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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Mercatique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small 23 juin 2009}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique La Réunion~\decofourright\\23  juin 2009}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Une société a introduit sur le marché français au début de l'année 2004 un produit au prix de \np{1000}~\euro. Compte tenu de l'évolution du marché et des coûts de fabrication, son prix n'a cessé d'augmenter.
 
Pour cette société, la France est divisée en deux régions de tarification, la région Nord et la région Sud.

\medskip
 
Dans la région Sud le responsable des ventes a décidé de laisser fluctuer ce prix en fonction de l'offre et de la demande. Le prix de vente de cet article dans la région Sud est reporté dans la colonne B de l'extrait de feuille de calcul ci-dessous.
 
Dans la région Nord. le responsable des ventes a décidé d'appliquer une hausse annuelle régulière de 10\:\%. Une partie des prix et des variations de prix sont consignées dans la feuille de calcul ci-dessous.
 
Le format des colonnes B et E est un format monétaire à zéro décimale. 

Le format des colonnes C, D, F et G est un format pourcentage à deux décimales. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline%
1&&\multicolumn{3}{|c|}{Région Sud}&\multicolumn{3}{|c|}{Région Nord}\\ \cline{1-1} \cline{3-8} 
2&&&\multicolumn{2}{|c|}{Variation du prix en \:\%} &&\multicolumn{2}{|c|}{Variation du prix en \:\%} \\\cline{1-1} \cline{4-5}  \cline{7-8}
3&Année &Prix&Par rapport à l'année précédente &Par rapport à l'année 2004 &Prix &Par rapport 
à l'année  précédente &Par rapport à l'année 2004 \\\hline
4 &2004 &\np{1000}~\euro&&&\np{1000}~\euro&&\\ \hline 
5 & 2005& \np{1085}~\euro& 8,50\:\% &8,50\:\% &\np{1100}~\euro &10,00\:\% &10,00\:\% \\ \hline
6 &2006 &\np{1160}~\euro &6,91\:\% &16,00\:\% &1210~\euro&10,00\:\%&21,00\:\%  \\ \hline
7 &2007 &\np{1300}~\euro& 12,07\:\% &30,00\:\% &\np{1331}~\euro &10,00\:\% &33,10\:\% \\ \hline
8 &2008 &\np{1470}~\euro &&47,00\:\% &&10,00\:\%  &\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule C5, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules C5:C8. 
	\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule D5, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules D5:D8. 
	\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule E5, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules E5:E8. 
	\end{enumerate}
\item Calculer les valeurs qui devraient figurer dans les cellules C8, E8 et G8 et les reporter sur la copie en recopiant la ligne 8 de la feuille de calcul. 
\item Déterminer le taux moyen d'augmentation annuelle dans la région Sud entre 2004 et 2008 (arrondir à 0,01\:\%). 
\item On suppose que le responsable de la région Nord maintient. au cours des années suivantes, une hausse annuelle de 10\:\%. Soit $n$ un entier naturel. On note $P_{n}$ le prix. en euros, de ce produit au cours de l'année $2004 + n$ dans la région Nord. Ainsi, $P_{0} = \np{1000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la nature de la suite $\left(P_{n}\right)$, puis exprimer $P_{n}$ en fonction de $n$. 
	\item Déterminer l'année à partir de laquelle le prix dépassera \np{1800}~\euro{} dans la région Nord. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Un appareil électronique est mis en vente dans un magasin à partir de l'année 2000. 

Le directeur décide d'arrêter de proposer cet appareil à la vente dès que le nombre d'appareils vendus annuellement sera inférieur à 50.
 
Il étudie avec un tableur le résultat des ventes depuis l'année 2000, dans le but de prévoir à quel moment il devra cesser de vendre cet article. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2000 	&2001 	&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008 \\ \hline
Rang de l' année $x_{i}$&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 \\ \hline
Nombre d'appareils vendus $y_{i}$& 805 &604 &594 &475 &365 &256 &207 &183 &167 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est représenté dans un repère orthogonal donné en annexe 1,  à rendre avec la copie. 

Dans ce même repère est tracée la courbe d'équation $y = 813 \text{e}^{-0,21x}$.

\begin{enumerate}
\item  Ajustement affine 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au dixième). 
	\item On décide de retenir comme ajustement affine, la droite d'équation 
	
$y = -80x + 730$. 
	
Tracer cette droite dans le repère donné en annexe 1,  à rendre avec la copie. 
	\item Déterminer l'année, à la fin de laquelle, il devra cesser la vente du produit selon cet ajustement.
	\end{enumerate} 
\item  Ajustement exponentiel 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du tableur, le directeur retient comme ajustement la courbe d'équation $y  = 813 \text{e}^{-0,21x}$, tracée sur l'annexe 1. En utilisant cet ajustement, déterminer l'année, à la fin de laquelle, il devra cesser la vente du produit. 
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Un collaborateur lui fait remarquer que ce modèle correspond à une baisse annuelle régulière de 19\:\% des ventes. 

Justifier cette remarque.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans la liste des candidats devant passer une épreuve de mathématiques du baccalauréat STG, on compte 52\:\% de filles.
 
Les filles se répartissent de la manière suivante : 20\:\% sont en spécialité Gestion des Systèmes d'Information (GSI), 45\:\% en spécialité Comptabilité et Finance des Entreprises (CFE) et les autres en spécialité Mercatique.
 
En ce qui concerne les candidats garçons, 30\:\% sont en spécialité GSI, 45\:\% en spécialité CFE et 25\:\% en  spécialité Mercatique.

\medskip
 
On choisit au hasard un nom dans la liste des candidats. On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $F$ l'évènement \og  le nom choisi est celui d'une fille \fg{} ;
\item[] $G$ l'évènement \og le nom choisi est celui d'un garçon \fg{} ; 
\item[] $I$ l'évènement \og le nom choisi est celui d'un candidat inscrit en spécialité GSI \fg{} : 
\item[] $E$ l'évènement \og le nom choisi est celui d'un candidat inscrit en spécialité CFE \fg{} : 
\item[] $M$ l'évènement \og le nom choisi est celui d'un candidat inscrit en spécialité Mercatique \fg.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{Les probabilités demandées seront arrondies au millième.}
 
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous. 

\medskip

\begin{center}\psset{arrows=->}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$}\taput{0,52}}
	  { 
		  \TR{$I$}\taput{0,20}
		  \TR{$E$}
		  		  \TR{$M$} 
	  }
	\pstree{\TR{$G$}}
	  {
		  \TR{$I$}\taput{0,30}
		  \TR{$E$}
		  \TR{$M$}  
	  }
	
}
\end{center}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la probabilité de l'évènement $I$ est égale à $0,248$. 
		\item  Les évènements $F$ et $I$ sont-ils indépendants ? 
	\end{enumerate}
\item  Déterminer $P_{I}(F)$, la probabilité, sachant $I$, de l'évènement $F$. 
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Montrer que les évènements $F$ et $E$ sont indépendants. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Formulaire \\
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors $uv$ est dérivable sur I et 
\\
$(uv)' = u'v + uv'$\\ \hline 
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur I et $\left(\text{e}^u\right)'  =  u'\text{e}^u$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Une entreprise peut extraire entre \np{2000} et \np{15000}~tonnes de minerai d'une carrière. 

Le résultat d'exploitation, en millions d'euros, qu'elle envisage en fonction de la quantité de minerai extraite, est représenté par la courbe $\mathcal{C}$ en annexe 2. 

\medskip

\textbf{Partie A :}  Lecture graphique 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Avec la précision permise par le graphique, compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Quantité de minerai extraite $x$ en milliers de tonnes		&2 	&6 	&9 	&15 \\ \hline
Résultat d'exploitation $R(x)$ envisagé en millions d'euros	&	&	&3,8&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Le résultat d'exploitation $R(x)$ est-il proportionnel à la quantité de minerai extraite ? Justifier. 
\item  Déterminer à partir de quelle quantité extraite le résultat d'exploitation est positif. 
\item  Déterminer la quantité extraite pour laquelle le résultat d'exploitation est maximum. 
\item  Déterminer les quantités extraites pour lesquelles le résultat d'exploitation est de 3~millions d'euros.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B :} Utilisation d'une fonction

\medskip
 
Le but de cette partie est d'obtenir une meilleure précision sur la détermination de la quantité à extraire pour obtenir le résultat d'exploitation maximal. La courbe $\mathcal{C}$ représentant le résultat d'exploitation est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [2~;~15] par

\[f(x) = (4x - 13)\text{e}^{-0,2x} \]

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant  0$ sur l'intervalle [2~;~15].
 
Donner une interprétation économique de ce résultat. 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~15].
 
Montrer que $f'(x) = (6,6 - 0,8x)\text{e}^{-0,2x}$. 
\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [2~;~15], dresser le tableau de variations de $f$ et conclure. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie}


\vspace{3cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.02cm}

\begin{pspicture}(14,900)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,900)}
\multido{\n=0+10}{91}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\uput[d](7,-50){\textbf{Rang de l'année}}
\rput{90}(-1.5,450){\textbf{Nombre d'appareils vendus}}
\psdots(0,805)(1,604)(2,594)(3,475)(4,365)(5,256)(6,207)(7,183)(8,167)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(14,900)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{14}{813 2.71828 0.21 x mul exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 2}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.6667cm,yunit=2cm}

\begin{pspicture}(0,-4)(16,5)
\multido{\n=0+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-4)(\n,5)}
\multido{\n=-4+0.2}{46}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(16,\n)}
\uput[d](8,-4.5){\textbf{Quantité de minerai extraite en milliers de tonnes}}
\rput{90}(-1.5,0.5){\textbf{Résultat d'exploitation en milliers d'euros}}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-4)(16,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,-4)(16,5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{2}{15}{4 x mul 13 sub  2.71828 0.2 x mul exp div}
\uput[u](13.5,2.8){\blue $\mathcal{C}$} \uput[u](16,0){$x$}\uput[r](0,5){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}