéfice maximum va augmenter car F(7)=380. 
\end{enumerate}

\newpage
    \begin{center}
    \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie.}
    \vspace{0.5cm}
    
    \textbf{\textsc{Exercice 2}}
    
   \vspace{0.5cm}
   \textbf{Partie I}
   \end{center}
   

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm, yunit=0.0024cm}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.3)(10.4,6000)
\psaxes[Ox=0,Oy=12000,Dx=1,Dy=1000]{->}(10.1,5500)
\multido{\n=0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,5500)}
\multido{\n=0+200}{28}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\psdots[dotstyle=Add,dotscale=1.2,dotangle=45](1,310)(2,1150)(3,1300)(4,855)(5,1820)(6,2490)(7,3005)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{0}{10.04}{403.0357 x mul 50.71 sub}
\rput(0.5,5650){\small Nombre d'abonnements}\rput(9.8,+100){\small Rang de l'année}\rput(9.70,4300){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}

    \vspace{0.75cm}
    
    \begin{center}
\textbf{Partie II}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.75}}c|c|c|>{\centering \arraybackslash}m{1.5cm}|>{\centering \arraybackslash}p{3.15cm}|}\hline
\rowcolor[gray]{0.75}&A & B & C&  D\\\hline
%&A &B &C &D\\ \hline 
1 &Taux & Année &$n$ &Nombre d'entrées $u_n$\\ \hline 
2 &3\,\% &2012 &0 &\np{15005}\\ \hline 
3 & &2013 &1 &\np{15455}\\ \hline 
4 & &2014 &2 &\np{15919} \\ \hline
5 & &2015&3 &\\ \hline
6 & &2016 &4 & \\ \hline 
7 & &2017 & 5& \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}

\newpage


 \begin{center}
    \textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie.}
    \vspace{0.5cm}
    
    \textbf{\textsc{Exercice 3}}
    \end{center}
    \vspace{0.5cm}

\psset{xunit=1cm, yunit=0.005cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-1)(16.8,3200)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=200]{->}(16.7,3200)
  \multido{\n=0+0.5}{34}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,3200)}
  \multido{\n=0+100}{33}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(16.5,\n)}
%   \psdots[dotstyle=Add,dotscale=1.2,dotangle=45](1,310)(2,1150)(3,1300)(4,855)(5,1820)(6,2490)(7,3005)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{1}{16}{ x 2 exp 10 mul 10 x mul add 180 add}
\rput(0.15,3250){Euros}\rput(16,35){Nombre de meubles}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{1}{16}{ x 150 mul }
\psset{algebraic=true,arrowscale=2.5}
\psCoordinates[arrows=->,linecolor=cyan,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Mul,dotscale=3](*6 {10*x^2+10*x+180})
\psCoordinates[arrows=->,linecolor=cyan,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Mul,dotscale=3](*13 {10*x^2+10*x+180})
\psCoordinates[arrows=<-,linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Mul,dotscale=3,ArrowInside=-<](*8 {10*x^2+10*x+180})
\psline[linecolor=green,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{<-}(1.43224,0)(1.43224,214.836) 
\psline[linecolor=green,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{<-}(12.5678,0)(12.5678,1885.17)
 \pnode(2,-100){A}
 \pnode(12,-100){B}
 \psbrace[nodesepB=10pt,rot=90,ref=C](A)(B){zone de bénéfice}
\end{pspicture}
\end{document} 

