\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Sujet fourni par Emmanuelle Pernot 
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STG},
pdftitle = {Mercatique Nouvelle-Calédonie mars 20123},
allbordercolors = white}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG Mercatique et technologies de la gestion}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\mars 2012}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Un concessionnaire automobile fait le bilan annuel de ses ventes. 

60\,\% des véhicules vendus sont d'occasion, les autres sont neufs.

Certains ont un moteur diesel, les autres un moteur essence. 

Parmi les véhicules d'occasion, 25\,\% ont un moteur diesel.
 
Parmi les véhicules neufs, 30\,\% ont un moteur essence.
 
On choisit au hasard le dossier d'un véhicule vendu cette année. On note : 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $N$ l'évènement : \og C'est un véhicule neuf \fg 
\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement: \og C'est un véhicule diesel \fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant : 

\medskip
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2mm]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$N$}}
	  { 
		  \TR{$D$}
		  \TR{$\overline{D}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{N}$}}
	  {
		  \TR{$D$}
		  \TR{$\overline{D}$}	  
	  }
}
\end{center}
 
\item Traduire par une phrase l'évènement $N \cap D$. 
\item Calculer $P(N \cap D)$. 
\item Montrer que : $P(D) = 0,43$. 
\item En déduire la probabilité conditionnelle $P_{D}(N)$. 

\emph{On donnera une valeur arrondie du résultat à } $10^{- 2}$. 
\item Les évènements $N$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées, une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} 

\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse incorrecte retire $0,25$ point, une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip
 
En septembre 2011, les coûts de production d'une petite entreprise s'élevaient à \np{2530}~\euro.
 
Cette entreprise souhaite augmenter progressivement son bénéfice, en diminuant son coût de production. Elle envisage pour cela deux stratégies : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Une première stratégie consiste à diminuer le coût de production de 2\,\% par mois. 
\item[$\bullet~~$] Une deuxième consiste à baisser ce coût de $40$~\euro{} par mois. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La feuille de calcul suivante, extraite d'un tableur, permet de comparer ces deux stratégies. Tous les résultats sont donnés en euros et arrondis à 0,01.
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F\\ \hline
1&\multicolumn{2}{|c|}{~}&\multicolumn{2}{|c|}{Stratégie \no 1}&\multicolumn{2}{|c|}{Strat\'egie \no 2}\\ \hline 
2&\footnotesize Mois&\footnotesize Rang du mois&\footnotesize Coût de production&\footnotesize Montant de la baisse&\footnotesize Coût de production&\footnotesize Montant de la baisse\\ \hline 
3&septembre 2011	&1&2530,00&50,60	&2530,00	&40,00\\ \hline 
4&octobre 2011		&2&2479,40&49,59	&2490,00	&40,00\\ \hline 
5&novembre 2011		&3&2429,81&48,60	&2450,00	&40,00\\ \hline
6&décembre 2011		&4&2381,21&47,62	&2410,00	&40,00\\ \hline 
7&janvier2012		&5&2333,59&			&2370,00	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans la cellule E4, on a entré une formule que l'on a recopiée vers le bas. Cette formule est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.}~~ = E\$3 - 40&\textbf{B.}~~ = C3 - F3 &\textbf{C.}~~ = C\$3 - 40 	&\textbf{D.}~~ = E3 - 40\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Dans la cellule D3, on a entré une formule que l'on a recopiée vers le bas. Cette formule est :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.}~~  = C3 *2/100&\textbf{B.}~~= \$C\$3*2&\textbf{C.}~~=C3*2&\textbf{D.}~~= \$C\$3*2/100 \\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Selon la stratégie \no 1, le pourcentage d'évolution du coût de production de septembre 2011 à janvier 2012 (arrondi au dixième) est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.}~~$- 7,8$\,\%&\textbf{B.}~~ $- 8,0$\,\%&\textbf{C.}~~ $- 9,6$\,\%&\textbf{D.}~~$=- 10,0$\,\% \\
\end{tabularx}

\medskip

\item On appelle $u_{n}$ le coût de production au mois de rang $n$ selon la stratégie \no 2.
 
On a ainsi : 	$u_{1} = \np{2530},\: 	u_{2} = \np{2490}$,\: \ldots
 
L'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{A.}~~ $u_{n} = \np{2530} \times 40^{n-1}$&\textbf{B.}~~ $u_{n} = \np{2530} - 40(n - 1)$\\
\textbf{C.}~~$u_{n} = \np{2530} - 40 n$&\textbf{D.}~~$u_{n} = \np{2530} \times 40 n$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item La stratégie permettant d'obtenir le bénéfice le plus important en septembre 2013 est: 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{A.}~~ la stratégie \no 1&\textbf{B.}~~ la stratégie \no 2&\textbf{C.}~~ les deux stratégies sont équivalentes\\
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne la superficie et le prix de dix appartements anciens vendus récemment dans le centre d'une petite ville :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Superficie $\left(\text{en m}^2\right) : x_{i}$& 32 &36 &38 &42 &45 &65 &70 &80 &90 &110\\ \hline 
Prix (en centaines d'euros) : $y_{i}$& 330 &370 &400 &430 &450 &660 &680 &780 &850 &\np{1050}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé aux informations ci-dessus.
 
On adoptera les unités graphiques suivantes : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 10 m$^2$ ; 
\item[$\bullet~~$] sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 100 centaines d'euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer dans le repère. 
\item Donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au centième). 
\item Dans cette question, on utilisera l'équation obtenue dans la question 3 pour faire des estimations de prix et de surface. 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer (à la centaine d'euros près) le prix d'un appartement de 150~m$^2$. 
		\item Estimer (au mètre carré près) la surface d'un appartement coûtant \np{160000}~euros. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ tracée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$.

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(5.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-0.5,-2)(5.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(5.5,3.5)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.25}{5.5}{2 x mul 2 sub x ln 4 mul sub}
\psplot[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,plotpoints=8000]{-0.5}{2}{2 2 x mul sub}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](5.5,2.25){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
  
La droite tracée en pointillés est la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\emph{Dans cette partie, il est demandé de répondre aux différentes questions par lecture graphique.\\
Aucun calcul n'est donc attendu.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$. 
\item Résoudre l'équation $f^{\prime}(x) = 0$. 
\item Déterminer $f^{\prime}(1)$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
  
En fait, la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = 2x - 2 - 4 \ln (x).\] 

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $f^{\prime}(x) = \dfrac{2(x - 2)}{x}$  pour tout $x > 0$. 
\item En déduire le tableau de variation de $f$. On indiquera la valeur exacte du minimum. 

On notera $\alpha$ la solution de l'équation $f(x) = 0$ appartenant à l'intervalle $[3~;~+ \infty[$.
 
Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près puis à $10^{-3}$ près. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $C$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~6] par: 

\[C(x) = x^2 + 2x -  4x \ln (x).\]
 
Une entreprise fabrique des boitiers de télécommande plastiques. Lorsque l'entreprise fabrique $x$ milliers de boitiers par jour, le coût moyen de production d'un boitier est égal à $C(x)\: (x$ est compris entre 1 millier et 6 milliers). Le coût moyen est exprimé en euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $C^{\prime}(x) = 2x - 2 - 4 \ln (x)$ où $C^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $C$ sur [1~;~ 6]. 
\item À l'aide de l'étude faite dans la partie B, déterminer le signe de $C^{\prime}(x)$ sur [1~;~6] puis établir le tableau de variation de $C$ sur l'intervalle [1~;~6]. 
\item En déduire le nombre de boitiers à produire par jour pour que le coût de production d'un boitier soit minimum. On donnera une valeur approchée du résultat à un boitier près.  
\end{enumerate}
\end{document}