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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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%\makeatletter
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG Mercatique, comptabilité et gestion d'entreprise,\\ gestion des systèmes d'information}
\lfoot{\small{Métropole - La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique ~\decofourright\\Métropole - La Réunion septembre 2009}} 

%\vspace{1cm}
%
%La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
%Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\ Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\ 
%Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à O.}
%
%\medskip
% 
%Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'indice (base 100 en 1998) correspondant au nombre d'entrées au cinéma en France et en Italie de l'année 1998 à l'année 2007.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année &1998 &1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 \\ \hline% 
%France &100 &90,0 &97,2 &109,9 &108,1 &101,7 &114,2 &102,9 &110,7 &104,0\\ \hline% 
%Italie &100 &87,3 &87,9 &95,6 &97,6 &93,2 &98,1 &89,1 &89,5 &97,0\\ \hline%
%\multicolumn{11}{r}{\small \emph{Source : Centre national de la cinématographie.}}
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  %Quel est l'écart type de la série des indices de la France ?
L'indice moyen est égal à $\dfrac{\np{1038,7}}{10} = 103,87$.

L'écart type est donc égal à :

$\sigma = \sqrt{\dfrac{(100 - 103,87)^2 + (90 - 103,87)^2 + \ldots +(100,4 - 103,87)^2}{10}} \approx 6,8$.
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} 4& \textbf{b.} 24,2 &\textbf{c.} Environ 6,8.\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\item %Sur les trois diagrammes en boîte représentés ci-dessous, les extrémités des moustaches correspondent au minimum et au maximum.
 
%Parmi ces trois diagrammes, lequel ne représente pas l'une des deux séries d'indices du tableau ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} Le diagramme \no 1& \textbf{b.} Le diagramme \no 2 &\textbf{c.} Le diagramme \no 3\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
Le diagramme 3 est celui de la France.

Le diagramme 2 est celui de l'Italie.
%\psset{unit=0.3333cm}
%\begin{pspicture}(85,0)(120,13)
%\psaxes[linewidth=1pt,Ox=86,Dx=2](85,0)(120,0)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8](85,0)(120,13)
%\psframe(87.9,9)(98,11)\psline(93.2,9)(93.2,11)\psline(86.3,9.8)(86.3,10.2)\psline(86.3,10)(87.9,10)\psline(98,10)(100,10)\psline(100,9.8)(100,10.2)\rput(105,10){diagramme \no 1}
%\psframe(89,6)(97.5,8)\psline(94.4,6)(94.4,8)\psline(87.3,6.8)(87.3,7.2)\psline(87.3,7)(89,7)\psline(97.5,7)(100,7)\psline(100,6.8)(100,7.2)\rput(105,7){diagramme \no 2}
%\psframe(100,3)(109.8,5)\psline(103.5,3)(103.5,5)\psline(90,3.8)(90,4.2)\psline(90,4)(100,4)\psline(109.8,4)(114.2,4)\psline(114.2,3.8)(114.2,4.2)\rput(118,4){diagramme \no 3}
%\end{pspicture} 
 
\item %Sachant qu'en 2007, il y a eu 177,5 millions d'entrées au cinéma en France, quel a été le nombre d'entrées au cinéma en France en l'an 2000 ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} 97,2 millions& \textbf{b.} 165,9 millions environ &\textbf{c.} 189,9 millions environ\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
2007 correspond à l'indice 104 ; donc en 1998 qui correspond à l'indice 100, il y a eu $\dfrac{177,5}{104}\times 100 = 170,673$~millions d'entrées.

Donc en 2000, le nombre d'entrées a été égal à $170,673 \times \dfrac{97,2}{100} = 165,894$~millions d'entrées arrondi à \np{165,9}~millions.
\item %Sachant qu'en 1998, il y a eu 118,5 millions d'entrées au cinéma en Italie, quel a été le nombre annuel moyen d'entrées au cinéma en Italie au cours de la période 1998-2007 ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} 94 millions environ& \textbf{b.} 111 millions environ &\textbf{c.} 127 millions environ\\
%\end{tabularx}
On peut calculer le nombre de spectateurs sur la période soit :

$118,5(1 + 0,873 + 0,879 + 0,956 + 0,976 + 0,932 + 0,981 + 0,891 + 0,895 + 0,97) = 118,5 \times 9,353 = \np{1108,33}$~spectateurs soit un nombre annuel moyen d'environ 110,8 arrondi à 111~millions de spectateurs annuels.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
%Trois petites communes voisines Aubois, Bellevie et Champré possèdent chacune une petite école. Pour améliorer les conditions de scolarisation des enfants, ces trois communes envisagent trois hypothèses de travail.
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Première hypothèse : création d'une nouvelle école plus grande à la frontière des trois communes.
%\item[$\bullet~$] Deuxième hypothèse : regroupement des classes par niveaux. Les classes de maternelles à Aubois, les classes de CP, CE1 et CE2 à Bellevie et les CM1 et CM2 à Champré.
%\item[$\bullet~$] Troisième hypothèse : maintien de la situation actuelle et augmentation de l'aide aux élèves dans chaque école.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Une consultation à bulletin secret est organisée dans chacun des trois villages afin de connaître les souhaits de la population à ce sujet. Les résultats sont rentrés sur une feuille de calculs pour déterminer la proportion de personnes favorables à chaque hypothèse. On ne recense dans le tableau que les bulletins exprimés.
% 
%La plage de cellules B7\negthinspace:E7 est au format pourcentage à une décimale. 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
%&A&B&C&D&E \\ \hline%
%1&&Première hypothèse&Deuxième hypothèse&Troisième hypothèse&TOTAL\\ \hline%
%2&Aubois&29&59&49&137\\ \hline%
%3&Bellevie&106&58&77&241\\ \hline%
%4&Champré&108&101&88&297\\ \hline%
%5&&&&&\\ \hline%
%6&TOTAL&243&218&214&675\\ \hline%
%7&Pourcentage&36,0\,\%&&&\\ \hline%
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\emph{Les parties A et B sont indépendantes}


\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner une formule qui, placée en B6, permet par recopie vers la droite d'obtenir la plage de cellules B6\negthinspace:E6.
Formule : \fbox{~=SOMME(B2:B4)~} 
\item %Donner une formule qui placée en B7, permet par recopie vers la droite d'obtenir la plage de cellule B7\negthinspace:D7.
Formule : \fbox{~B6;\$E\$6~}  ou \fbox{~=B6;\$E6~}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip
 
%À l'issue des dépouillements partiels organisés dans chaque commune, les $675$~bulletins exprimés ont été regroupés dans la même urne. On tire au hasard un bulletin dans cette urne.
% 
%On définit les évènements suivants :
% 
%C : \og Le bulletin est celui d'une personne ayant voté à Champré \fg,
% 
%N : \og Le bulletin est celui d'une personne ayant voté en faveur de la première hypothèse \fg. 

\begin{enumerate}
\item %Donner la probabilité de l'évènement N, puis calculer la probabilité de l'évènement C.
$p(\text{N}) = \dfrac{243}{675} = \dfrac{9}{25} = \dfrac{36}{100} = 0,36$.

$p(\text{C}) = \dfrac{297}{675} = \dfrac{11}{25} = \dfrac{44}{100} = 0,44$. 
\item %Calculer la probabilité de l'évènement: \og La personne a voté à Champré et en faveur de la première hypothèse \fg.
La probabilité est :

$p(\text{N} \cap \text{C}) = \dfrac{108}{675} = \dfrac{4}{25} = \dfrac{16}{100} = 0,16$. 
\item %Calculer la probabilité que, sachant que le bulletin est celui d'une personne ayant voté en faveur de la première hypothèse, ce soit le bulletin d'une personne qui a voté à Champré.
Sur les 243 personnes ayant voté pour la première hypothèse, 108 habitent Chambré ; la probabilité est donc égale à :

$p_{\text{N}}(\text{C}) = \dfrac{108}{243} = \dfrac{4}{9}$. 
\item %Les évènements C et N sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
On a vu que $p_{\text{N}}(\text{C})  = \dfrac{4}{9}$ et que $p(\text{C})  \dfrac{11}{25}$, donc $p_{\text{N}}(\text{C}) \neq p(\text{C})$ car $4 \times 25 \neq 9 \times 11$, donc les évènements C et N ne sont pas indépendants.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

%Depuis quelques années, le nombre de personnes tuées sur les routes de France a considérablement diminué. Le tableau suivant présente le bilan de l'année 2001 à l'année 2007.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 \\ \hline% 
%Rang de l'année $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline% 
%Nombres de personnes &\np{8160} &\np{7655} &\np{6058} &\np{5530} &\np{5318} &\np{4942} &\np{4838} \\ \hline%
%\multicolumn{8}{r}{\small \emph{Source : site officiel de la sécurité routière}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donné en annexe à rendre avec la copie.
% 
%La courbe $\mathcal{C}_{f}$ tracée sur l'annexe est la courbe représentative d'une fonction $f$ étudiée dans la partie B.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A :} %\emph{Dans cette partie, on ne tiendra pas compte de la courbe} $\mathcal{C}_{f}$
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ obtenue par la méthode des moindres carrés. (arrondir les coefficients à l'unité).
La calculatrice donne en arrondissant les coefficients à l'unité : $y = - 576x + \np{8376}$.
\item %À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l'aide de la droite d'équation $y = -580x+ \np{8400}$. Tracer cette droite sur le graphique de l'annexe à rendre avec la copie.
Tracé à la fin. 
\item %Déterminer le nombre de tués prévus en 2010 par ce modèle. Indiquer la méthode utilisée.
\emph{Graphiquement} : on trace la droite d'équation $x = 10$ (10 correspondant à 2010) qui coupe la droite d'ajustement en un point dont on trouve l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées. On lit à peu près : \np{2600}.

\emph{Par le calcul} : si $x = 10,~y = - 580 \times 10 + \np{8400} = - \np{5800} + \np{8400} = \np{2600}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par 
%\[f(x) = - \np{1900}\ln (x) + \np{8400}.\]
%
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur ce même intervalle. 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
$f$ est dérivable pour $x > 0$ et en particulier sur l'intervalle [1~;~15],

$f'(x) = - \np{1900} \times \dfrac{1}{x}$.
		\item %Justifier que $f'(x)$ est négatif sur l'intervalle [1~;~15].
Comme $x > 1,~0 < \dfrac{1}{x} < 1$, donc $f'(x)$ est du signe de $- \np{1900}$, donc 

$f'(x) < 0$. 
		\item %En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [1~;~15].
La dérivée étant négative sur  [1~;~15], la fonction $f$ est donc décroissante.
	\end{enumerate}

\medskip

%Dans la suite de cette partie, on décide de modéliser l'évolution du nombre de personnes tuées sur les routes de France à l'aide de la fonction $f$. 
\item %Déterminer par le calcul le nombre de tués prévus en 2010 par ce modèle (arrondir à l'unité).
On a $f(10) = - \np{1900}\ln (10) + \np{8400} \approx 	\np{4025}$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C :}

\medskip
 
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%Parmi les deux modèles étudiés dans la partie A et la partie B, indiquer celui qui ne permet pas d'obtenir une prévision réaliste en 2015. Justifier la réponse. 
L'ajustement par la courbe représentative de $f$ est nettement meilleure que celle obtenue par une droite. Donc la prévision pour 2015 obtenue avec la droite n'est pas réaliste, car en plus la diminution des tués n'est plus linéaire.
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

%Pour limiter la hausse des températures moyennes de la planète, une diminution des émissions de gaz à effet de serre s'avère nécessaire. Dans ce but, le gouvernement français s'est donné comme objectif de diviser par quatre les émissions de gaz à effet de serre en France de 2006 à 2050.
% 
%En 2006, les émissions de gaz à effet de serre en France s'élevaient à 547 millions de tonnes d'équivalent CO$_{2}$ (dioxyde de carbone).
% 
%(\emph{Source: CITEPA})
%
%\medskip
 
%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

%\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'un premier modèle}

\medskip
 
%Dans cette partie, on suppose que les émissions de gaz à effet de serre en France baisseront chaque année de 9,3~millions de tonnes à partir de l'année 2006.
% 
%Soit $n$ un entier naturel. On note $u_{n}$ les émissions de gaz à effet de serre en France au cours de l'année $2006 + n$, en millions de tonnes d'équivalent CO$_{2}$ . Ainsi, $u_{0} = 547$.
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser sa raison.
Il y a chaque année une baisse de 9,3 millions, donc $u_{n+1} = u_{n} - 9,3$ ; c'est donc par définition une suite arithmétique de raison $- 9,3$ de premier terme $u_{0} = 547$. 
\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $u_{n} = u_{0} + n \times r = 547 - 9,3n$. 
\item %Déterminer, selon ce modèle, à partir de quelle année les émissions de gaz à effet de serre en France deviendront inférieures à cent millions de tonnes si la tendance se poursuit au-delà de 2050.
Il faut résoudre l'inéquation :

$u_{n} \leqslant 100$ soit $547 - 9,3n \leqslant 100$ ou $447 \leqslant 9,3n$ et enfin $n \geqslant \dfrac{447}{9,3}$.

Or $\dfrac{447}{9,3} \approx 48,1$. Il faut donc attendre 49 années donc 2006 + 49 = 2055.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B : Étude d'un second modèle}

\begin{enumerate}
\item %Calculs préliminaires

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item %\textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
% 
%Déterminer le taux d'évolution global des émissions de gaz à effet de serre de 2006 à 2050 si l'objectif fixé par le gouvernement français est atteint.
L'objectif est de passer de 547 à $\dfrac{547}{4}$, il faut donc diminuer de $547 - \dfrac{547}{4} = \dfrac{3}{4}\times 547$, soit $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 75\,\%.

Le taux d'évolution global des émissions de gaz à effet de serre de 2006 à 2050 devra être de $- 75\,\%$.  
		\item %Calculer le taux d'évolution annuel moyen correspondant à cet objectif, sur les quarante quatre années de la période 2006-2050. Arrondir le résultat à 0,1\,\% près.
Si $t$ est le taux d'évolution annuel moyen correspondant à cet objectif, sur les quarante quatre années de la période 2006-2050, on doit avoir :

$(1 + t)^{44} = 1 - 0,75 \iff (1 + t)^{44} = 0,25 \iff 1 + t = 0,25^{\frac{1}{44}} \iff t = 0,25^{\frac{1}{44}} - 1 \iff t \approx - 0,031$ soit une baisse moyenne annuelle de 3,1\,\%.
	\end{enumerate}
 
\item  %Utilisation d'une suite

%\medskip
% 
%Dans cette question, on suppose que le taux d'évolution annuel sera constant et que les émissions de gaz à effet de serre en France diminueront de 3,1\,\% par an à partir de l'année 2006.
% 
%Soit $n$ un entier naturel. On note $v_{n}$ les émissions de gaz à effet de serre en France au cours de l'année $2006 + n$, en millions de tonnes d'équivalent CO$_{2}$. Ainsi, $v_{0} = 547$.
% 
%On admettra que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n} = v_{0} \times  (0,969)^n$.
% 
%Déterminer, selon ce modèle, à partir de quelle année les émissions de gaz à effet de serre deviendront inférieures à cent millions de tonnes. 
Il faut résoudre l'inéquation :

$v_{n} < 100 \iff 547 \times 0,969^n < 100 \iff 0,969^n < \dfrac{100}{547}$ soit par croissance de la fonction logarithme népérien $ n \ln 0,969 < \ln \left(\frac{100}{547} \right) \iff n > \dfrac{\ln \left(\frac{100}{547} \right)}{\ln 0,969}$ (car $\ln 0,969 < 0$).

Or $\dfrac{\ln \left(\frac{100}{547} \right)}{\ln 0,969} \approx 53,9$. Il faut donc prendre $n = 54$, soit attendre $2006 + 54 = 2060$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{xunit=0.66667cm,yunit=0.002cm}
\begin{pspicture}(-1,-800)(16,9000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=10000]{->}(0,0)(16,9000)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,9000)}
\multido{\n=0+200}{46}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](0,\n)(16,\n)}
\uput[d](8,-400){Rang de l'année}
\rput{90}(-2,4500){Nombre de personnes tuées sur la route}
\psdots[dotstyle=*](1,8160)(2,7655)(3,6058)(4,5530)(5,5318)(6,4942)(7,4838)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000,linewidth=1.5pt]{1}{15}{8400 x ln 1900 mul sub}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=6000,linewidth=1.5pt]{0}{14.5}{8376 x 576  mul sub}
\uput[u](14.5,3300){\textcolor{blue}{$\mathcal{C}_{f}$}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=1000](0,0)(0,0)(16,9000)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}