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%Vincent Tolleron
%Corrigé : Jan-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSI}
\lfoot{\small{ correction Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\gray Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI \\
 Antilles-Guyane 20 juin 2011\\
Corrrection}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1\hfill  5 points}

\medskip
 
On étudie l'évolution du montant brut horaire du SMIC au 1\up{er} janvier de chaque année, à partir de 2002. On note $x_{i}$ le rang de l'année $(2002 + i)$ où $i$ est un entier naturel. On obtient les résultats suivants :

\medskip
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline
Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Montant du SMIC horaire en euros $\left(y_{i}\right)$ &6,67 &6,83 &7,19 &7,61 &8,03 &8,27 &8,44 &8,71& 8,86\\ \hline 
\multicolumn{10}{r}{(\emph{Source : INSEE})} \\
\end{tabularx}}
\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item  Le taux d'évolution exprimé en pourcentage, du montant brut horaire du SMIC entre le 1\up{er} janvier 2002 et le 1\up{er} janvier 2010 est :
		\[\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}=\frac{\np{8.86}-\np{6.67}}{\np{6.67}}=\framebox{\np{32.8}~\%}\]		
		\item Déterminons le taux moyen annuel d'évolution, exprimé en pourcentage, du montant brut horaire du SMIC entre le 1\up{er} janvier 2002 et le 1\up{er} janvier 2010. Durant cette période le montant brut horaire du SMIC a subi 8 évolutions. Si $t_m$ est le taux d'évolution, nous pouvons dire que le montant brut horaire  a été multiplié par $(1+t_m)^8$. Le taux moyen est alors : $t_m=\np{1.328}^{\frac{1}{8}}-1=\framebox{\np{3.6}~\%}$
		\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le nuage de points  est tracé à la fin de la correction 
			\item  Les coordonnées du point moyen $G$ du nuage a pour abscisse la moyenne des abscisses et pour ordonnée la moyenne des ordonnées des points $G (4~;~\np{7.85})$
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$,
 par la méthode des moindres carrés, est $y=\np{0.29}x+\np{6.67}.$

Cette droite est tracée dans le repère précédent. 
		\item Calculons le montant brut horaire du SMIC que ce modèle laisse prévoir pour le 1\up{er} janvier 2014.
		
 Le rang de 2014 est 12. La valeur de $y$ pour $x=12$  appartenant à la droite de régression de $y$ en $x$ est $\np{0.29}\times 12+\np{6.67}=\np{10.08}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2\hfill  4 points}

\medskip 

Une entreprise de téléphonie fixe propose différentes options à ses clients, combinant téléphone illimité ou non, Internet illimité ou non.
 
On sait que $\frac{3}{5}$ de ses clients choisissent l'accès à Internet illimité. Parmi ceux-ci, 9 clients sur 10 prennent également le téléphone illimité.
 
Parmi les clients qui ne choisissent pas l'accès à Internet illimité, seuls 3 clients sur 10 demandent le téléphone illimité.
 
On choisit au hasard la fiche d'un client. On appelle $P$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
 
On note :
 
$I$ l'événement : \og ce client a choisi l'accès à Internet illimité \fg,
 
$T$ l'événement : \og ce client a choisi l'accès au téléphone illimité \fg. 
On note $\overline{I}$ l'événement contraire de l'événement $I$ et $\overline{T}$ l'événement contraire de l'événement $T$.
 
\begin{enumerate}
\item  L'arbre pondéré est complété en annexe.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $I \cap  \overline{T}$ est l'événement \og ce client a choisi l'accès à Internet illimité et n'a pas choisi le téléphone illimité \fg{}.  $I \cup  T$  est l'événement \og ce client a choisi l'accès à Internet illimité ou a choisi le téléphone illimité \fg{}.
		\item La probabilité qu'un client ait choisi l'accès à Internet illimité et le téléphone illimité est notée $P(I\cap T)$
		$P(I\cap T)=P(I)P_{T}(I)=\np{0.6}\times\np{0.9}=\np{0.54}$
				\item La probabilité $P\left(\overline{I} \cap T\right)$ est : 
$P(\overline{I}\cap T)=P(\overline{I})P_{\overline{I}}(T)=\np{0.4}\times\np{0.3}=\np{0.12}$
		\item Calculons la probabilité $P(T)$ de l'événement $T$. \[P(T)=P(I\cap T)+P(\overline{I}\cap T)\qquad P(T)=\np{0.54}+\np{0.12}=\np{0.66}\]
	\end{enumerate}
\item Calculons la probabilité que le client n'ait pas l'accès à Internet illimité sachant qu'il a le téléphone illimité.


Cette probabilité s'écrit $P_{T}(\overline{I})$. \[P_{T}(\overline{I})=\dfrac{P(\overline{I}\cap T)}{P(T)}=\dfrac{\np{0.12}}{\np{0.66}}=\np{0.18}\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill  6 points}

\medskip  
 
On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [2~;~30] par : 

\[C(x) = 12x + 22 - 25\ln (x).\]

Une usine de composants électroniques fabrique des haut-parleurs.
 
Le coût de production, en milliers d'euros, de $x$ centaines de haut-parleurs est égal à $C(x)\,;\, x$ est compris entre 2 et 30.
 
\begin{enumerate}
\item Sachant qu'une centaine de haut-parleurs est vendue 10 milliers d'euros, le prix de vente de $x$ centaines de haut-parleurs (en milliers d'euros)est $10x$.

\medskip
 
On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle [2~;~30] par 

\[B(x) = -2x - 22 + 25 \ln (x).\]
 
\item Le bénéfice, $b(x)$ en milliers d'euros, réalisé sur la vente de $x$ centaines de haut-parleurs est égal à la différence entre  les recettes et le coût de $x$ centaines de haut-parleurs: 
\[b(x)=R(x)-C(x) =10x- (12x + 22 - 25\: \ln (x))=-2x-22+25\:\ln(x) = B(x) \]

\item On admet que $B$ est dérivable sur l'intervalle [2~;~30]. On note $B'$ sa fonction dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons $B\,'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [2~;~30],\[B\,'(x)=-2+25\frac{1}{x}=\dfrac{-2x+25}{x}\]
On trouve bien ce qui était démandé.
		\item Étudions le signe de $B'(x)$.  Puisque $x\in [2~;~30]$ le signe de  $B'(x)$ est celui de $25-2x$
		
		$25-2x>0\iff x<\np{12.5}$ d'où 
\begin{itemize}
\item si $x \in [2~;~\np{12.5}[,\quad B'(x)>0$
\item si$x=\np{12.5}\quad B'(x)=0$
 \item si $x \in ]\np{12.5}~;~30],\quad B'(x)<0$
\end{itemize}
		\item Construisons le tableau de variation de la fonction $B$. 
		
Si pour tout $x\in I$, $f'(x)\geqslant 0,\; f$ est croissante sur $I$. Pour $x\in[2~;~\np{12.5}]\; B'(x)\geqslant 0$ donc $B$ est croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I$, $f'(x)\leqslant 0,\;f$ est décroissante sur $I$. Pour $x\in[\np{12.5}~;~30]\; B'(x)\leqslant0$ donc $B$ est  décroisssante sur cet intervalle.		
	\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccc}
$x$&2&&\np{12.5}&&30\\
\hline
$B'(x)$&&+&0&$-$&\\
\hline	
&&&$\approx\np{16.14}$&&\\
variation de $B$&&$\nearrow$&&$\searrow$&\\
&$\approx -\np{8.67}$&&&&$\approx\np{3.03}$\\
\end{tabular}
\end{center}		
				\item La  quantité de haut-parleurs vendue pour laquelle le bénéfice est maximal est, en lisant le tableau de variations \np{12.5} centaines de haut-parleurs.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Voir le tableau de valeurs donné en annexe. 
		\item Voir le tracé dans le repère fourni en annexe la courbe représentative de la fonction $B$.
	\end{enumerate}		 
\item  Graphiquement,  le bénéfice est supérieur à \np{10000}~\euro{} ou à 10 en milliers d'euros, lorsque la courbe est située  \og au dessus\fg{} de la droite d'équation $y=10$. On trace celle-ci et on lit $x\in [\alpha~;~\beta]$ où $\alpha\in [\np{5.5}~;~6]$ et $\beta\in[23~;~\np{23.5}]$. Entre $\alpha$ et $\beta$ le bénéfice est supérieur à \np{10000}~euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4\hfill  5 points}

\medskip 

Un institut démographique étudie les populations respectives de deux villes A et B.

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
La ville A compte une population de \np{34000}~habitants en 2007. On observe depuis que chaque année, sa population augmente de 3\,\%.
 
On note $u_{0} = \np{34000}$ le nombre d'habitants de la ville A au 1\up{er} janvier 2007, et $u_{n}$ le nombre de ses  habitants au 1\up{er} janvier de l'année $(2007 + n)$. 

%\emph{On arrondira au besoin le nombre d'habitants à l'unité.}
 
\begin{enumerate}
\item Vérifions que $u_{1} = \np{35020}$. Puisque la population augmente de 3~\%, le coefficient multiplicateur associé est 1,03 $u_1=\np{34000}\times\np{1.03}=\np{35020}$. Calculons  $u_{2}$. $u_2=\np{35020}\times\np{1.03}\approx \np{36071}$
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\np{1.03}u_{n}$. 
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\np{1.03}$ car on passe d'un terme au suivant en le multipliant par $\np{1.03}$. Le premier terme est \np{34000}.
		\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. Ici nous avons $u_{n}=\np{34000}\times \left(\np{1.03}\right)^{n}$. 
	\end{enumerate}
\item Selon ce modèle : 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons  la population de la ville A au 1\up{er} janvier 2012.  en 2012,$n=5$, $u_5=\np{34000}\times \np{1.03}^5\approx \np{39415}$
		\item À partir de 2021 la population de la ville A dépassera les \np{50000}~habitants car en 2020 $n=13$ et 

$u_{13}=\np{34000}\times \np{1.03}^{13}\approx \np{49930} $, $u_{14}=\np{34000}\times \np{1.03}^{14}\approx \np{51428} $.
	\end{enumerate} 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip
 
La ville B, qui comptait \np{45000}~habitants au 1\up{er} janvier 2007, perd chaque année $500$~habitants.
 
On note $v_{0}$ le nombre d'habitants de la ville B au 1\up{er} janvier 2007, et $v_{n}$ le nombre d'habitants au  1\up{er} janvier de l'année $(2007 + n)$.
 
On a ainsi $v_{0} =  \np{45000}$. 
\begin{enumerate}
\item  $v_{1} = \np{45000}-500=\np{44500}$ . Calculons $v_{2}$. $v_2=\np{44500}-500=\np{44000}$
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$,  $v_{n+1}=v_{n}-500$· 
		\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $-500$ et de premier terme \np{45000}, car on passe d'un terme au suivant en lui ajoutant un même nombre  $-500$. 
		\item Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n=u_0+nr$ d'où 

 $v_{n}=\np{45000}-500n$.
	\end{enumerate} 
\item $v_5=\np{45000}-5\times 500=\np{42500}$. Selon ce modèle, la population de la ville B au 1\up{ er} janvier 2012 sera de \np{42500} habitants.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip
 
On rappelle que la population de la ville A augmente chaque année de 3\,\% et que la ville B perd chaque année $500$~habitants.
 
On donne, ci-dessous, un extrait d'une feuille de calcul :

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C\\ \hline
1&$n$&Ville A& Ville B\\ \hline
2&0&\np{34000}&\np{45000}\\ \hline
3&1&&\\ \hline
4&2&&\\ \hline
5&3&&\\ \hline
6&4&&\\ \hline
7&5&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\smallskip
 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La  formule qu'il faut entrer dans la cellule B3 est  \verb|= B2*1.03| .
		\item La formule qu'il faut entrer dans la cellule C3 est \verb|=C2-500|
	\end{enumerate} 
\item À partir 2014, la population de la ville A sera supérieure à celle de la ville B  car $u_7=\np{34000}(\np{1.03})^7\approx 41816$
et $v_7=45000-7\times 500=\np{41500} $
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}}

\vspace{0.3cm}
 
\textbf{À rendre avec la copie}
 
\vspace{0,3cm}
 
\textbf{Exercice 1}
\vspace{0,5cm}

\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$I$}\taput{0,6}}
	{
	\TR{$T$}\taput{0,9}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,1}
	}
\pstree{\TR{$\overline{I}$}\tbput{0,4}}
	{
	\TR{$T$}\taput{0,3}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,7}
	}
}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3}
\begin{flushleft}\textbf{4. \:a.}\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$ &2 &4 &6 &10 &12,5 &14 &20 &24 &30 \\ \hline
$B(x)$&-\np{8.67}&\np{4.66}&\np{10.79}&\np{15.57}&\np{16.14}&\np{15.98}&\np{12.89}&\np{9.45}&\np{3.03}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{4. \:b.}\end{flushleft}

\medskip

\psset{unit=0.36cm}
\begin{pspicture}(-1,-11)(32,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-1,-11)(32,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2](0,0)(-1,-11)(32,17)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\uput[u](32,0){$x$}\uput[r](0,17){$y$}\uput[dl](0,0){O}
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\rput(5.65,-2.3){$\alpha$}\rput(23.42,-2.3){$\beta$}
\end{pspicture}

\end{center}


\begin{landscape}



	\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(12,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=6]{->}(0,0)(0,-0.5)(12,6)
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\multido{\n=0+0.50}{12}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(6,\n)}
\uput[d](4,1.8){G} %\uput[r](0,5.8){population en millions}
\psdots(0,0.67)(1,0.83)(2,1.19)(3,1.61)(4,2.03)(5,2.27)(6,2.44)(7,2.71)(8,2.86)\psdots[dotstyle=asterisk,dotscale=3](4,1.85)
\psplot[plotpoints=500, linecolor=blue,linewidth=0.5pt]{0}{12}{0.29 x mul 0.67 add}
\end{pspicture}
\end{landscape}
\end{document}

