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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Antilles--Guyane~\decofourright\\septembre 2007}} 
    
\vspace{0,4cm}

Coefficient 3 et 4 pour gestion des systèmes d'information  \hfill Durée 3 heures

\vspace{0,4cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,35cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

\emph{Pour chaque question, une seule réponse est juste. Recopier sur votre copie la réponse correcte. Chaque réponse rapporte $1$ point, chaque réponse fausse enlève $0,5$ point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La probabilité d'un évènement $A$ est de $\dfrac{1}{3}$. La probabilité de son évènement contraire est :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~$On ne peut pas savoir &$\bullet~\dfrac{4}{3}$ &$\bullet~\dfrac{2}{3}$&$\bullet~0$\\
\end{tabularx}
\item   La probabilité d'un évènement $B$ est de $0,1$ et celle de l'évènement $C$ de $0,2$. La probabilité de l'évènement $B \cup C$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~$On ne peut pas savoir&$\bullet~0,1$&$\bullet~0,2$&$\bullet~0,3$
\end{tabularx}
\item   La probabilité d'un évènement $A$ est de $0,5$, celle de $B$ est de $0,2$, la probabilité de l'évènement $A \cap B$ est de $0,15$. La probabilité de $A$ sachant $B$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~0,3$ &$\bullet~$On ne peut pas savoir&$\bullet~0,75$&$\bullet~0,4$
\end{tabularx}
\item Dans un repère orthonormal, les points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que $2x - y - 3 > 0$ se situent :

$\bullet~$ Au dessus de la droite d'équation $y = 2x - 3$ ;

$\bullet~$ En dessous de la droite d'équation $2x -y = 3$ ;

$\bullet~$ Dans le demi-plan d'inéquation $y - 2x < 3$ ;

$\bullet~$ Au dessus de la droite d'équation $y = -2x + 3$.

\item On considère le diagramme en boîte ci-dessous.

\medskip

\begin{pspicture}(10,2)
\psframe(2,0)(9,2) \psline[linewidth=3pt](4,0)(4,2)
\uput[d](0,1){$0$}  \uput[d](2,0){$2$}  \uput[d](4,0){$4$}  \uput[d](9,0){$9$}  \uput[d](10,1){$10$} 
\psline(0,1)(10,1) \qdisk(0,1){1pt} \qdisk(10,1){1pt} 
\end{pspicture}

\medskip

$\bullet~$ La médiane est $4$ ;

$\bullet~$ Le troisième quartile est $10$ ;

$\bullet~$ L'intervalle interquartile est [0 ; 10] ;

$\bullet~$ Le premier quartile est $4$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Un restaurant d'une station balnéaire ouvre au début du printemps. Le gérant relève le nombre de repas servis chaque semaine. Les résultats des quatre premières semaines sont donnés dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de la semaine : $x_{i}$& 1 &2 &3 &4\\ \hline
Nombre de couverts : $y_{i}$& 78&	108& 159&224\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter graphiquement, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. 

\emph{On prendra $2$~cm pour représenter $1$~semaine sur l'axe des abscisses et $1$~cm pour représenter $20$~couverts sur l'axe des ordonnées.}

\item  Soit $D$ la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $D$, de la forme $y = ax + b$.
		\item  Tracer $D$ sur le graphique de la question 1.
		\item  Si l'on retient cet ajustement affine, calculer le nombre de couverts, arrondi à l'entier, prévisible pour la cinquième semaine.
	\end{enumerate}
\item  L'allure du nuage de points précédent permet d'envisager un ajustement exponentiel.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = 54\times (1,43)^x.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant avec les valeurs $f\left(x_{i}\right)$ arrondies à l'unité.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de la semaine : $x_{i}$	& 1	& 2	& 3	& 4	& 5\\ \hline
$f\left(x_{i}\right)$			&	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Sur le graphique de la question 1, tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~5].
		\item   Si l'on retient cet ajustement exponentiel, quel nombre de couverts peut-on prévoir la cinquième semaine ?
	\end{enumerate}
\item   Le restaurant a une capacité maximum de 810~couverts par semaine.
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre, par le calcul, l'inéquation : $54 \times  (1,43)^x \geqslant  810$.
		\item  Si la fréquentation du restaurant évolue suivant ce modèle exponentiel, quel est le rang de la semaine où le gérant commencera à refuser des clients ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
 
Une société possède un gisement pétrolifère dont la réserve totale exploitable est estimée en décembre 2005 à $850$ millions de barils de pétrole (l'unité choisie pour l'exercice est le million de barils). On note $u_{n}$ la réserve exploitable restante en décembre de l'année $(2005 + n)$. On a : $u_{0} = 850$. Chaque année le pétrole extrait représente 20\:\% du total de la réserve exploitable restante.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $u_{1} = 680$. Puis calculer les quantités restantes $u_{2}$ et $u_{3}$ respectivement en décembre 2007 et 2008.
\item Exprimer alors	$u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ (on justifiera clairement chaque réponse).
\item  Le tableau ci-dessous est une copie d'une partie de la feuille de calcul d'un tableur.

\medskip

\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|>{\columncolor{gray}}c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &A		&B\\ \hline
1&$n$	&$u_{n}$\\ \hline
2&0		&850\\ \hline
3&1		&680\\ \hline
4&2		&\\ \hline
5&3		&\\ \hline
6&4		&\\ \hline
7&5		&\\ \hline
8&6		&\\ \hline
9&7		&\\ \hline
10&8	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Quelle formule à recopier vers le bas faut-il inscrire dans la cellule B3 ? Que devient cette formule en B7  ?

\item  Le gisement sera considéré comme épuisé lorsque la réserve exploitable sera inférieure à un million de barils. Déterminer à partir de quelle année le gisement sera épuisé :  on donnera une démonstration algébrique utilisant le calcul sur les logarithmes.

\item  Déterminer la production totale de pétrole extrait entre 2006 et 2017 inclus. Le résultat sera arrondi au millième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip
 
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~5]$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité $1$~cm. Le tableau de variations de $f$ est le suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(10,3.5)
\psframe(10,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(0,3)(10,3)
\psline{->}(2.6,0.3)(5.7,2.7) \psline{->}(6.4,2.7)(9.5,0.3) 
\rput(1,2){Variation} \rput(1,1){de $f$}
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.3,3){$-5$} \uput[u](6,3){$-2,5$} \uput[u](9.7,3){$5$} \uput[u](2.3,0){$3$} \uput[u](9.7,0){$-2$}
\uput[u](6,2.5){$4$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
On précise les valeurs suivantes concernant $f$ et sa fonction dérivée $f'$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{}X}}
$f(0) = 2,5$&	$f(2) = 0$& 	$f'(-5) = 1$&$f'(5) = 0$\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quel est le maximum de $f$ sur l'intervalle $[- 5~;~5]$ ?
\item  Quelle est la solution de l'équation $f(x) = 0$ ?
\item  Quel est le signe du nombre $f'(0)$  ?
\item  Établir une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-5$.
\item  Tracer sur une feuille de papier millimétré une courbe représentative possible de la fonction $f$ respectant l'ensemble des informations fournies dans l'énoncé.
\end{enumerate}
\end{document} 