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%Sujet aimablement fourni par l'académie de Martinique
%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSI}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI~\decofourright \\
 Antilles-Guyane septembre 2011}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1\hfill  4 points}

\medskip

Monsieur Prévoyant place un capital de \np{3000}~euros sur un compte rémunéré à intérêts composés.

Le taux de placement est de 3\,\% l'an.
  
Tous les ans, au premier janvier, il ajoute 50~euros sur ce compte.
 
Soit $C_{n}$ le capital, en euros, après $n$ années de placement. On a ainsi $C_{0} = \np{3000}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $C_{1} = \np{3140}$. 
\item Déterminer $C_{2}$. 
\item Justifier que pour tout entier naturel $n,\: C_{n+1} = 1,03C_{n} + 50$. 
\item Monsieur Prévoyant veut utiliser une feuille de calcul d'un tableur pour déterminer son capital en fonction du nombre d'années de placement. 

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B\\ \hline 
1 &Taux de placement en \% &3\\ \hline   
2 &Ajout annuel (en euros) &50\\ \hline   
3&&\\ \hline   
4& Nombre d'années de placement& Capital en euros au bout de $n$ années\\ \hline  
5 &0 &\np{3000,00}\\ \hline   
6 &1&\\ \hline  
7 &2&\\ \hline   
8 &3&\\ \hline 
9 &4&\\ \hline 
\end{tabularx}

\end{center}

Le format des cellules B5 à B9 est monétaire avec 2 décimales.
 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer une formule à entrer en B6 qui, par recopie vers le bas, permet de compléter la plage de cellules B6~:~B9. 
		\item Quel est le capital au bout de 4 années de placement ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2\hfill  6 points}

\medskip

L'INSEE publie le tableau suivant, donnant l'espérance de vie à la naissance des individus de sexe 
masculin (hors autres critères) selon l'année de naissance.

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année de naissance &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline
Rang $\left(x_{i}\right)$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Age moyen au décès $\left(y_{i}\right)$ &75,3 &75,5 &75,8 &75,9 &76,7 &76,8 &77,2 &77,4 &77,6\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le taux d'évolution de l'espérance de vie des hommes entre 2000 et 2008.
 
On donnera une valeur approchée à 0,01\,\% près. 
\item Déterminer le taux d'évolution annuel moyen de l'espérance de vie des hommes entre 2000 et 2008. On donnera une valeur approchée à 0,01\,\% près. 
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
 
Sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2~cm pour une unité.

Sur l'axe des ordonnées, on placera 75 à l'origine et on choisira 5~cm pour un an. 
\item Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et le placer dans le repère précédent (les coordonnées seront arrondies, si besoin, au dixième). 
\item \emph{Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.}
 
Donner une équation de la droite de régression $(D)$ de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième si nécessaire.
 
Tracer la droite $(D)$ dans le repère précédent. 
\item Quelle estimation peut-on faire quant à l'espérance de vie des hommes nés en 2010 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill  4 points}

\medskip

Un magazine publie une étude comparative sur des téléphones portables proposant l'accès illimité à internet. Toutes les personnes interrogées possèdent un téléphone portable.
 
Parmi les personnes interrogées, 60\,\% ont acheté un téléphone de marque Alpha.
 
Parmi les personnes ayant acheté un téléphone de marque Alpha, 80\,\% ont choisi un accès internet 
illimité. 

Parmi les personnes n'ayant pas acheté un téléphone de marque Alpha, 70\,\% ont choisi l'accès 
internet illimité. 

On choisit une personne au hasard parmi les personnes interrogées. On appelle $p$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
 
On note :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement : \og le téléphone de cette personne est de marque Alpha \fg,
\item[ ] $I$ l'évènement : \og le téléphone offre un accès internet illimité \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déduire des informations de l'énoncé : 
	\begin{enumerate}
		\item Les probabilités $p(A)$ et $p\left(\overline{A}\right)$ des évènements $A$ et $\overline{A}$. 
		\item La probabilité $p_{A}(I)$ de l'évènement $I$ sachant $A$. 
		\item La probabilité $p_{\overline{A}}(I)$ de l'évènement $I$ sachant $\overline{A}$.
	\end{enumerate} 
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer les probabilités $p(A \cap I)$ et $p\left(\overline{A} \cap I\right)$ des évènements $A \cap I$ et $\overline{A} \cap I$. 
\item Démontrer que $p(I) = 0,76$. 
\item On sait que la personne choisie possède un téléphone avec un accès illimité à internet.
 
Quelle est la probabilité pour que ce téléphone soit de marque Alpha ? On donnera une valeur approchée de ce dernier résultat à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4\hfill  6 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des tables de jardin. La production est comprise entre 0 et 30 tables par jour. Toutes les tables fabriquées sont supposées vendues.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [1~;~30] par 

\[C(x) = x^2 + 50x + 100.\]

Le coût de production, exprimé en euros, de $x$ tables fabriquées est égal à $C(x)$. 
\begin{enumerate}
\item Quel est le coût de production, en euros, de 10~tables ? 
\item Calculer le coût unitaire, en euros, pour 10~tables produites. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

À chaque quantité $x$ de tables produites, on associe le coût unitaire, $\dfrac{C(x)}{x}$, exprimé en euros. 

On modélise ce coût par la fonction $f$, définie sur l'intervalle [1~;~30] par $f(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. 

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~30] et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
 
La courbe représentative de $f$ est donnée dans le repère fourni en annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement une valeur approchée de $f(5)$ et de $f(25)$. 
\item D'après le graphique, pour quelles quantités de tables produites, le coût unitaire, en euros, est-il inférieur ou égal à 80 ? 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f(x) = x + 50+ \dfrac{100}{x}$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~30].  
 
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~30], $f^{\prime}(x) = \dfrac{(x - 10)(x + 10)}{x^2}$. 
\item Déterminer le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [1~;~30] et dresser le tableau de variation de $f$. 
\item Préciser la quantité de tables à fabriquer par jour pour que le coût unitaire soit minimal.
 
Quel est ce coût minimal? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe}

\vspace{1cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 4}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.035cm}
\begin{pspicture}(-2,-10)(32,170)
\uput[d](28,-15){nombre de tables}\uput[u](3,170){Co\^ut moyen (en euros)}
\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,170)}
\multido{\n=0+10}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-8)(32,170)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(-2,-8)(32,170)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{30}{x 50 add 100 x div add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}