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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Corrigé du baccalauréat STG Mercatique   \decofourright\\Centres étrangers juin 2010}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
%\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
%\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
 
%Une municipalité propose une carte annuelle \og pass culture \fg{} à ses administrés. Il s'agit d'une carte qui donne accès aux spectacles programmés dans la commune avec un tarif préférentiel.
% 
%Cette carte est proposée avec deux options : l'option \og \emph{cinéma}\fg{} et l'option \og \emph{tout spectacle} \fg. Un administré n'a droit qu'à une seule carte et celle-ci est individualisée par un numéro. Selon un critère social, une subvention de la municipalité peut être accordée lors de l'achat de cette carte.
% 
%Pour cette année, le service municipal à la culture a donné le bilan suivant :
% 
%Les cartes avec l'option \og tout spectacle\fg{} représentent 35\,\% des cartes \og pass culture \fg{} et 25\,\% de celles-ci ont été l'objet de la subvention municipale. Pour les cartes avec l'option \og \emph{cinéma} \fg, 45\,\% ont été l'objet de la subvention. 
%Lors d'une enquête, un numéro de carte est tiré au hasard. 
%On note :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] T : l'évènement \og le numéro tiré est celui d'une carte avec l'option \emph{tout spectacle} \fg{}; 
%\item[$\bullet~$] C : l'évènement \og le numéro tiré est celui d'une carte avec l'option \emph{cinéma}\fg{}; 
%\item[$\bullet~$] S : l'évènement \og le numéro tiré est celui d'une carte ayant été l'objet de la subvention \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item ~%Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilité représenté ci-dessous. 

\medskip
\begin{center}\pstree[treemode=R,nodesep=1ex]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{T}\taput{$0,35$}}
		{
\TR{S}\taput{$0,25$}
\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{$0,75$}
 		}
	\pstree{\TR{C}\tbput{$0,65$}}
		{
\TR{S}\taput{$0,45$}
\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{$0,55$}
 		}
}
		
		 \end{center}
\medskip 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Définir par une phrase l'évènement C $\cap~\overline{\text{S}}$.
C $\cap~\overline{\text{S}}$ signifie \og le numéro tiré est celui d'une carte avec l'option cinéma et n'a pas fait l'objet d'une subvention \fg. 
		\item %Calculer la probabilité $P\left(\text{C} \cap~\overline{\text{S}}\right)$.
$P\left(\text{C} \cap~\overline{\text{S}}\right) = 0,65 \times 0,55 = \np{0,3575}$.
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement $\overline{\text{S}}$ est égale à $0,62$.
On a de m\^eme $P\left(\text{T} \cap~\overline{\text{S}}\right) = 0,35 \times 0,75 = \np{0,2625}$.

Donc d'après la loi des probabilités totales :

$P\left(\overline{\text{S}}\right) = P\left(\text{C} \cap~\overline{\text{S}}\right) + P\left(\text{T} \cap~\overline{\text{S}}\right) = \np{0,3575} + \np{0,2625} = 0,62$.  
\item %Les évènements C et $\overline{\text{S}}$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
$P(\text{C}) = 0,65 ; P\left(\overline{\text{S}}\right) = 0,62$, donc 

$P(\text{C}) \times P\left(\overline{\text{S}}\right) = 0,65 \times 0,62 =  0,403$.

D'autre part $P\left(\text{C} \cap~\overline{\text{S}}\right) = \np{0,3575}$.

Comme $P(\text{C}) \times P\left(\overline{\text{S}}\right) \neq P\left(\text{C} \cap~\overline{\text{S}}\right)$, on peut conclure que les évènements C et $\overline{\text{S}}$ ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} (\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment})\hfill 6 points}

\medskip

%Dans cet exercice on se propose de préciser et compléter des données issues d'un article publié sur le site du Ministère de l'Environnement, de l'Énergie, du Développement Durable et de La Mer.
%
%\bigskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip

%\parbox{0.5\linewidth}{\og En France, depuis 1980, 204 stations de ski sont équipées en canons à neige. 
%L'équipement pour la production de neige artificielle connait une croissance rapide, avec une évolution de la puissance électrique installée pour le fonctionnement des canons à neige de 9\,\% entre 2007 et 2008 et une évolution annuelle moyenne de la puissance électrique installée de 7\,\% entre 2002 et 2008. \fg} \hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline 
%Saison& Puissance électrique installée en kW \\ \hline
%2002& \np{178004} \\ \hline
%2003& \np{194273} \\ \hline
%2004& \np{208208} \\ \hline
%2005& \np{218026} \\ \hline
%2006& \np{231089} \\ \hline 
%2007& \np{240107} \\ \hline
%2008& \np{262191} \\ \hline
%\end{tabularx}} 
 
\begin{enumerate}
\item %En utilisant les données du tableau ci-dessus: 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier par un calcul la valeur approchée 9\,\% du taux d'évolution de la puissance électrique installée pour le fonctionnement des canons à neige entre 2007 et 2008.
De 2007 à 2008, le taux d'évolution de la puissance électrique installée est égal à :

$\dfrac{\np{262191} - \np{240107}}{\np{240107}} \times 100 \approx 9,19$. Le taux d'évolution de la puissance électrique installée pour le fonctionnement des canons à neige entre 2007 et 2008 est donc d'environ $9\,\%$.
		\item %Justifier par un calcul la valeur approchée 7\,\% du taux annuel moyen d'évolution de la puissance électrique installée entre 2002 et 2008.
De 2002 à 2008, la puissance a été multipliée par $\dfrac{\np{262191}}{\np{178004}}$.

Si $t$ est le taux annuel moyen durant cette période de 6 ans on a :

$(1 + t)^6 = \dfrac{\np{262191}}{\np{178004}} \iff 1 + t = \left(\dfrac{\np{262191}}{\np{178004}} \right)^{1/6} \iff t = \left(\dfrac{\np{262191}}{\np{178004}} \right)^{1/6} - 1 \approx 0,06667$ soit environ 7\,\%.
	\end{enumerate} 
\item %En utilisant ce taux d'évolution moyen de 7\,\% donné dans l'article, quelle valeur de la puissance électrique installée, arrondie à l'unité, peut-on prévoir pour la saison 2010 ?
Avec la m\^eme évolution la puissance deux ans plus tard sera de :

$\np{262191} \times 1,07^2 \approx \np{300182}$~(kW). 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
%\parbox{0.5\linewidth}{\og La neige de culture (obtenue par des canons à neige) consomme beaucoup d'eau, avec 18,3 millions de m$^3$ d'eau pour la saison 2007. \fg} \hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline  
%Saison& Rang& Consommation d'eau (en millions de m$^3$)\\ \hline
%2002& 1& 11,6\\ \hline 
%2003& 2& 13,1\\ \hline 
%2004& 3& 15,1\\ \hline 
%2005& 4& 16\\ \hline 
%2006& 5& 16\\ \hline 
%2007& 6& 18,3\\ \hline
%\end{tabularx}}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Sur la feuille donnée en annexe, à rendre avec la copie, représenter le nuage de points de la série ci-dessus.
Voir l'annexe. 
\item %À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à $0,01$). 
La calculatrice donne en arrondissant les coefficients au centième :

$y = 1,23x + 10,7$.
\item %Dans cette question, on considère la droite $(D)$ d'équation $y = 1,2x + 11$ comme droite d'ajustement affine du nuage de points. 
	\begin{enumerate}
		\item %Représenter cette droite dans le repère de la feuille donnée en annexe.
Voir l'annexe. 
		\item %À l'aide de l'ajustement affine défini par la droite (D), déterminer la consommation d'eau en millions de m$^3$ que l'on peut prévoir pour la saison 2008.
\emph{Graphiquement} : on trace la droite d'équation $x = 7$ qui coupe la droite dont on trouve l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées ;  on lit à peu près $19,4$.

\emph{Par le calcul} : en utilisant l'équation de la droite : si $x = 7, y = 1,2 \times 7 + 11 = 8,4 + 11 = 19,4$.

On peut prévoir en 2008 une consommation de 19,4 millions de m$^3$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}
%
%\medskip
% 
%\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.} 
%
%\medskip
%\emph{Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie.}
%
%\medskip 
%\emph{Aucune justification n'est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} 
%
%
%\medskip
%
%\parbox{0.45\linewidth}{Soit une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3~;~ 3]$ par 
%\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]
%
%On donne ci-contre son tableau de variation.}\hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1.1cm}
%\begin{pspicture}(6,3)
%\psframe(6,3)\psline(0,2.5)(6,2.5) \psline(0.5,0)(0.5,3)
%\psline{->}(1,0.6)(3,2.2)\psline{->}(3.5,2.2)(5.4,0.6)
%\uput[u](0.7,2.5){$-3$} \uput[u](0.25,2.5){$x$} \uput[u](3.25,2.5){$-1$} \uput[u](5.8,2.5){$3$} \uput[u](0.85,0){$- \text{e}^{-3}$} \uput[u](5.65,0){$5\text{e}^{-3}$} \rput(3.25,2.2){$\text{e}^{-1}$}
%\end{pspicture}}
%
%\bigskip
 
Question 1 : %Le nombre $\alpha$ est un nombre tel que $0 < \alpha < 1$, on a alors pour $f(\alpha)$ :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$f(\alpha) < f(1)$&$f(0) > f(\alpha)$&$f(0) <f(\alpha)$&$\text{e} < f(\alpha)$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip 
Sur l'intervalle [0~;~1], la fonction est décroissante donc $0 < \alpha < 1 \Rightarrow f(1) < f(\alpha) < f(0)$.

Question 2 : %Le signe de la fonction $f'$ dérivée de $f$ sur $[-3~;~ 3]$ est:

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%positif sur $[-3~;~ 3]$&négatif sur $[-3~;~1]$&positif sur $[-3~;~ -1]$&négatif sur $[-3~;~- 3]$ \\ \hline
%\end{tabularx}
La fonction est croissante sur $[-3~;~-1]$, donc sur cet intervalle $f'(x) > 0$.
\medskip  
 
Question 3 : %L'expression de $f'$, la fonction dérivée de $f$ est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$- \text{e}^{-x}$&$(-x -1)\text{e}^{-x}$ &$\text{e}^{x}$ &$(x + 3)\text{e}^{-x}$\\ \hline
%\end{tabularx}
Avec $u(x) = x + 2$ et $v(x) = \text{e}^{- x}$ ;

$u'(x) = 1$ et $v'(x) = - \text{e}^{- x}$.

$f(x) = u(x) \times v(x)$, donc $f'(x) = u'(x) v(x) + u(x)v'(x) = 1\text{e}^{- x} - (x + 2)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}(1 - x - 2) =$

$\text{e}^{- x}(-x - 1)$.
\medskip 
 
Question 4 : %Une valeur approchée de $f(-0,5)$ à \np{0,00001} près est: 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\np{2,47308}&\np{2,60341} &\np{2,82158} &\np{2,82436}\\ \hline
%\end{tabularx}
La calculatrice donne \np{2,47308}.
\medskip 
 
Question 5 : %Sur l'intervalle $[-3~;~3]$, l'équation $f(x) = 3$ 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%n'a pas de solution&a une seule solution&a deux solutions&on ne peut pas savoir\\ \hline 
%\end{tabularx}
Sur l'intervalle $[-3~;~3]$, le maximum de $f$ est $f(-1) = \text{e}^{-1} \approx 0,37 < 3$.

La valeur 3 n'est donc pas atteinte : l'équation n'a pas de solution.
\medskip 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

%Monsieur X souhaite installer un chauffage géothermique dans sa maison. Une société spécialisée lui propose une étude. Un forage initial de 100~mètres doit être réalisé et des échangeurs de chaleur doivent être installés dans la maison.
% 
%Le coût de cette réalisation serait pour Monsieur X de \np{3500}~\euro.
% 
\begin{enumerate}
\item %Pour améliorer le rendement de l'installation, la société qui installe ce chauffage suggère de réaliser un forage plus profond. Chaque décamètre supplémentaire est facturé 55~\euro (on rappelle que 1 décamètre se note 1 dam et 1 dam = 10~m). La société remet à Monsieur X la feuille de calcul reproduite ci-dessous qui met en relation les forages supplémentaires, le coût de l'installation et les économies annuelles en chauffage par rapport à une installation \og classique \fg.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%&A &B &C &D& E\\ \hline 
%1&profondeur du forage :& profondeur suppl. (dam)& coût de l'installation& 
%économie réalisée/an&amortie en (ans)\\ \hline 
%2 &100 + 0  &0 &\np{3500}~\euro &500~\euro &7,0\\ \hline  
%3 &100 + 10 &1 &\np{3555}~\euro &525~\euro&\\ \hline  
%4 &100 + 20 &2 &\np{3610}~\euro &551~\euro&\\ \hline 
%5 &100 + 30 &3 &\np{3665}~\euro &579~\euro&\\ \hline 
%6 &100 + 40 &4 &\np{3720}~\euro &608~\euro&\\ \hline 
%7 &100 + 50 &5 &\np{3775}~\euro &638~\euro&\\ \hline 
%8 &100 + 60 &6 &\np{3830}~\euro &670~\euro&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
%
%Le coût de l'installation est représenté par une suite $\left(u_{n}\right)$ où $n$ désigne le nombre de décamètres supplémentaires du forage.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser les éléments caractéristiques de cette suite.
On a de façon évidente : $u_{n+1} = u_{n} + 55$, ce qui signifie que la suite  $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison 55 et de premier terme $u_{0} = \np{3500}$.
		\item %Justifier la phrase \og le coût de l'installation pour un forage de 260~mètres de profondeur est représenté par $u_{16}$ \fg.
260~m représentent un forage supplémentaire de 160~m ; chaque dizaine de mètres creusée représente un rang de plus donc comme $160 = 16 \times 10$, le co\^ut pour un forage de 260~m est égal  à $u_{16}$.  
		\item %Quel est le coût de l'installation pour un forage de 260 mètres de profondeur?
On sait que $u_{n} = u_{0} + 55n$, donc $u_{16} = \np{3500} + 16 \times 55 = \np{4380}$.
	\end{enumerate} 
\item %La société donne, dans la colonne D, une modélisation de l'économie annuelle en chauffage selon la profondeur du forage que fera Monsieur X. Pour une profondeur de 100~mètres l'économie est de 500~\euro{} par an et pour tout décamètre supplémentaire elle est augmentée de 5\,\%. Cette économie est représentée par une suite $\left(v_{n}\right)$ où $n$ désigne le nombre de décamètres supplémentaires. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Préciser les éléments caractéristiques de cette suite.
		On passe d'un rang au rang suivant en ajoutant 5\,\%, soit en multipliant par $1,05$. Donc $u_{n+1} = u_{n} \times 1,05$ : la suite  $\left(v_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme $v_{0} = 500$.
		\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $v_{n} = v_{0}\times q^n = 500 \times 1,05^n$. 
		\item %Quelle formule, écrite en D3 qui, recopiée vers le bas, permet d'obtenir les valeurs qui figurent dans la colonne D ?
		Formule : \fbox{~=D2*1,05~}
			\end{enumerate} 
\item %Monsieur X a souhaité calculer en combien de temps son installation sera amortie. Ainsi pour un forage minimal de 100~mètres, il aura amorti son installation en 7 ans (car

%$\dfrac{3500}{500} = 7$). 

%Monsieur X opte pour une profondeur de forage de 260~mètres. Au bout de combien d'années son installation sera-t-elle amortie ?
L'économie par an réalisée sera de $v_{16} = 500 \times 1,05^{16}$.
Il aura dépensé $u_{16} = \np{4380}$.

La durée d'amortissement sera donc $\dfrac{\text{co\^ut}}{\text{économie par an}} = \dfrac{\np{4380}}{500 \times 1,05^{16}} \approx 4,01$ soit à peu près 4~ans. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1,9)(8,20)
\psaxes[Oy=10](0,10)(8,20)
\psaxes[Oy=10,Dy=0.1,labels=none](0,19)(0,20)
\psframe(0,010)(8,20)
\uput[d](4,9){\textbf{Rang de l'année}}
\rput{90}(-1,15){\textbf{Consommation d'eau (en millions de m \boldmath$^3$\unboldmath)}}
\psdots(1,11.6)(2,13.1)(3,15.1)(4,16)(5,16)(6,18.3)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{1.2 x mul 11 add}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(7,10)(7,19.4)(0,19.4)
\end{pspicture} 




\end{center}
\end{document}