\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Vincent Tolleron
\usepackage{pst-plot,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\e{\text{e}}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-tree}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSI}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\gray Corrigé du baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI \\
 Antilles-Guyane 17 juin 2010}}
\end{center}

\vspace{1cm}

%: Ex 1, 4 points
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
%
%On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée.
%
%\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire \np{0,25} point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.}
%
\begin{enumerate}
\item %Pour tout réel $x$ strictement positif, $\ln(x^2+x)$ est égal à:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{@{\textbf{a.~~}}p{3.4cm}@{\textbf{b.~~}}p{3.4cm}@{\textbf{c.~~}}p{3.4cm}}
%$\ln(x^2)\times\ln(x)$ & $\ln(x)+\ln(x+1)$ & $\ln(x^2)+\ln(x)$
%\end{tabular}
%\end{center}
$x^2 + x = x(x + 1)$ donc pour $x > 0$,~$\ln \left(x^2 + x\right) = \ln x(x + 1) = \ln x + \ln (x + 1)$.

\item %L'équation $\e^{-2x}=6$ admet pour solution dans $\R$:

%\begin{center}
%\begin{tabular}{@{\textbf{a.~~}}p{3.4cm}@{\textbf{b.~~}}p{3.4cm}@{\textbf{c.~~}}p{3.4cm}}
%$-\ln(3)$& 
%$\dfrac{\e^{-6}}{2}$ & 
%$\dfrac{-\ln(6)}{2}$
%\end{tabular}
%\end{center}
$\e^{-2x} = 6 \iff -2x = \ln 6$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $\iff x = - \dfrac{\ln 6}{2}$.
\item %Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{4x+1}$.
%
%Sachant que la fonction $f$ est dérivable, sa fonction dérivée $f'$ est définie sur $\R$ par:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{@{\textbf{a.~~}}p{3.4cm}@{\textbf{b.~~}}p{3.4cm}@{\textbf{c.~~}}p{3.4cm}}
%$f'(x)=4\e^{4x+1}$ & 
%$f'(x)=(4x+1)\e^{4x+1}$ & 
%$f'(x)=\e^{4x+1}$
%\end{tabular}
%\end{center}
En posant $u(x) = 4x + 1,~u'(x) = 4$.

On sait que $\left(\e^u\right)' = u' \times \left(\e^u\right)$, donc :

$f'(x) = 4\e^{4x+1}$.
\item %Pour tout réel $x$ strictement positif, $\e^{2\ln(x)}$ est égal à:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{@{\textbf{a.~~}}p{3.4cm}@{\textbf{b.~~}}p{3.4cm}@{\textbf{c.~~}}p{3.4cm}}
%$x^2$ & 
%$\ln\left(x^2\right)$ & 
%$2x$.
%\end{tabular}
%\end{center}

$\e^{2\ln(x)} = \e^{(\ln (x))^2} = \left(\e^{\ln x}\right)^2 = x^2.$ (car $\e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$)
\end{enumerate}
\bigskip

%: Ex 2, 5 points
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip

%Parmi ses salariés, une société compte 70\,\% d'employés commerciaux et 80\,\% d'entre eux possèdent une voiture de fonction.
%
%Parmi les employés qui ne sont pas des commerciaux, seulement 10\,\% possèdent une voiture de fonction.
%
%On interroge au hasard un employé de la société.
%
%On considère les évènements suivants:
%\begin{itemize}
%\item $C$ : \og L'employé interrogé est un commercial\fg{};
%\item $V$ : \og L'employé interrogé possède une voiture de fonction\fg{}.
%\end{itemize}
%
%On note $\overline{C}$ et $\overline{V}$ les évènements contraires respectifs des événements $C$ et $V$.

\begin{enumerate}
\item %Déduire des informations de l'énoncé :
\begin{enumerate}
\item %la probabilité $p(C)$ de l'évènement $C$ ;
$p(C) = \dfrac{70}{100} = 0,7.$
\item %la probabilité $p_C(V)$ de l'évènement $V$ sachant $C$;
$p_C(V) = 0,80$.
\item %la probabilité $p_{\overline{C}}(V)$ de l'évènement $V$ sachant $\overline{C}$.
$p_{\overline{C}}(V) =  0,1$.
\end{enumerate}
\item ~%Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$C$}\taput{$0,7$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{$0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{$0,2$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{C}$}\tbput{$0,3$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{$0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{$0,9$}
 		}
}
\end{center}
\medskip

\item %Définir par une phrase l'évènement $\overline{C}\cap V$. Calculer la probabilité $p\left(\overline{C}\cap V \right)$.
$\overline{C}\cap V$ signifie : \og l'employé n'est pas un commercial et possède une voiture de fonction \fg.
$p\left(\overline{C}\cap V \right) = 0,3 \times 0,1 = 0,03$.
\item %Montrer que la probabilité que l'employé ait une voiture de fonction est \np{0,59}.
De même $p(C  \cap V) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$.

On a $p(V) = p(C  \cap V) + p\left(\overline{C}\cap V\right) = 0,56 + 0,03 = 0,59$.
\item %Calculer la probabilité que l'employé interrogé ne soit pas un commercial sachant qu'il possède une voiture de fonction. Donner le résultat à \np{0,01} près.
On a $p_{V}\left(\overline{C}\right) = \dfrac{p\left(\overline{C}\cap V\right)}{p(V)} = \dfrac{0,03}{0,59} = \dfrac{3}{59} \approx 0,05$.
 
\end{enumerate}

\bigskip

%: Ex 3, 5 points
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

%Sur la figure donnée en \textbf{annexe}, on a tracé, dans un repère, les droites dont les équations sont: $x+y = 8$, $3x+2y = 18$ et $x = 4$.
\begin{enumerate}
\item %Parmi les trois équations données ci-dessus, laquelle est une équation de la droite $(D_1)$~? Laquelle est une équation de la droite $(D_2)$~?
Le point (6~;~0) est un point de la droite $(D_1)$. Seul ce couple de coordonnées vérifie l'équation $3x + 2y = 18$ qui est donc une équation de la droite $(D_1)$.

Le point (8~;~0) est un point de la droite $(D_2)$. Seul ce couple de coordonnées vérifie l'équation $x + y = 8$ qui est donc une équation de la droite $(D_2)$.
\item %Déterminer par le calcul les coordonnées du point $I$, point d'intersection  des droites $(D_1)$ et $(D_2)$.
Il faut résoudre le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y &=& 18\\
x + y 	&=& 8
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y &=& 18\\
y 		&=& 8 - x
\end{array}\right.  \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2(8 - x) 	&=& 18\\
y 				&=& 8 - x
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
3x + 16 - 2x 	&=& 18\\
y 				&=& 8 - x
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
x  &=& 2\\
y  &=& 8 - x
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x  &=& 2\\
y  &=& 6
\end{array}\right.$.

Conclusion I$(2~;~6)$.
\item %Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan \textbf{qui ne convient pas}, l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient le système:
%\[
%(S)
%\left\{
%\begin{array}{l}
%0\leqslant x\leqslant 4\\
%y\geqslant 0\\
%x+y\leqslant 8\\
%3x+2y\leqslant 18
%\end{array}
%\right.
%\]
Voir la figure.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip
%Un artisan fabrique deux modèles de sacs en toile des sacs de voyage et des sacs à dos.
%
%Chaque jour, il dispose de 18 mètres de toile et travaille 8 heures.
%
%Il produit au maximum 4 sacs de voyage par jour.
%
%Un sac de voyage nécessite 3 mètres de toile et 1 heure de travail.
%
%Un sac à dos nécessite 2 mètres de toile et 1 heures de travail.
%
%On note $x$ le nombre de sacs de voyage et $y$ le nombre de sacs à dos fabriqués par jour.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que les contraintes de la production journalière se traduisent par le système d'inéquations $(S)$ de la \textbf{partie A}, où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.
Si $x$ désigne le nombre de sacs de voyage et $y$ le nombre de sacs à dos fabriqués par jour, on a $0 \leqslant x \leqslant 4$.

Le nombre de mètres nécessaires est $3x + 2y$ et ne doit pas excéder 18, d'o\`u $3x + 2y \leqslant 18$.

Le nombre d'heures de travail nécessaires est $x + y$ et ne doit pas excéder 8, soit $x + y \leqslant 8$.

Comme $x$ et $y$ sont des naturels ils doivent vérifier le système $(S)$.
\item %Sur un sac de voyage l'artisan fait un bénéfice de 50 euros et sur un sac à dos un bénéfice de 40  euros. On suppose qu'il vend toute sa production.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer, en fonction de $x$ et $y$, le bénéfice journalier $B$ qu'il peut réaliser.
		On a $B = 50x + 40y$.
		\item %Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$ correspondant à un bénéfice journalier de 200 euros et tracer cette droite dans le repère précédent.
	$B(x) = 200 \iff 50x + 40y = 200 \iff 5x + 4y = 20$ qui une équation de la droite $(\Delta)$.

Si $x = 0,~y = 5$ et si $y = 0,~x = 4$, donc la droite $(\Delta)$ contient les deux points (0~;~5) et (4~;~0). D'o\`u le tracé.
		\item %L'artisan souhaite réaliser un bénéfice maximum. Pour cela, déterminer graphiquement le nombre de sacs de voyage et le nombre de sacs à dos qu'il doit fabriquer (et vendre) chaque jour.
		
%Expliquer la méthode utilisée.

%Quel sera le bénéfice maximum~?
On peut chercher parmi les points de coordonnées entières celui (ou ceux) qui donnent le plus grand bénéfice.

On peut aussi tracer la parallèle à la droite $(D)$, la plus \og haute \fg{}. On voit que le couple (2~;~6) conduit à un bénéfice maximal  de $50 \times 2 + 40 \times 6 = 100 + 240 = 340$~(\euro).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

%: Ex 4, 6 points
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

%Au 1\up{er} janvier 2009, la puissance totale des éoliennes installées dans l'Europe des 27 pays membres s'élevait à \np{64935}~MW (mégawatts).
%
%Au 1\up{er} janvier 2009, la France totalise \np{3404}~MW de puissance des éoliennes installées sur son territoire.
%
%\medskip

\textbf{Partie A: en France}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle part représente la puissance des éoliennes installées sur le territoire français dans la puissance totale des éoliennes européennes au 1\up{er} janvier 2009~? (\emph{donner le résultat sous dorme de pourcentage arrondi à \np{0,1}\,\% près})
La part fran\c{c}aise est de $\dfrac{\np{3404}}{\np{64935}} \times 100 \approx 5,2\,\%$.
\item %La tableau ci-dessous donne les capacités de production éolienne de la France depuis 2004 et les indices correspondants. La capacité de production de 2004 est choisie comme base 100.
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
%\hline
%Année & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\
%\hline
%Capacité de production & &&&&&\\
%éolienne (en MW) & 248 & 386 & 757 & \np{1567} & \np{2455} & \np{3404}\\
%\hline
%Indice (arrondi à \np{0,1} près) & 100 & $a$ & \np{305,2} & \np{631,9} & \np{989,9} & \np{1372,6}\\
%\hline
%\end{tabular}
%\\
%\hfill \emph{Source: www.thewindpower.net}
%\end{center}
%Calculer l'indice $a$ en 2005. Arrondir le résultat à \np{0,1} près.
On a $a = \dfrac{386 \times 100}{248} \approx 155,6$~(MW).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B: en Europe}

\smallskip

%La feuille de calculs suivante donne la puissance totale en mégawatts des éoliennes européennes au 1\up{er} janvier de chaque année depuis 2001.
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
%\hline
%&A&B&C&D\\
%\hline
%1 & Année & Rang de l'année & puissance en mégawatts & Évolution entre\\
%& $(x_i)$ & $(y_i)$ & (arrondie à \np{0,1}\,\%) & deux années \\
%\hline
%2 & 2001 & 1 & \np{12887} & \\
%\hline
%3 & 2002 & 2 & \np{17315} & \np{34,4}\,\%\\
%\hline
%4 & 2003 & 3 & \np{23098} & \np{33,4}\,\%\\
%\hline
%5 & 2004 & 4 & \np{28491} & \np{23,3}\,\%\\
%\hline
%6 & 2005 & 5 & \np{34372} & \np{20,6}\,\%\\
%\hline
%7 & 2006 & 6 & \np{40500} & \np{17,8}\,\%\\
%\hline
%8 & 2007 & 7 & \np{48031} & \np{18,6}\,\%\\
%\hline
%9 & 2008 & 8 & \np{56517} & \np{17,7}\,\%\\
%\hline
%10 & 2009 & 9 & \np{64935} & \np{14,9}\,\%\\
%\hline
%\end{tabular}
%\hfill \emph{Source: EWEA}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule a été entrée dans la cellule D3 et recopiée vers le bas pour compléter la plage de cellules D4:D10~?
		On met la plage D4:D10 en mode pourcentage et on entre en D3 la formule : \fbox{~=(C3-C2)/C2~}.
		\item %Calculer le taux d'évolution global de la puissances des éoliennes en mégawatts en Europe, du 1\up{er} janvier 2001 au 1\up{er} janvier 2009. Donner le résultat en pourcentage, arrondi à \np{0,1}\,\% près.
		De 2001 à 2009, le taux d'évolution est égal à $\dfrac{\np{64935}}{\np{12887}} \times 100 \approx 503,9\,\%$.
		\item %Calculer le taux d'évolution annuel moyen de la puissance des éoliennes installées en Europe, sur la période 2001-2009. Donner le résultat en pourcentage, arrondi à \np{0,1}\,\% près.
Si $t$ est ce taux on doit avoir sur la période de 8 ans :

$(1 + t)^8 = 5,039 \iff 1 + t = 5,039^{1/8} \iff t = 5,039^{1/8} - 1 \approx 0,224$ soit à peu près 22,4\,\% par an.
	\end{enumerate}
\item %En \textbf{annexe}, on a représenté dans un repère le nuage de points de la série statistique $(x_i~;~y_i)$.

%Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y=ax+b$. Arrondir $a$ et $b$ à \np{0,1} près.
La calculatrice donne en arrondissant les coefficients à 0,1 près : 

$y = \np{6461,2}x + \np{3932,4}$.
\item %Pour la suite, on retient comme droite d'ajustement la droite $(\Delta)$ d'équation $y= \np{6500}x+\np{3900}$.

%Tracer la droite $(\Delta)$ dans le repère précédent.
Voir la figure.
\item %Donner une estimation de la puissance du parc éolien européen en 2012. Indiquer la méthode utilisée.
2012 correspond à $x = 13$.

\emph{Par le calcul} : en utilisant l'équation de la droite d'ajustement, si $x = 13$,

$y = \np{6500} \times 13 +\np{3900} = \np{88400}$~(MW)

\emph{Graphiquement} : on trace la droite verticale d'équarion $x = 13$ qui coupe la droite d'ajustement en un point dont on trouve l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées : on lit à peu près \np{88000} qui est moins précise. 
\end{enumerate}

\pagebreak

\medskip
\begin{center}
{\Large \textbf{ANNEXE}}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(10,11)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,0)(10,11)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{5 1.25 x mul sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{7.55 1.25 x mul sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{8.5 1.25 x mul sub}
\uput[u](3.5,0.75){$D$}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(10,11)
\psplot[linewidth=1.2pt]{0}{6}{(--54-9*x)/6}
\psplot[linewidth=1.2pt]{0}{8}{(--64-8*x)/8}
\psline[linewidth=1.2pt](4,-1)(4,11)
\pspolygon[fillstyle=hlines](8,0)(0,8)(0,11)(10,11)(10,0)
\pspolygon[fillstyle=vlines](6,0)(0,9)(0,11)(10,11)(10,0)
\uput[45](0,9){$(D_1)$}
\uput[90](8,0){$(D_2)$}
\end{pspicture*}
\bigskip



\textbf{Exercice 4}

\medskip

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.375cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(14,20)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,0)(-2,-2)(14,20)

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.000075cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10000,
ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-10000)(14,100000)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{6500 x mul 3900 add}
\psline(0,3900)(14,94900)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(13,0)(13,88400)(0,88400)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,linecolor=darkgray](1,12887)(2,17315)(3,23098)(4,28491)(5,34372)(6,40500)(7,48031)(8,56517)(9,64935)
\uput[90](13.5,0){$x$}
\uput[45](0,90000){$y$}

\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}