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%Sujet fourni par Emmanuelle Pernot
%Corrigé : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG Mercatique et technologies de la gestion}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie corrigé}}
\rfoot{\small{mars 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\  mars 2012\hspace{1cm}correction}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Un concessionnaire automobile fait le bilan annuel de ses ventes. 

60\,\% des véhicules vendus sont d'occasion, les autres sont neufs.

Certains ont un moteur diesel, les autres un moteur essence. 

Parmi les véhicules d'occasion, 25\,\% ont un moteur diesel.
 
Parmi les véhicules neufs, 30\,\% ont un moteur essence.
 
On choisit au hasard le dossier d'un véhicule vendu cette année. On note : 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $N$ l'événement : \og C'est un véhicule neuf \fg 
\item[$\bullet~~$] $D$ l'événement: \og C'est un véhicule diesel \fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Complétons l'arbre de probabilités suivant : 

\medskip
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$N$}\taput{\small{$0,4$}}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{\small{$0,7$}}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\small{$0,3$}}   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{N}$}\tbput{\small{$0,6$}}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{\small{$0,25$}}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\small{$0,75$}}  
	  }
	
}
\end{center}
 
\item  $N \cap D$ est l'événement :\og Le dossier choisi est celui d'un véhicule neuf ayant un moteur diésel\fg
\item Calculons $P(N \cap D)$. $P(N \cap D)= P(N)\times P_{N}(D)=\np{0.4}\times \np{0.7}=\np{0.28} $
\item Montrons que : $P(D) = 0,43$. 

Calculons d'abord $P(\overline{N}\cap D)$. $P(\overline{N}\cap D)= P(\overline{N})\times P_{\overline{N}} (D)=\np{0.6}\times \np{0.25}=\np{0.15}$

$P(D)=P(N\cap D)+P(\overline{N} \cap D)=\np{0.28}+\np{0.15}=\np{0.43}$

\item Calculons maintenant $P_{D}(N)$, probabilité que le véhicule soit neuf sachant que c'est un diésel.

 $P_{D}(N)=\dfrac{P(N\cap D)}{P(D)}=\dfrac{\np{0.28}}{\np{0.43}}\approx \np{0,65}$

\item Les événements $N$ et $D$ sont indépendants si $P(N \cap D)= P(N)\times P(D)$

$P(N \cap D)=\np{0.28} $ et $P(N)\times P(D)=\np{0.4}\times \np{0.43}=\np{0.172}$.

 Les événements ne sont pas indépendants.. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées, une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} 

\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse incorrecte retire $0,25$ point, une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip
 
En septembre 2011, les coûts de production d'une petite entreprise s'élevaient à \np{2530}~\euro.
 
Cette entreprise souhaite augmenter progressivement son bénéfice, en diminuant son coût de production. Elle envisage pour cela deux stratégies : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Une première stratégie consiste à diminuer le coût de production de 2\,\% par mois. 
\item[$\bullet~~$] Une deuxième consiste à baisser ce coût de $40$~\euro{} par mois. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La feuille de calcul suivante, extraite d'un tableur, permet de comparer ces deux stratégies. Tous les résultats sont donnés en euros et arrondis à 0,01.
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F\\ \hline
1&\multicolumn{2}{|c|}{~}&\multicolumn{2}{|c|}{Strat\'egie \no 1}&\multicolumn{2}{|c|}{Strat\'egie \no 2}\\ \hline 
2&\footnotesize Mois&\footnotesize Rang du mois&\footnotesize Coût de production&\footnotesize Montant de la baisse&\footnotesize Coût de production&\footnotesize Montant de la baisse\\ \hline 
3&septembre 2011&1&2530,00&50,60&2530,00&40,00\\ \hline 
4&octobre 2011&2&2479,40&49,59&2490,00&40,00\\ \hline 
5&novembre 2011&3&2429,81&48,60&2450,00&40,00\\ \hline
6&décembre 2011&4&2381,21&47,62&2410,00&40,00\\ \hline 
7&janvier2012&5&2333,59&&  2370,00&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans la cellule E4, on a entré une formule que l'on a recopiée vers le bas. Cette formule est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.}~~ \cancel{= E\$3 - 40}&\textbf{B.}~~  \cancel{=C3 - F3} &\textbf{C.}~~\cancel{ = C\$3 - 40} 	&\textbf{D.}~~ \ovalbox{= E3 - 40}\\
\end{tabularx}

\$3 la ligne est fixe

\medskip 

\item Dans la cellule D3, on a entré une formule que l'on a recopiée vers le bas. Cette formule est :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.}~~  \ovalbox{= C3 *2/100}&\textbf{B.}~~\cancel{= \$C\$3*2}&\textbf{C.}~~\cancel{=C3*2}&\textbf{D.}~~\cancel{= \$C\$3*2/100} \\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Selon la stratégie \no 1, le pourcentage d'évolution du coût de production de septembre 2011 à janvier 2012 (arrondi au dixième) est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{A.}~~\ovalbox{$- 7,8$\,\%}&\textbf{B.}~~ \cancel{$- 8,0$\,\%}&\textbf{C.}~~ \cancel{$- 9,6$\,\%}&\textbf{D.}~~\cancel{$=- 10,0$\,\%} \\
\end{tabularx}

\medskip

\item On appelle $u_{n}$ le coût de production au mois de rang $n$ selon la stratégie \no 2.
 
On a ainsi : 	$u_{1} = \np{2530},\quad 	u_{2} = \np{2490}$, \ldots
 
L'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{A.}~~ \cancel{$u_{n} = \np{2530} \times 40^{n-1}$}&\textbf{B.}~~ \ovalbox{$u_{n} = \np{2530} - 40(n - 1)$}\\
\textbf{C.}~~\cancel{$u_{n} = \np{2530} - 40 n$}&\textbf{D.}~~\cancel{$u_{n} = \np{2530} \times 40 n$}\\
\end{tabularx}
$(u_n)$ suite arithmétique de raison $-40$ et de premier terme $u_1$

\medskip
 
\item La stratégie permettant d'obtenir le bénéfice le plus important en septembre 2013 est: 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{A.}~~ \ovalbox{la stratégie \no 1}&\textbf{B.}~~ \cancel{la stratégie \no 2}&\textbf{C.}~~ \cancel{\begin{minipage}{3cm}les deux stratégies\\ sont équivalentes\end{minipage}}\\
\end{tabularx}
 celle qui permet d'obtenir le bénéfice le plus important est celle où le coût est le plus faible. 

stratégie \no 1 en septembre 2013 : $\np{1557.92}$, stratégie \no 2 : $\np{1570}$
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne la superficie et le prix de dix appartements anciens vendus récemment dans le centre d'une petite ville :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Superficie $\left(\text{en m}^2\right) : x_{i}$& 32 &36 &38 &42 &45 &65 &70 &80 &90 &110\\ \hline 
Prix (en centaines d'euros) : $y_{i}$& 330 &370 &400 &430 &450 &660 &680 &780 &850 &1050\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé aux informations ci-dessus est
 représenté,dans le plan rapporté à un repère orthogonal, à la fin du texte.
 
Les unités graphiques étant les suivantes : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 10 m$^2$ ; 
\item[$\bullet~~$] sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 100 centaines d'euros.
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}

\setlength\parindent{0mm} 
\item Calculons les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. 
 Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[
\overline{x}_G=\frac{32+36+\dots+90+110}{10}=\np{60.8} \quad \overline{y}_G=\frac{330+370+\dots+850+\np{1050}}{10}=600\]
G $\left( \np{60.8}~;~\np{600} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.

\item Une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{9.11}x+\np{46.20}$. 
\item Dans cette question, on utilisera l'équation obtenue dans la question 3 pour faire des estimations de prix et de surface. 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour donner une estimation (à la centaine d'euros près) du prix d'un appartement de 150~m$^2$, remplaçons $x$ par 150. 

$y=\np{9.11}\times 150+\np{46.20}=\np{1412.70}$. Le prix d'un appartement de 150~m$^2$ est d'environ \np{141300}~\euro.
		\item Pour donner une estimation (au mètre carré près) la surface d'un appartement coûtant \np{160000}~euros, résolvons l'équation $\np{1600}=\np{9.11}x+\np{46.20}$

$x=\dfrac{\np{1600}-\np{46.20}}{\np{9.11}} \approx \np{170.56}$. Pour un montant de \np{160000}~\euro, nous pouvons espérer acheter un appartement d'environ 171~m$^2$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,75cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ tracée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$.

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(5.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(5.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-0.5,-1.5)(5.5,3.5)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.25}{5.5}{2 x mul 2 sub x ln 4 mul sub}
\psplot[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,plotpoints=8000]{-0.5}{2}{2 2 x mul sub}
\uput[dr](0,0){O}\uput[ul](5.5,2.25){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
  
La droite tracée en pointillés est la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\emph{Dans cette partie, il est demandé de répondre aux différentes questions par lecture graphique.\\
Aucun calcul n'est donc attendu.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions. La courbe coupe deux fois l'axe des abscisses.
\item L'équation $f^{\prime}(x) = 0$ a pour solution $x=2$. La tangente en ce point est parallèle à l'axe des abscisses.
\item $f^{\prime}(1)=-2$. La droite a pour coefficient directeur $-2$. Elle passse par les points $(0~;~2)$ et $(1~;~0)$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
  
En fait, la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = 2x - 2 - 4 \ln (x).\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminons la fonction dérivée de $f$.

$f=u + v$ avec $u(x)=2x-2$ et $v(x)=-4\ln(x)$. $u^\prime(x)=2 ; \quad v^\prime(x)=-4 \times \frac{1}{x}$

$f^\prime=u^\prime+ v^\prime$. Par conséquent, $f^\prime(x)=2-\frac{4}{x}$.

En réduisant au même dénominateur $f^\prime(x)=\dfrac{2x-4}{x}=\dfrac{2(x - 2)}{x}$.

Nous avons bien montré que  $f^{\prime}(x) = \dfrac{2(x - 2)}{x}$  pour tout $x > 0$. 
\item \'Etudions les variations de $f$. $x-2>0 \iff x>2$. Si $x \in ]0~;~2[,\ f^\prime(x)<0$ et si $ x \in ]2~;~+\infty[,\ f^\prime(x)<0$

Si pour tout $x\in I \,f^\prime(x) <0 $ alors la fonction $f$ est  strictement décroissante sur $I$.

 Pour $x \in ]0~;~2[,\ f^\prime(x)<0$, par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle. 

Si pour tout $x\in I,\:f^\prime(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$.

 Pour $x \in ]2~;~+\infty[,\ f^\prime(x)>0$, par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. 

Dressons le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
%\psgrid
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(1.10,0)(1.10,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.195,2.45){$0$}\uput[u](7.65,2.45){$+ \infty$}
\uput[u](4.5,2.45){$2$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}$}\uput[u](2.6,2){$-$}\uput[u](6.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
\uput[u](4.5,1.9){$0$} \uput[d](1.35,2){$+\infty$}\uput[u](4.5,0){$2-4\ln 2$}\uput[d](7.62,2){$+\infty$}
\psline{->}(1.3,1.5)(4.3,0.6)  \psline{->}(4.7,0.6)(7.3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

On note $\alpha$ la solution de l'équation $f(x) = 0$ appartenant à l'intervalle $[3~;~+ \infty[$.

 $f$ est une fonction strictement croissante sur $[3~;~4]$, $f(3)f(4)<0$ alors il existe un nombre réel $\alpha\in [3~;~4]$ tel que $f(\alpha)=0$
 
 En utilisant la table de la calculatrice, nous avons $f(3,51)\approx -\np{0.0025}$, $f(\np{3.52})\approx\np{0.006}$ par conséquent $\np{3.51}<\alpha<\np{3.52}$ ;
 
 $f(3,512)\approx -\np{0.00074}$, $f(\np{3.513})\approx\np{0.0001}$ par conséquent $\np{3.512}<\alpha<\np{3.513}$
 \end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $C$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~6] par: 

\[C(x) = x^2 + 2x -  4x \ln (x).\]
 
Une entreprise fabrique des boitiers de télécommande plastiques. Lorsque l'entreprise fabrique $x$ milliers de boitiers par jour, le coût moyen de production d'un boitier est égal à $C(x)\: (x$ est compris entre 1 millier et 6 milliers). Le coût moyen est exprimé en euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons la fonction dérivée de $C$. 

$C=u+v$ où $u(x)=x^2+2x$ et $v(x)=-4x\ln(x)$. 

$u^\prime(x)=2x+2$ \hspace{0.5cm}  $v^\prime(x) =-4\ln(x)-4x \times \frac{1}{x}=-4\ln(x)-4$.

Il en résulte $C^\prime(x)=2x+2-4\ln(x)-4=2x-2-4\ln(x)$.

Nous avons bien montré que $C^{\prime}(x) = 2x - 2 - 4 \ln (x)$ pour $x\in [1~;~ 6]$. 

\item En utilisant les résultats précédents, nous avons 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,1)
\psline[linewidth=0.1mm](0,0.5)(6,0.5) 
\psline[linewidth=0.1mm](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=0.1mm](0,1)(6,1) 
\psline[linewidth=0.1mm](0,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.1mm](0,0)(0,1)
\psline[linewidth=0.1mm](6,0)(6,1)
\uput[u](0.5,0.45){$x$}  \uput[u](1.25,0.45){$1$}\uput[u](5.75,0.45){$6$}\uput[u](3.5,0.45){$\alpha$}\rput(1.25,0.25){$0$}
\uput[u](0.45,-0.05){$C^{\prime}(x)$}\uput[u](2,0.01){$-$}\uput[u](4.6,0.01){$+$}
 \rput(3.5,0.25){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
Dressons le tableau de variation de $C$ sur l'intervalle [1~;~6]. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3)
\psline(0,2.5)(6,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(6,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.15,2.45){$1$}\uput[u](5.75,2.45){$6$}
\uput[u](3.15,2.45){$\alpha$}\uput[u](0.5,1.9){$C^{\prime}$}\uput[u](2.,2){$-$}\uput[u](4.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$}
\uput[u](3.15,1.9){$0$} \uput[d](1.25,2){$3$}\uput[u](3.15,0){$\approx1,711$}\uput[d](5.42,2){\scriptsize $48-24\ln6$}\uput[u](1.15,1.9){$0$}
\psline{->}(1.3,1.5)(3,0.6)  \psline{->}(3.3,0.6)(5.3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\item D'après le tableau de variation, $C$ admet un minimum pour $x=\alpha$. Pour que le coût de production d'un boitier soit minimum, l'entreprise devra fabriquer \np{3513} à un boitier près.  
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{nuage de points de l'exercice 3}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-8,-8)(120,1100)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(-5,-8)(125,1150)
\uput[dl](0,0){$0$}
\uput[l](60,620){G}
\multido{\n=5+5}{25}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1150)}
\multido{\n=50+50}{23}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(125,\n)}
\psdots [dotstyle= square*,dotscale=0.75](32,330)(36,370)(38,400)(42,430)(45,450)(65,660)(70,680)(80,780)(90,850)(110,1050)
\psdots[dotstyle=BoldAdd,dotscale=2.5](60.8,600)
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{120}{9.11 x mul 46.20 add}
\uput[d](125,0){$x$}\uput[l](0,1150){$y$}
\uput[d](65,-75){superficie en m$^2$}
\uput[d]{90}(-18,900){prix d'un appartement en euros}
\end{pspicture} 

\end{center}

\end{document}