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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\begin{document}
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\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSI}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI~\decofourright \\
 Antilles-Guyane 20 juin 2011}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1\hfill  5 points}

\medskip
 
On étudie l'évolution du montant brut horaire du SMIC au 1\up{er} janvier de chaque année, à partir de 2002. On note $x_{i}$ le rang de l'année $(2002 + i)$ où $i$ est un entier naturel. On obtient les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline
Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Montant du SMIC horaire en euros $\left(y_{i}\right)$ &6,67 &6,83 &7,19 &7,61 &8,03 &8,27 &8,44 &8,71& 8,86\\ \hline 
\multicolumn{10}{r}{(\emph{Source : INSEE})} \\
\end{tabularx}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le taux d'évolution du montant brut horaire du SMIC entre le 1\up{er} janvier 2002 et le 1\up{er} janvier 2010 (On donnera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi au dixième). 
		\item En déduire le taux moyen annuel d'évolution du montant brut horaire du SMIC pendant ces 8~années. (\emph{On donnera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi au dixième}).
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer le nuage de points dans un repère orthogonal d'unités graphiques: 2~cm pour 1~an sur l'axe des abscisses ; 2~cm pour 1~\euro{} sur l'axe des ordonnées. 
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage (\emph{on arrondira son ordonnée au centième}) et le placer dans le repère.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$ (\emph{on arrondira les coefficients $a$ et $b$ au centième}). Tracer cette droite dans le repère précédent. 
		\item Calculer le montant brut horaire du SMIC que ce modèle laisse prévoir pour le 1\up{er} janvier 2014.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2\hfill  4 points}

\medskip 

Une entreprise de téléphonie fixe propose différentes options à ses clients, combinant téléphone illimité ou non, Internet illimité ou non.
 
On sait que $\dfrac{3}{5}$ de ses clients choisissent l'accès à Internet illimité. Parmi ceux-ci, 9 clients sur 10 prennent également le téléphone illimité.
 
Parmi les clients qui ne choisissent pas l'accès à Internet illimité, seuls 3 clients sur 10 demandent le téléphone illimité.
 
On choisit au hasard la fiche d'un client. On appelle $P$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
 
On note :
 
$I$ l'évènement : \og ce client a choisi l'accès à Internet illimité \fg,
 
$T$ l'évènement : \og ce client a choisi l'accès au téléphone illimité \fg. 
On note $\overline{I}$ l'évènement contraire de l'évènement $I$ et $\overline{T}$ l'évènement contraire de l'évènement $T$.
 
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre pondéré fourni en annexe qui traduit cette situation.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase les évènements $I \cap  \overline{T}$ et $I \cup  T$. 
		\item Quelle est la probabilité qu'un client ait choisi l'accès à Internet illimité et le téléphone illimité ? 
		\item Calculer la probabilité $P\left(\overline{I} \cap T\right)$ de l'évènement $\overline{I} \cap T$. 
		\item Calculer la probabilité $P(T)$ de l'évènement $T$. 
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le client n'ait pas l'accès à Internet illimité sachant qu'il a le téléphone illimité. On arrondira le résultat au centième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill  6 points}

\medskip  
 
On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [2~;~30] par : 

\[C(x) = 12x + 22 - 25\ln (x).\]

Une usine de composants électroniques fabrique des haut-parleurs.
 
Le coût de production, en milliers d'euros, de $x$ centaines de haut-parleurs est égal à $C(x)\,;\, x$ est compris entre 2 et 30.
 
\begin{enumerate}
\item Sachant qu'une centaine de haut-parleurs est vendue 10 milliers d'euros, donner (en milliers d'euros) le prix de vente de $x$ centaines de haut-parleurs.

\medskip
 
On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle [2~;~30] par 

\[B(x) = -2x - 22 + 25 \ln (x).\]
 
\item Montrer que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé sur la vente de $x$ centaines de haut-parleurs est égal à $B(x)$. 
\item On admet que $B$ est dérivable sur l'intervalle [2~;~30]. On note $B'$ sa fonction dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2~;~30], $B'(x) = \dfrac{25 - 2x}{x}$. 
		\item Étudier le signe de $B'(x)$. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $B$. 
		\item Pour quelle quantité de haut-parleurs vendue le bénéfice est-il maximal ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe. 
		\item Tracer dans le repère fourni en annexe la courbe représentative de la fonction $B$.
	\end{enumerate}		 
\item En utilisant le graphique, déterminer pour quelles quantités produites le bénéfice est supérieur à \np{10000}~\euro.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4\hfill  5 points}

\medskip 

Un institut démographique étudie les populations respectives de deux villes A et B.

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
La ville A compte une population de \np{34000}~habitants en 2007. On observe depuis que chaque année, sa population augmente de 3\,\%.
 
On note $u_{0} = \np{34000}$ le nombre d'habitants de la ville A au 1\up{er} janvier 2007, et $u_{n}$ le nombre de ses  habitants au 1\up{er} janvier de l'année $(2007 + n)$. 

\emph{On arrondira au besoin les nombres d'habitants à l'unité.}
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $u_{1} = \np{35020}$ puis calculer $u_{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
		\item En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Déterminer alors $u_{n}$ en fonction de $n$. 
	\end{enumerate}
\item Selon ce modèle : 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la population de la ville A au 1\up{er} janvier 2012. 
		\item À partir de quelle année la population de la ville A dépassera-t-elle \np{50000} ~habitants ? 
	\end{enumerate} 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip
 
La ville B, qui comptait \np{45000}~habitants au 1\up{er} janvier 2007, perd chaque année $500$~habitants.
 
On note $v_{0}$ le nombre d'habitants de la ville B au 1\up{er} janvier 2007, et $v_{n}$ le nombre d'habitants au  1\up{er} janvier de l'année $(2007 + n)$.
 
On a ainsi $v_{0} =  \np{45000}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $v_{1} = \np{44500}$ puis calculer $v_{2}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$· 
		\item En déduire la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
		\item Déterminer alors $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Selon ce modèle, calculer la population de la ville B au 1\up{er} janvier 2012.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip
 
On rappelle que la population de la ville A augmente chaque année de 3\,\% et que la ville B perd chaque année $500$~habitants.
 
On donne, ci-dessous, un extrait d'une feuille de calcul :

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C\\ \hline
1&$n$&Ville A& Ville B\\ \hline
2&0	&\np{34000}	&\np{45000}\\ \hline
3&1	&			&\\ \hline
4&2	&			&\\ \hline
5&3	&			&\\ \hline
6&4	&			&\\ \hline
7&5	&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\smallskip
 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule faut-il entrer dans la cellule B3 et recopier vers le bas pour compléter la plage de cellules B4\::\: B7 ? 
		\item Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour compléter la plage de cellules C4\::\: C7 ?
	\end{enumerate} 
\item À partir de quelle année, la population de la ville A sera-t~elle supérieure à celle de la ville B ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}}

\vspace{0.3cm}
 
\textbf{À rendre avec la copie}
 
\vspace{0,3cm}
 
\textbf{Exercice 1}
\vspace{0,5cm}

\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$I$}\taput{0,6}}
	{
	\TR{$T$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{I}$}\tbput{\ldots}}
	{
	\TR{$T$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{\ldots}
	}
}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3}
\begin{flushleft}\textbf{4. \:a.}\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$ &2 &4 &6 &10 &12,5 &14 &20 &24 &30 \\ \hline
$B(x)$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{4. \:b.}\end{flushleft}

\medskip

\psset{unit=0.36cm}
\begin{pspicture}(-1,-11)(32,17)
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\uput[u](32,0){$x$}\uput[r](0,17){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
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