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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : J.-C. Souque 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG Mercatique,comptabilité et gestion d'entreprise,\\ gestion des systèmes d'information}
\lfoot{\small{Métropole correction}}
\rfoot{\small{15 septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{ \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Métropole~\decofourright\\  correction 15 septembre 2011}} 


\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 4 points}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous retrace, sur une douzaine d'années, l'évolution de la consommation moyenne de pain, en kilogramme par personne et par an, en France.

\medskip
\begin{center}
{
\begin{tabularx}{0.64\linewidth}{|m{3,65cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang $i$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
Année $x_{i}$& 1996 &1998 &2000 &2002 &2004 &2006 &2008\\ \hline  
Consommation de pain en kg par personne $y_{i}$ &58,7 &58,2 &57,6 &53,6 &53,6 &53,7 &51,7 \\ \hline 
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : INSEE}}\\
\end{tabularx}
}
\end{center}
\medskip
 
Le nuage de points est l'ensemble des points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $i$ variant de 1 à 7.

 \begin{enumerate}
\item Le point moyen G a pour coordonnées :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}\cancel{$ (2002~;~53,6)$} &\textbf{b.~~} \cancel{$(2002~;~56)$} &\textbf{c.~~} \ovalbox{(2002~;~55,3)}
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La droite $\left(M_{3}M_{5}\right)$ a pour équation : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}  \cancel{$y =x + \np{2057,6}$ }&\textbf{b.~~}\ovalbox{ $y=-x + \np{2057,6}$} &\textbf{c.~~}\cancel{ $y=- x + \np{2055}$}
\end{tabularx}
\medskip 
\item La droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, avec les coefficients arrondis au dixième, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}  \cancel{$y = -0,6x + \np{1272}$} &\textbf{b.~~}\cancel{ $y = 0,6x+ \np{1270,8}$}&\textbf{c.~~} \ovalbox{$y= -0,6x + \np{1270,8}$}\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item En 1970, la consommation moyenne de pain était de 80,6 kg par personne par an.
 
Entre 1970 et 2008, la consommation (à 1 pour cent près) :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} \ovalbox{ a diminué de 36\,\% }&\textbf{b.~~}\cancel{$ \text{ a diminué de } 56\,\%$} &\textbf{c.~~}\cancel{$ \text{a diminué de } 29\,\%$}\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip 

Le tableau ci-dessous retrace, sur une dizaine d'années, l'évolution de la consommation moyenne de yaourts, en kg par personne et par an, en France. 

\medskip
\begin{center}
{
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1998 &2000 &2002 &2004 &2006 &2008\\ \hline 
Consommation de yaourts en kg par personne&19,4 &19,9&\textcolor{red}{\np{20.4}} &21 &21,6 &21,8\\ \hline 
\multicolumn{7}{r}{\emph{Source : INSEE}}\\
\end{tabularx}
}
\end{center}
\medskip
 
\textbf{Partie A :} Traitement des données

\medskip
 
\emph{Tous les résultats demandés seront arrondis au dixième}

\medskip

 \begin{enumerate}
\item La consommation de yaourts de 2000 ayant augmenté de 2,5\,\% entre 2000 et 2002 a été multipliée par $1+\frac{\np{2,5}}{100}$. 
\[\np{19,4}\times \np{1,025}\approx \np{20.4}.\]
La consommation de yaourts en 2002 est d'environ \np{20,4}~kg
\item Le taux d'évolution entre 1998 et 2008 est $\dfrac{\text{valeur de } 2008-\text{valeur de } 1998}{\text{valeur de } 1998}$ soit  $\dfrac{\np{21,8}-\np{19,4}}{\np{19,4}}\approx \np{0,124}$. Le taux d'évolution est de \np{12,4}~\%.
\item   Soit $t_m$ le taux d'évolution annuel moyen. Entre 1998 et 2008, il y a eu dix évolutions, la consommation de yaourts a été multipliée par $(1+t_m)^{10}$. D'après la question précédente, le coefficient multiplicateur global est $\np{1,124}$. Donc $(1+t_m)^{10}=\np{1,124}$ d'où $t_m=\np{1,124}^{\frac{1}{10}}-1\approx\np{0,012}$. Le taux d'évolution annuel moyen est de \np{1,2}~\%.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :} Étude d'un modèle 

\medskip

On décide de modéliser la consommation annuelle de yaourts, à partir de 1998, à l'aide d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $1,012$.
 
Pour tout entier naturel $n,\: u_{n}$ désigne la consommation théorique de yaourts l'année $1998 + n$. Ainsi $u_{0}$ vaut $19,4$. 
\begin{enumerate}
\item Calculons $u_{1}$. D'après la définition d'une suite géométrique $u_1=\np{19,4}\times \np{1,012} \approx \np{19,6}$.
\item En annexe 1, le tableau est un extrait d'une feuille de calcul obtenue à l'aide d'un tableur.
 
Le format d'affichage est un format numérique à une décimale. 
	\begin{enumerate}
		\item Une formule qui, entrée dans la cellule D3, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir le contenu des cellules de la plage D3~:~D13, sans utiliser la colonne C est \fbox{=D2*\np{1,012}} ou \fbox{=\$D2*\np{1,012}}
		\item Dans la colonne D, il manque $u_1$ qui a déjà été calculé. Voir  l'annexe pour le report.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimons $u_{n}$ en fonction de $n$. Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est : $u_n=u_0q^n$ 
		soit $u_n=\np{19,4}\times \np{1,012}^{n}$
		\item Une nouvelle formule à entrer dans E2 pour avoir, après recopie vers le bas, les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ dans la plage E2~:~E13 est \ovalbox{\verb|=$D$2*1,012^C2|}  ou \ovalbox{\verb|=$D$2*1,012^$C2|}
	\end{enumerate} 
\item D'après ce modèle, la consommation de yaourts dépassera 25~kg par personne à partir de 2020. En effet $u_{21}=\np{24,9}$ et $u_{22}=\np{25,2}$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip 
 
Dans une ville sont joués deux concerts, un du groupe de hip hop noté H et l'autre du groupe de reggae noté R.
 
Les billets pour ces concerts sont vendus en totalité par une agence, dans trois billetteries A, B et C.
 
La billetterie A vend 40\,\% des billets.
 
La billetterie B vend 25\,\% des billets.
 
Les autres billets viennent de la billetterie C.
 
Les trois quarts des billets vendus par la billetterie A sont pour le concert du groupe H. 

La billetterie B a vendu autant de billets pour le concert de H que pour le concert de R.

 60\,\% des billets vendus à la billetterie C sont pour le concert du groupe H.
 
On tire un numéro de billet au hasard dans le fichier de l'agence et on considère les événements suivants : 

A : \og le billet a été acheté à la billetterie A \fg{} ; la probabilité de l'événement A est \np{0.4}

B : \og le billet a été acheté à la billetterie B \fg ; la probabilité de l'événement B est \np{0.25}

C : \og le billet a été acheté à la billetterie C \fg{} ; la probabilité de l'événement C est \np{0.35} ($1-(\np{0.4}+\np{0.25}$)
 
H : \og le billet est pour le concert du groupe H \fg{} ; 

R : \og le billet est pour le concert du groupe R \fg.
 
\begin{enumerate}
\item Calculons la probabilité $P_{\text{C}}$(R) de R sachant C.  Puisque  60\,\% des billets vendus à la billetterie C sont pour le concert du groupe H donc la probabilité de R sachant C est : $P_{C}(R)=1-\np{0.6}=\np{0.4}$
\item  Complétons l'arbre de probabilité ci-dessous :

\medskip
 
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A}\taput{\textcolor{red}{\np{0.4}}}}
	  { 
		  \TR{H}\taput{\textcolor{red}{\np{0.75}}}
		  \TR{R}\tbput{\textcolor{red}{\np{0.25}}}	   
	  }
	\pstree{\TR{B}\tbput{\textcolor{red}{\np{0.25}}}}
	  {
		  \TR{H}\taput{\textcolor{red}{\np{0.5}}}
		  \TR{R}\tbput{\textcolor{red}{\np{0.5}}}
	  }
	\pstree{\TR{C}\tbput{\textcolor{red}{\np{0.35}}}}
	  {
		  \TR{H}\taput{\textcolor{red}{\np{0.6}}}
		  \TR{R}\tbput{\textcolor{red}{\np{0.4}}}
	  }	
}
\end{center} 

\item L'événement \og le billet est pour le concert du groupe R et a été acheté à la billetterie C \fg{} est l'événement $C\cap R$. 

Sa probabilité est le produit des probabilités sur les branches   
\[P(C \cap R)=P(C)\times P_{C}(R)=\np{0,35}\times \np{0.4}=\np{0,14}\]
\item Calculons la probabilité P(R) de l'événement R. 
\[P(R)=P(A \cap R) +P(B \cap R)+P(C \cap R)= \np{0.4}\times \np{0.25}+\np{0.25}\times \np{0,5}+\np{0,35}\times \np{0,4}=\np{0,365}\]
\item On a choisi un billet du concert du groupe R. La probabilité qu'il vienne de la billetterie C est la probabilité, $P_{R}(C)$, de C sachant R
 \[P_{R}(C)=\dfrac{P(C\cap R)}{P(R)}=\dfrac{\np{0,14}}{\np{0,365}}\approx \np{0,38}\]
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip
 
%Formulaire

%\emph{Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle I, de fonction dérivée $u^{\prime}$, alors la fonction} $\text{e}^{u}$ \emph{est dérivable sur l'intervalle I et }$\left(\text{e}^{u}\right)^{\prime}  = u^{\prime}\text{e}^{u}$.

\medskip
 
Une étude de marché a été réalisée, auprès de vendeurs et d'acheteurs, pour connaître l'offre et la demande d'un produit en fonction de son prix unitaire, en euros, noté $x$. On suppose que $x$ est compris entre 1 et 7.
 
L'offre est la quantité du produit, en milliers d'unités, que les vendeurs acceptent de vendre au prix de $x$ euros. On la note $f(x)$.
 
La demande est la quantité du produit, en milliers d'unités, que les acheteurs sont prêts à acheter au prix $x$. On la note $g(x)$.
 
On modélise l'offre par la formule $f(x) = 10\text{e}^{0,65x}$ (en milliers d'unités), et la demande par $g(x) = 600\text{e}^{-0,35x}$ (en milliers d'unités).
 
On définit ainsi deux fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle [1~;~7].
 
La courbe représentative de la fonction $f$ est fournie en annexe 2.

\medskip
 
\textbf{Partie A} Étude de la fonction $f$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Graphiquement l'offre lorsque le prix unitaire est 2,50~euros est de 50 (en milliers d'unités).
\item Calculons le prix unitaire, arrondi au centième d'euros, qui génère une offre de \np{200000} unités.  ceci revient à résoudre $f(x)=200$
\[10\text{e}^{0,65x}=200;\quad \text{e}^{0,65x}=20\: ;\quad \ln\text{e}^{0,65x}= \ln 20 \:;\quad \np{0,65}x= \ln 20\:;\quad x = \dfrac{\ln 20}{\np{0,65}}\approx \np{4,61}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} Étude de la fonction $g$ 

\medskip

On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~7]. 
\begin{enumerate}
\item Calculons $g^{\prime}(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~7]. $g=k \,\text{e}^{u}$ donc $g'=k u^{\prime}\text{e}^{u}$. 

  $u(x)=-\np{0.35}x$ par conséquent $u^{\prime}(x)=-\np{0.35}$  et $ g^{\prime}(x)=600 \times (-\np{0.35})\text{e}^{-0,35x}= -210\,\text{e}^{-0,35x}$
\item \begin{enumerate}
\item Étudions le signe de $g^{\prime}$ sur l'intervalle [1~;~7]; Pour tout $x \in \R,\quad \text{e}^{u(x)}>0$


 par conséquent pour tout $x \in [1~;~7],\quad g^{\prime}(x) < 0$ 
\item Si pour tout $x\in I, f^{\prime}(x)<0$, alors $f$ est décroissante sur I. La fonction  $g$ est décroissante sur [1~;~7]. 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c m{1cm}c}
$x$&1&&7\\ \hline
$g^{\prime}(x)$&&$-$&\\ \hline
$g$&423&$\searrow$ &52\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\item  Le tableau de valeurs est complété sur l' annexe 3, à rendre avec la copie. 
\item La représentation graphique de $g$  est tracée sur l'annexe 2, à rendre avec la copie.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C} Étude des deux courbes

\medskip
 
On appelle prix d'équilibre d'un produit, le prix pour lequel l'offre est égale à la demande.
 
\begin{enumerate}
\item  Le prix d'équilibre du produit est  l'abscisse du point d'intersection des deux courbes. On lit environ \np{4,1}
\item Si le prix unitaire du produit est 2~euros, on lit  graphiquement la quantité de demande non satisfaite en mesurant la différence
entre les ordonnées des deux points de la courbe ayant pour abscissse 2 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

{\large\textbf{Annexe 1, à rendre avec la copie }}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|m{3.8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&\multicolumn{1}{c}{B}&C&D&E\\ \hline
1&Ann\'ee&Consommation moyenne en kg par personne&$n$&$u_{n}$&\\ \hline
2&1998&19,4&0&19,4&\\ \hline
3&1999&&1&\textcolor{red}{\np{19.6}}&\\ \hline
4&2000&19,9&2&19,9&\\ \hline
5&2001&&3&20,1&\\ \hline
6&2002&&4&20,3&\\ \hline
7&2003&&5&20,6&\\ \hline
8&2004&21&6&20,8&\\ \hline
9&2005&&7&21,1&\\ \hline
10&2006&21,6&8&21,3&\\ \hline
11&2007&&9&21,6&\\ \hline
12&2008&21,8&10&21,9&\\ \hline
13&2009&&11&22,1&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\vspace{1cm}

{\large\textbf{Annexe 2, à rendre avec la copie }}

\medskip
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-50)(8,1000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=100]{->}(0,0)(8,1000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=100](0,0)(8,1000)
\multido{\n=0.0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+50}{21}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\uput[d](4,-50){Prix unitaire en euros}
\rput{90}(-0.75,500){Offre en milliers d'unit\'es}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{1}{7}{10 2.71828 0.65 x mul exp mul}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{1}{7}{600 2.71828 0.35 neg x mul exp mul}
%\psline[linecolor=green, linewidth=0.5pt, linestyle=dashed](0,143.152294)(4.094345,143.152294)
\psline[linecolor=green, linewidth=0.5pt, linestyle=dashed](4.094345,0)(4.094345,143.152294)
\rput(4.1,-25){\small $\approx \np{4.1}$}
\psline[linecolor=green, linewidth=0.5pt, linestyle=dashed](2.5,50)(2.5,0)
\psline[linecolor=green, linewidth=0.5pt, linestyle=dashed](0,50)(2.5,50)
\rput(2.5,-30){$ \np{2.5}$}
\rput(-0.25,50){$50$}
\rput(-0.35,143.15){\small $\approx 143,2$}
\psline[linecolor=cyan, linewidth=0.85pt, linestyle=dashed](2,36.693)(2,297.95)
\rput(1.5,180){\tiny\textcolor{cyan}{différence entre}}
\rput(1.5,130){\tiny\textcolor{cyan}{l'offre et la demande}}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

{\large\textbf{Annexe 3, à rendre avec la copie}
}
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$g(x)$&423&298&210&148&104&73&52\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}