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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Mercatique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small 21 juin 2011}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique La Réunion~\decofourright\\21  juin 2011}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}

\smallskip
 
\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.}

\smallskip
  
\emph{Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\smallskip
  
\emph{Une réponse juste rapporte un point; une réponse fausse enlève $0,25$ points et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = -x + 10 + 2\ln x$. L'image de $1$ par $f$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $f(1) = 11$& \textbf{b.~~} $f(1) = 9$& \textbf{c.~~} $f(1) = 13$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f'$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} $f'(x) = \dfrac{2}{x }.$& \textbf{b.~~} $f'(x) = \dfrac{-x+ 2}{x}$&
\textbf{c.~~} $f'(x) = \dfrac{10}{x}$\\ 
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{-x + 10}{\text{e}^x}$. La tangente à la courbe représentative de la  fonction $g$ au point d'abscisse $0$ a un coefficient directeur égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $9$ &
\textbf{b.~~} $10$ &
\textbf{c.~~} $- 11$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
Dans une entreprise, les salariés ont entre 18 et 60 ans. 30\,\% d'entre eux ont entre 18 et 34 ans. 48\,\% des salariés âgés de 18 à 34 ans fument. Parmi les plus de 34 ans, 23\,\% sont fumeurs.
 
L'infirmière de l'entreprise a créé pour chaque salarié une fiche sur laquelle figure son âge et s'il est fumeur ou non.
 
On choisit au hasard une fiche dans ce fichier.
 
On définit les évènements suivants:
 
A \og La fiche est celle d'un salarié âgé de 18 à 34 ans \fg.
 
F \og La fiche est celle d'un fumeur \fg.
 
\begin{enumerate}
\item Définir à l'aide d'une phrase en français l'évènement A puis calculer la probabilité de cet évènement. 
\item Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous: 

\medskip
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A}\taput{\ldots}}
	{\TR{F}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{\text{F}}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{F}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{\text{F}}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité de l'évènement \og La fiche choisie est celle d'un salarié fumeur âgé de 18 à 34 ans \fg. 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement F est égale à $0,305$. 
\item Sachant que la fiche choisie est celle d'un fumeur, calculer la probabilité que ce soit celle d'un salarié de plus de 34 ans. En donner une valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On s'intéresse à l'évolution du prix d'un paquet de cigarettes et du nombre de ventes de cigarettes en France entre 2000 et 2009. Le tableau 1 de l'annexe 1, à rendre avec la copie, donne le prix et les ventes de cigarettes de la marque la plus vendue ainsi que les indices de ces ventes en prenant 2000 comme année de référence.
 
Les pourcentages demandés seront arrondis à 0,1\,\%.
 
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau 1 de l'annexe 1, en calculant l'indice correspondant à l'année 2002 et le montant des ventes en 2004. On justifiera les calculs sur la copie. 
\item Ce tableau ayant été réalisé à l'aide d'un tableur, donner la formule qui, entrée en cellule D3, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir le contenu des cellules de la plage D3\::\:D11. 
\item Calculer, en pourcentage, le taux d'évolution du prix des cigarettes entre 2000 et 2009.
\end{enumerate}

\bigskip

\tetbf{Partie B}

\medskip
 
Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution du nombre de fumeurs et du prix du tabac à partir de l'année 2010.
 
Dans une ville moyenne il y a \np{5000}~fumeurs en 2010. Cette même année, le paquet de cigarettes coûte 5,60~\euro. On peut lire dans certains articles de journaux qu'une augmentation de 10\,\% du prix des cigarettes ferait diminuer le nombre de fumeurs de 3 à 4\,\%.
 
Pour déterminer l'évolution correspondante du prix des cigarettes et du nombre de fumeurs, on modélise le prix d'un paquet de cigarettes et le nombre de fumeurs d'une ville moyenne la même année par deux suites.
 
Pour tout entier naturel $n,\, u_{n}$ désigne le prix, en euros, d'un paquet de cigarettes de la marque la plus vendue pendant l'année $2010 + n$ et $v_{n}$ le nombre de fumeurs la même année.
 
En 2010, on a donc $u_{0} = 5,60$ et $v_{0} = \np{5000}$.
 
On considère que le prix des cigarettes augmente de 10\,\% par an et que le nombre de fumeurs diminue de 4\,\% par an.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $1,1$. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et calculer le prix d'un paquet de cigarettes en 2020. 
\item On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,96$. On utilise un tableur pour calculer les termes des deux suites. La feuille de calcul obtenue est représentée par le tableau 2 fourni en annexe 1.
 
Donner une formule qui, entrée en cellule D3, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir le contenu des cellules de la plage D3\::\:D11. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\smallskip
 
À partir de quelle année le nombre de fumeurs aura-t-il diminué de moitié et quel sera alors le prix d'un paquet de cigarettes si l'on considère que l'on garde le même type d'évolution? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip 

Le tableau suivant donne l'évolution du prix d'un article de consommation courante entre le 1\up{er} janvier 2000 et le 1\up{er} janvier 2009.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 						&2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ 	&0	&1 	&2 	&3 		&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9\\ \hline 
Prix en euros : $y_{i}$		&72 &79 &85 &88 	&97 &106&119&132&144 &153\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, pour $i$ variant de 0 à 9, est donné en annexe 2, à rendre avec la copie.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer par la méthode des moindres carrés, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ (arrondir les coefficients au millième). 
\item On décide d'ajuster le nuage avec la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 9,2x + 66$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'annexe 2, à rendre avec la copie. 
		\item En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation du prix de cet article le 1\up{er} janvier 2011. 
		\item Selon cet ajustement, au cours de quelle année l'article coûtera-t-il plus de 200~\euro ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en pourcentage, le taux d'évolution du prix en euros de cet article entre le 1\up{er} janvier 2000 et le 1\up{er} janvier 2009. 
		\item Calculer, en pourcentage, le taux annuel moyen d'évolution du prix en euros de cet article entre le 1\up{er} janvier 2000 et le 1\up{er} janvier 2009 (arrondir à 0,1 % près).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On décide de modéliser l'évolution du prix de cet article au cours du temps, à partir du 1\up{er} janvier 2000, par la fonction $f$ définie par 

\[f(x) = 72 \times 1,087^x.\]
 
Ainsi :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $x$ est le temps écoulé depuis le 1\up{er} janvier 2000, l'unité de temps étant l'année. 
\item[$\bullet~~$] $f(x)$ est une estimation du prix de l'article lorsqu'il s'est écoulé un temps $x$ après le premier janvier 2000. Par exemple $f(2,25)$ est une estimation, avec ce modèle, du prix de l'article le 1\up{er} avril 2002.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\begin{enumerate}
\item En utilisant ce modèle, estimer le prix, arrondi à l'unité, de l'article le 1\up{er} janvier 2011 puis le 1\up{er} juillet 2011. 
\item En utilisant ce modèle, au cours de quelle année l'article coûtera-t-il plus de 200~\euro{} ? Préciser le mois.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
En réalité, entre le 1\up{er} janvier 2009 et le 1\up{er} janvier 2011 le prix de l'article a augmenté de 15\,\%. Quel modèle donne la meilleure estimation du prix de cet article le 1\up{er} janvier 2011 ? 

\newpage

\begin{center} 
\textbf{Annexe 1 de l'exercice 3, à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}

 
\textbf{Tableau 1} 

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 		&B 	&C &D\\ \hline 
1	&Année	& Prix d'un paquet de cigarettes en euros &Ventes de cigarettes (en millions d'unités) &
Indice des ventes de cigarettes, arrondi à l'unité \\ \hline
2 	&2000 	&3,20 	&\np{82514} &100\\ \hline 
3 	&2001 	&3,35 	&\np{83464} 	&101\\ \hline  
4 	&2002 	&3,60 	&\np{80529}	&\\ \hline  
5	&2003	&4,10 	&\np{69648} 	&84\\ \hline  
6 	&2004 	&5,00 	&					&67\\ \hline  
7 	&2005 	&5,00 	&\np{54801} 	&66 \\ \hline 
8 	&2006 	&5,00 	&\np{55772} 	&68 \\ \hline 
9 	&2007 	&5,10 	&\np{54945} 	&67\\ \hline  
10 	&2008 	&5,30 	&\np{53589} 	&65\\ \hline  
11 	&2009 	&5,35 	&\np{54980} 	&67 \\ \hline 
\multicolumn{5}{r}{\emph{(Source: Altadis, filière de distribution de tabac en France métropolitaine hors Corse}}) \\
\end{tabularx}

\medskip

Les cellules de la colonne B sont au format nombre à deux décimales.

\vspace{3cm}

 
\textbf{Tableau 2}

\vspace{1cm}
 
\textbf{Le tableau 2 ci-dessous n'est pas à compléter}

\vspace{1.5cm}

 
Évolution du nombre de fumeurs et du prix du tabac à partir de l'année 2010 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D\\ \hline 
1 &Année &$n$ &Prix d'un paquet $u_{n}$ &Nombre de fumeurs $v_{n}$\\ \hline  
2 &2010 &0 	&5,6 	&\np{5000}\\ \hline  
3 &2011 &1 	&6,2 	&\np{4800}\\ \hline  
4 &2012 &2 	&6,8 	&\np{4608}\\ \hline  
5 &2013 &3 	&7,5 	&\np{4424}\\ \hline  
6 &2014 &4 	&8,2 	&\np{4247}\\ \hline  
7 &2015	&	&		&\\ \hline  
8 &2016	&	&		&\\ \hline 
9 &2017	&	&		&\\ \hline 
10&2018	&	&		&\\ \hline 
11&2019	&	&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Les cellules de la colonne C sont au format nombre à une décimale.

Les cellules de la colonne D sont au format nombre à 0 décimale. 
 
\vspace{3cm}

\textbf{Annexe 2 de l'exercice 4, à rendre avec la copie}

\vspace{2,5cm}

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.075cm}
\begin{pspicture}(-1,-20)(16,160)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,160)}
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\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}