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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise,\\ gestion des systèmes d'information}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\novembre 2009}} 

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\
Relever sur votre copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse juste rapporte $0,5$ point, une réponse fausse, ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
 
\medskip
  
\textbf{Question 1.} Parmi les trois, graphiques de nuages de points suivants, indiquer celui pour lequel un ajustement affine semble judicieux. 
 
\medskip

\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~} fig 1& \textbf{b.~} fig 2 &\textbf{c.~} fig 3\\ 
\psset{xunit=0.222cm,yunit=0.007cm}\begin{pspicture}(-2,-100)(16,600)
\multido{\n=0+5}{4}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,600)}
\multido{\n=0+100}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(16,600)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(16,600)
\psdots[dotstyle=*](1,300)(2,450)(3,120)(4,200)(5,295)(6,402)(7,200)(8,250)(9,305)(10,500)(13,250)
\end{pspicture}& \psset{xunit=0.0004cm,yunit=0.0012cm}\begin{pspicture}(-2000,-500)(7000,3500)
\multido{\n=0+2000}{4}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3500)}
\multido{\n=0+500}{8}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(7000,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2000,Dy=500,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(7000,3500)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2000,Dy=500,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(7000,3500)
\psdots[dotstyle=*](1900,1000)(2000,1200)(3000,1500)(3500,1500)(4000,2480)(5000,2500)(6000,3000)(6100,2975)
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.44cm,yunit=0.000125cm}
\begin{pspicture}(-2,-5000)(7,35000)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,35000)}
\multido{\n=0+5000}{8}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5000,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(7,35000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5000,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(7,35000)
\psdots[dotstyle=*](1,100)(2,1000)(3,2500)(4,5000)(5,15500)(6,35000)
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\medskip 

\textbf{Question 2.} Le point moyen du nuage ci-dessous est le point G de coordonnées :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~} G (12~;~290)& \textbf{b.~} G (5~;~260)  &\textbf{c.~} G (8~;~ 290) \\ 
\end{tabularx}

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0429cm}
\begin{pspicture}(-1,180)(15,340)
\multido{\n=200+20}{8}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Oy=200,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,200)(15,340)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Oy=200,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle](0,200)(15,340)
\psdots[dotstyle=*](4,270)(5,265)(6,255)(7,272)(8,285)(9,295)(10,318)(11,320)(12,320)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Question 3.}  Parmi les trois droites suivantes, quelle est celle qui réalise le meilleur  ajustement affine  du nuage ci-dessous ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~} La droite $d_{1}$& \textbf{b.~} La droite $d_{2}$   &\textbf{c.~} La droite $d_{3}$  \\
\end{tabularx}  

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0429cm}
\begin{pspicture}(-1,180)(15,340)
\multido{\n=200+20}{8}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Oy=200,Dy=20](0,200)(15,340)
\psdots[dotstyle=*](4,256)(5,262)(6,268)(7,270)(8,284)(9,296)(10,319)(11,321)(12,324)
\psline(4,250)(12.3,328)
\psline(4,280)(12,300)
\psline(4,320)(12,210)
\rput(13,210){$d_{1}$}\rput(13,300){$d_{2}$}\rput(13,328){$d_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Question 4. 1.} Un particulier décide de changer, d'ici deux ou trois ans, son véhicule acheté en 2002.

Souhaitant connaître le prix auquel il pourra le revendre, il consulte l'Argus afin de connaître la cote de son véhicule et obtient le tableau suivant :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 					&2003 		&2004 		&2005 		&2006 		&2007 		&2008 \\ \hline% 
Rang $x_{i}$ de l'année	&1 			&2 			&3 			&4 			&5 			&6 \\ \hline%  
Cote $y_{i}$ en euros	&\np{16000} &\np{13500} &\np{11200} &\np{9000} 	&\np{7400} 	&\np{5900} \\ \hline    
\end{tabularx}

\medskip

On précise que la cote est la valeur de revente du véhicule en fonction de l'année choisie pour la revente ; par exemple, en 2005, la valeur de son véhicule était \np{11200}~\euro.
 
Pour estimer la cote de sa voiture en 2010, il procède à un ajustement affine par la méthode des moindres carrés à l'aide d'une calculatrice.

Après avoir arrondi les valeurs approchées à la centaine d'euros la plus proche, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ est :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~} $y = - \np{2100} x + \np{17600}$& \textbf{b.~} $y = - \np{2000}x + \np{17600}$   &\textbf{c.~} $y = - \np{2100} x + \np{17000}$  \\
\end{tabularx}  

\medskip
  
\textbf{Question 4.2.} L'estimation du prix de son véhicule en 2010, selon le modèle précédent, est alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
\textbf{a.~} \np{1600}~\euro 
&\textbf{b.~} 800~\euro 
&\textbf{c.~} 200~\euro\\
\end{tabularx}  

\medskip
 
\textbf{Question 4.3.} En moyenne, sur la période 2003-2008, ce véhicule perd par an à 100~\euro près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}  
\textbf{a.~} \np{1000}~\euro 
&\textbf{b.~} \np{2000}~\euro 
&\textbf{c.~} \np{3000}~\euro 
\end{tabularx}  

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Le prix du pétrole \og a flambé \fg{} en 2008, voici un tableau donnant le prix, en dollars, du baril de pétrole au cours des 6 premiers mois de l'année.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
mois 			&janvier&février&mars 	&avril 	&mai 	&juin \\ \hline%
prix en dollars &91,99 	&95,05 	&103,78 &109,07 &123,15 &132,32 \\ \hline%
\multicolumn{7}{r}{\small Source :  Direction des ressources énergétiques et minérales (DIREM)}
\end{tabularx}

\medskip 

\emph{Les résultats seront donnés à $0,1$\,\% près.}
 
	\begin{enumerate}
		\item On décide de calculer les taux d'évolution mensuels à l'aide d'un tableur.

La feuille de calcul est donnée en ANNEXE 1. Choisir parmi les trois formules ci-dessous celle qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d'obtenir la plage de cellules C3\negthinspace:G3. Le format utilisé dans la plage considérée est le format \og pourcentage à une décimale \fg.
  
Réponse 1 : \og =(C\$2-B\$2)/B\$2 \fg
 
Réponse 2 : \og =(B\$2-C\$2)/C\$2) \fg
 
Réponse 3 : \og =(C\$2-B\$2)/\$B\$2 \fg 
		\item Compléter le tableau de l'ANNEXE 1, en calculant les taux d'évolution mensuels. 
		\item Calculer le taux d'évolution global entre janvier et juin 2008. 
		\item En déduire le taux moyen d'évolution sur la même période.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\left(P_{n}\right)$ la suite définie par les prix mensuels du baril de pétrole. $P_{0}$ est le prix du baril en juin 2008 et $P_{n}$ le prix du baril $n$ mois plus tard, on a donc $P_{0} = 132,32$ puis $P_{1}$ le prix en juillet 2008, etc. 
	\begin{enumerate}
		\item Des experts ont supposé que le prix du pétrole continuerait à augmenter de 7,5\,\% par mois à partir de juin 2008, Justifier alors que, selon ce modèle, la suite $\left(P_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,075$. 
		\item Quel aurait été dans ces conditions le prix du pétrole en novembre 2008 ? 
		\item En réalité le prix du pétrole en novembre 2008 était d'environ 50~dollars. Que peut-on penser du modèle étudié dans les questions précédentes ?
	\end{enumerate} 
\item Le tableau ci-dessous donne le prix, en dollars, du baril de pétrole au cours des mois de mai des années 1992, 1996, 2000, 2004 et 2008.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
année 			&1992 	&1996 	&2000 	&2004 &2008  \\ \hline% 
prix en dollars	&19,94 	&19,08 	&27,74 	&37,73&123,15 \\ \hline% 
\multicolumn{6}{r}{\small Source :  Direction des ressources énergétiques et minérales (DIREM)}\\  
\end{tabularx} 

\medskip

\emph{Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche.}
 
	\begin{enumerate}
		\item On choisit pour base 100 l'année 1992. À l'aide d'un tableur, on calcule les indices du prix du baril de pétrole pour les années 1996, 2000, 2004 et 2008. La feuille de calcul est donnée en ANNEXE 2. Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d'obtenir la plage de cellules C3\negthinspace:F3, ainsi que le format utilisé. 
		\item Compléter le tableau donné en ANNEXE 2, en calculant les indices. 
		\item Que signifie l'indice obtenu en 2008 par rapport au prix du pétrole en 1992 ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des téléviseurs à écran plat. Constatant qu'un certain nombre de ces téléviseurs présentent un défaut, elle décide de procéder à un test de contrôle de tous les téléviseurs.
 
Le test n'étant pas parfait, on constate que des téléviseurs ayant un défaut peuvent néanmoins être acceptés et des téléviseurs n'ayant pas de défaut peuvent ne pas être acceptés.

\medskip
 
Soient $E$ et  $F$ deux évènements, on note $P(E)$ la probabilité que l'évènement $E$ soit réalisé et $P_{F}(E)$ la probabilité que l'évènement $E$ soit réalisé sachant que l'évènement $F$ est réalisé.
 
On appelle $D$ l'évènement \og le téléviseur a un défaut \fg, $\overline{D}$ l'évènement contraire, $A$ l'évènement \og le 
téléviseur est accepté \fg{} et $\overline{A}$ l'évènement contraire.

\medskip
 
Des résultats sont donnés dans l'arbre ci-dessous : 

\medskip

\begin{center}\pstree[treemode=R,treesep=1.25cm,nodesep=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{$0,03$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$A$}\taput{$\ldots$}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{$0,96$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\ldots$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$A$}\taput{$0,98$}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{$\ldots$}
 		}
}		
		 \end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Que représente $P_{D}(\overline{A})$ et quelle est sa valeur ? 
\item Recopier et compléter l'arbre.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $D \cap A$. 
		\item Calculer les valeurs exactes de $P(D \cap A)$ et $P\left(\overline{D} \cap A\right)$. 
		\item En déduire la probabilité que le téléviseur soit accepté.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité que le téléviseur ait un défaut sachant qu'il est accepté. On arrondira le résultat à $10^{-4}$. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace d'initiative ou de justification, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On décide de comparer ce dernier résultat avec la probabilité initiale de téléviseurs défectueux.
 
Que peut-on penser de l'utilité du test ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip 
 
Après une étude de marché d'un produit, on a modélisé l'offre et la demande de ce produit en fonction de son prix unitaire, à l'aide de fonctions exponentielles.
 
L'offre est modélisée par la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~6] où :
 
\[f(x) = 10 \text{e}^{0,65x}\]
 
où  $x$ représente le prix unitaire en euros.
 
La demande est modélisée par la fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~6] où : 

\[g(x) = 600 \text{e}^{-0,35x}\]
 
où $x$ représente le prix unitaire du produit en euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude graphique de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath
 
Sur la figure donnée en ANNEXE 3, on a tracé la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$.

 Par lecture graphique, donner : 
	\begin{enumerate}
		\item le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6] ; 
		\item le signe de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6] ; 
		\item le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6].
	\end{enumerate}
 
\item \textbf{Étude de la fonction} \boldmath $g$ \unboldmath
 
\emph{On rappelle la propriété : pour toute fonction dérivable $u$ sur un intervalle donné, la fonction} $\text{e}^u$ \emph{est dérivable sur ce même intervalle et}  $\left(\text{e}^u\right)' = u\text{e}^u$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~6]. 
		\item Construire le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~6].
	\end{enumerate}
	 
\item \textbf{Représentations graphiques} 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs, donné en ANNEXE 4, de la fonction $g$. \emph{On arrondira les valeurs à l'unité.} 
		\item Construire la représentation graphique $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ sur la même figure que $\mathcal{C}_{f}$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Prix d'équilibre}
 
On définit le prix d'équilibre comme étant le prix pour lequel l'offre et la demande sont égales. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur le graphique le prix correspondant au prix d'équilibre. 
		\item Donner une valeur approchée de ce prix, arrondie au dixième d'euro. 
		\item Retrouver le résultat précédent par le calcul. On donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au centime d'euro. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\textbf{FEUILLE ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{ANNEXE 1} \end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G\\ \hline 
1	&mois 			&janvier&février&mars 	&avril &mai 	&juin \\ \hline%
2	&prix en dollars&91,99 	&95,05 	&103,78 &109,07&123,15 	&132,32 \\ \hline%
3	&\begin{tabular}{l l}taux d'évolution\\
 mensuel (en \%)\\ \end{tabular}&&3,3\,\%&9,2\,\%&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{ANNEXE 2} \end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A				&B		&C		&D		&E		&F  \\ \hline  
1	&année 			&1992 	&1996 	&2000 	&2004 	&2008  \\ \hline% 
2	&prix en dollars&19,94 	&19,08 	&27,74 	&37,73	&123,15 \\ \hline% 
3	&indice			&100	&		&139	&		&\\  \hline 
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{ANNEXE 3} \end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.0175cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-25)(7,550)
\multido{\n=0.0+0.1}{71}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,550)}
\multido{\n=0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,550)}
\multido{\n=0+5}{111}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(7,\n)}
\multido{\n=0+50}{12}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](0,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=50]{->}(0,0)(7,550)
\uput[d](6,-25){Prix unitaire en euros}
\uput[r](0,560){Nombre de produits}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=6000]{1}{6}{2.71828 0.65 x mul exp 10 mul}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{ANNEXE 4} \end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&2	&3	&4	&5	&6  \\ \hline
$g(x)$ 	&	&	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}