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%Sujet aimablement fourni par l'académie de Martinique
%Tapuscrit Denis Vergès
%Corrig\'e : J.-C. Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSI}
\lfoot{\small correction {Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\gray Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI \\
  Correction Antilles-Guyane septembre 2011}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1\hfill  4 points}

\medskip

Monsieur Prévoyant place un capital de \np{3000}~euros sur un compte rémunéré à intérêts composés.

Le taux de placement est de 3\,\% l'an.
  
Tous les ans, au premier janvier, il ajoute 50~euros sur ce compte.
 
Soit $C_{n}$ le capital, en euros, après $n$ années de placement. On a ainsi $C_{0} = \np{3000}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons $C_1$. La somme étant placée à 3~\%, elle a été multipliée par \np{1.03}  $C_{1} = \np{3000}\times \np{1.03}+50 =\np{3140}$. 
\item Déterminons $C_{2}$. $C_2= \np{3140}\times \np{1.03}+50=\np{3284.20}$
\item Pour tout entier naturel $n,\: C_{n+1} = 1,03C_{n} + 50$, car le capital à l'issue de l'année $n$ a été multiplié par \np{1.03} et à ceci,il a été ajouté $50$ . 
\item Monsieur Prévoyant veut utiliser une feuille de calcul d'un tableur pour déterminer son capital en fonction du nombre d'années de placement. 

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B\\ \hline 
1 &Taux de placement en \% &3\\ \hline   
2 &Ajout annuel (en euros) &50\\ \hline   
3&&\\ \hline   
4& Nombre d'années de placement& Capital en euros au bout de $n$ années\\ \hline  
5 &0 &\np{3000,00}\\ \hline   
6 &1&\np{3140.00}\\ \hline  
7 &2&\np{3284.20}\\ \hline   
8 &3&\np{3432.73}\\ \hline 
9 &4&\np{3585.51}\\ \hline 
\end{tabularx}

\end{center}

Le format des cellules B5 à B9 est monétaire avec 2 décimales.
 
	\begin{enumerate}
		\item Une formule à entrer en B6 qui, par recopie vers le bas, permet de compléter la plage de cellules B6~:~B9 est =B5*1.03+50. 

{\emph{Remarque} Si l'on veut pouvoir changer le taux d'intérêt et la somme ajoutée =B5*(1+\$B\$1)/100)+\$B\$2. }
		\item Le capital au bout de 4 années de placement est de \np{3585.71}~\euro. Résultat obtenu en utilisant la relation de récurrence, les calculs intermédiaires figurent dans le tableau.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2\hfill  6 points}

\medskip

L'INSEE publie le tableau suivant, donnant l'espérance de vie à la naissance des individus de sexe 
masculin (hors autres critères) selon l'année de naissance.

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année de naissance &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline
Rang $\left(x_{i}\right)$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Age moyen au décès $\left(y_{i}\right)$ &75,3 &75,5 &75,8 &75,9 &76,7 &76,8 &77,2 &77,4 &77,6\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculons le taux d'évolution de l'espérance de vie des hommes entre 2000 et 2008.
 Le taux global d'augmentation entre 2000 et 2008 est \[\frac{\text{valeur 2008}-\text{valeur 2000}}{\text{valeur 2000}}=
\frac{\np{77.6}-\np{75.3}}{\np{75.3}}\approx\np{0.0305}\approx \np{3.05}\,\%\]

\item Calculons le taux d'évolution annuel moyen de l'espérance de vie des hommes entre 2000 et 2008. Entre 2000 et 2008, il y a eu  huit augmentations. Si $t$ est le taux d'augmentation moyen annuel alors $(1+t)^{8}=\np{1.0305}$; Il en résulte $t=\np{1.0305}^{\frac{1}{8}}-1 \approx \np{0.00376}\approx \np{0.38}\,\%$.
\item Représentons le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
 \medskip
 

\psset{xunit=2cm,yunit=5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,74.85)(8.5,78)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=75]{->}(0,75)(8.2,78)
\multido{\n=75+0.1}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,75)(\n,78)}
\multido{\n=75+0.2,\na=75+0.2}{16}{\uput[l](0,\n){\np{\na}}}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.3](0,75.3)(1,75.5)(2,75.8)(3,75.9)(4,76.7)(5,76.8)(6,77.2)(7,77.4)(8,77.6)(4,76.466)
\rput(4.2,76.466){G}\rput(7.8,77.7){\Large $\mathcal{D}$}
\psplot[algebraic,linecolor=cyan]{0}{8}{0.31*x+75.23}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
\item Calculons les coordonnées du point moyen G de cette série statistique. Le point moyen a pour coordonnées ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[\overline{x}=\dfrac{0+1+2+3+4+5+6+7+8}{9}=4 \quad \overline{y}=\dfrac{\np{75.3}+\np{75.5}+\np{75.8}+\np{75.9}+\np{76.7}+\np{76.8}+\np{77.2}+\np{77.4}+\np{77.6}}{9}\approx\np{76.5}\]
Les coordonnées de G sont : (4~;~\np{76.5})
\item %\emph{Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.}
 À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite $\mathcal {D} $ qui réalise un ajustement affine du nuage de points $\left(x_i\,;\,y_i\right)$ obtenu par la méthode des moindres carrés est $y=\np{0.3}x+\np{75.2}$ 
 
Voir la droite $\mathcal{D}$ dans le repère précédent. 
\item 
En utilisant la droite $\mathcal {D}$, déterminons une estimation de l'espérance de vie des hommes nés en 2010. Le rang est 10.
	$y=\np{0.3}\times 10+\np{75.2}=\np{78.2}$.
	
Un homme, né en 2010, peut estimer avoir une espérance de vie de \np{78.2} ans.	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill  4 points}

\medskip

Un magazine publie une étude comparative sur des téléphones portables proposant l'accès illimité à internet. Toutes les personnes interrogées possèdent un téléphone portable.
 
Parmi les personnes interrogées, 60\,\% ont acheté un téléphone de marque Alpha.
 
Parmi les personnes ayant acheté un téléphone de marque Alpha, 80\,\% ont choisi un accès internet illimité. 

Parmi les personnes n'ayant pas acheté un téléphone de marque Alpha, 70\,\% ont choisi l'accès 
internet illimité. 

On choisit une personne au hasard parmi les personnes interrogées. On appelle $p$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
 
 La loi  est l'équiprobabilité, la probabilité d'un événement $\text{A}$ est $p(\text{A})=\frac{\text{\footnotesize nombre d'éléments de A}}{\text{\footnotesize nombre d'éléments de l'univers}}$.
  
On note :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{description}
\item[ ] $\text{A}$ l'événement : \og le téléphone de cette personne est de marque Alpha \fg,
\item[ ] $\text{I}$ l'événement: \og le téléphone offre un accès internet illimité \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $\overline{\text{A}}$ l'événement contraire de l'événement $\text{A}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons  
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité $p(\text{A})$ de l'événement $\text{A}$ est \np{0.6}  car 60\,\% ont acheté un téléphone de marque Alpha. 

$p\left(\overline{\text{A}}\right) =1-p(\text{A})=1-\np{0.6}=\np{0.4}$. 
		\item La probabilité $p_{\text{A}}(\text{I})$ de l'événement $\text{I}$ sachant $\text{A}$ est \np{0.8}, car parmi les personnes ayant acheté un téléphone de marque Alpha, 80\,\% ont choisi un accès internet illimité.
		\item La probabilité $p_{\overline{\text{A}}}(\text{I})$ de l'événement $\text{I}$ sachant $\overline{\text{A}}$ est \np{0.7}  car parmi les personnes n'ayant pas acheté un téléphone de marque Alpha, 70\,\% ont choisi l'accès internet illimité. 
	\end{enumerate} 
\item Construisons un arbre pondéré décrivant la situation.
\begin{center} \psset{nodesep=1mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A}\taput{$\np{0.60}$}}
	  { 
		  \TR{I}\taput{\np{0.80}}
		  \TR{$\overline{\text{I}}$} \tbput{$\np{0.20}$}	
		}  
	\pstree{\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{$\np{0.40}$}}
	  {
		  \TR{I}\taput{$\np{0.70}$}
		 \TR{$\overline{\text{I}}$}\tbput{$\np{0.30}$}	  
	  }	
}
\end{center} 
 
\item Calculons les probabilités $p(\text{A} \cap \text{I})$ et $p\left(\overline{\text{A} \cap \text{I}}\right)$ des événements $\text{A}\cap \text{I}$ et $\overline{\text{A}} \cap \text{I}$. 

  $p(\text{A}\cap \text{I})= p(\text{A})\times p_\text{A}(\text{I})=\np{0.60}\times \np{0.80}=\np{0.48}$
  
   $p(\overline{\text{A}}\cap \text{I})= p(\overline{\text{A}})\times p_{\overline{\text{A}}}(I)=\np{0.40}\times \np{0.70}= \np{0.28}$
  
\item   Démontrons que $p(\text{I}) = 0,76$.

$p(\text{I})= p(\text{A}\cap \text{I})+p(\overline{\text{A}}\cap \text{I})=\np{0.48}+\np{0.28}=\np{0.76}$


 
\item On sait que la personne choisie possède un téléphone avec un accès illimité à internet.
 
Déterminons la probabilité pour que ce téléphone soit de marque Alpha. Calculons $p_{\text{I}}(\text{A})$.

$p_{\text{I}}(\text{A})=\dfrac{p(\text{A} \cap \text{I})}{p(\text{I})}=\dfrac{\np{0.48}}{\np{0.76}}=\np{0.63}$



\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4\hfill  6 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des tables de jardin. La production est comprise entre 0 et 30 tables par jour. Toutes les tables fabriquées sont supposées vendues.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [1~;~30] par 

\[C(x) = x^2 + 50x + 100.\]

Le coût de production, exprimé en euros, de $x$ tables fabriquées est égal à $C(x)$. 
\begin{enumerate}
\item Calculons le coût de production, en euros, de 10~tables. Il suffit de calculer  $C(10)$. $C(10)=10^2+50\times 10+100=700$. Le coût de fabrication de 10~tables est de 700~euros. 
\item Calculons le coût unitaire, en euros, pour 10~tables produites. Nous répartissons ce coût total sur les 10 chaises ; donc le coût unitaire est de 70~euros. ($\dfrac{700}{10}=70$ )
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

À chaque quantité $x$ de tables produites, on associe le coût unitaire, $\dfrac{C(x)}{x}$, exprimé en euros. 

On modélise ce coût par la fonction $f$, définie sur l'intervalle [1~;~30] par $f(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. 

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~30] et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
 
La courbe représentative de $f$ est donnée dans le repère fourni en annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons graphiquement une valeur approchée de $f(5)$ et de $f(25)$. Pour ce faire, lisons les ordonnées des points de la courbe  d'abscisses respectives 5 et 25. $f(5)\approx 75\,;\ f(25)\approx 80$.
\item Graphiquement,  les quantités de tables produites pour lesquelles le coût unitaire, en euros, est inférieur ou égal à 80 sont les abscisses des points pour lesquels la courbe est située en dessous de la droite d'équation $y=80$. Les quantités appartiennent à l'intervalle [4~;~26]
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrons que $f(x) = x + 50+ \dfrac{100}{x}$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~30]. 

$f(x)=\dfrac{C(c)}{x}=\dfrac{x^2+50x+100}{x}=\dfrac{x^2}{x}+ \dfrac{50x}{x}+\dfrac{100}{x}=x+50+\dfrac{100}{x}$
 
\item Calculons $f^{\prime}(x)$. $f^{\prime}(x) =1-\dfrac{100}{x^2}=\dfrac{x^2-100}{x^2}=\dfrac{(x-10)(x+10)}{x^2}$.

Nous avons bien montré que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~30], $f^{\prime}(x) = \dfrac{(x - 10)(x + 10)}{x^2}$. 
\item Puisque $x\in[1~;~30]\ \dfrac{x+10}{x^2}>0 $, par conséquent le signe de $f^{\prime}(x)$ est celui de $x-10$. 

 $x-10>0$ si et seulement si $x>10$. 

$f^{\prime}(x)\leqslant 0$ si $x\in\ [1~;~10],\ f^{\prime}(x)\geqslant 0$ si $x\in\ [10~;~30]$.           

\'Etudions les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~30]. 

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)\leqslant 0 $ alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$ ; $f$ est donc décroissante sur $[1~;~10]$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)\geqslant 0$ alors $f$ est croissante sur $I$ ; $f$ est donc croissante sur $[10~;~30]$.

Dressons un tableau de variations. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
%\psgrid
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1.1,0)(1.1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.25,2.45){$1$}\uput[u](7.65,2.45){$30$}
\uput[u](4.5,2.45){$10$}\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}$}\uput[u](2.6,2.05){$-$}\uput[u](6.6,2.05){$+$}
\rput(0.52,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){\scriptsize de $f$}
\uput[u](4.5,1.95){$0$} \uput[d](1.48,2){$151$}\uput[u](4.5,0){$70$}\uput[d](7.4,2.1){$\approx \np{73.33} $}
\psline{->}(1.3,1.5)(4,0.3)  \psline{->}(4.9,0.3)(7.3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\item  D'après le tableau de variations, la quantité de tables à fabriquer par jour pour que le coût unitaire soit minimal est de 10 tables.
 
Le coût minimal est de 70~euros. 
\end{enumerate}

\newpage



\begin{center}

\textbf{Annexe}

\vspace{1cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 4}

\vspace{1cm}


\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.035cm}
\begin{pspicture}(-2,-10)(32,170)
\uput[d](28,-15){nombre de tables}\uput[u](3,170){Co\^ut moyen (en euros)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-8)(32,170)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(-2,-8)(32,170)
\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,170)}
\multido{\n=0+10}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)}
\psplot[algebraic,plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{30}{x+50+100/x}%{x 50 add 100 x div add}
\psline[linewidth=0.85pt,linecolor=cyan](0,80)(30,80)
\psCoordinates[linewidth=0.75pt,linecolor=red,linestyle=dashed,arrows=->,arrowscale=1.5](*5 {x+50+100/x})
\psCoordinates[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,arrows=->,arrowscale=1.5](*25 {x+50+100/x})
\psCoordinates[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed,arrows=->,arrowscale=1.5](*3.82 {x+50+100/x})
\psCoordinates[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed,arrows=->,arrowscale=1.5](*26.2 {x+50+100/x})
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}