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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Mercatique,comptabilité et finance d'entreprise, gestion des systèmes d'information}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Corrigé du baccalauréat STG Mercatique   \decofourright\\Polynésie septembre 2009}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
%\begin{center} La calculatrice  est autorisée.
%\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip
 
%En octobre 2007, une entreprise française de transport lance une nouvelle tarification et commande auprès d'un institut de sondage une enquête de satisfaction sur l'ensemble de sa clientèle. Cette étude est réalisée auprès d'un échantillon représentatif de \np{4000}~clients et ne concerne qu'un seul et même type de transport.
% 
%Lors de l'étude, deux questions sont posées : l'une demandant si le client possède ou non une carte de réduction et l'autre concernant la fréquence d'utilisation de ce mode de transport.
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Parmi les personnes interrogées 35\,\%, soit \np{1400} personnes, ont une carte de réduction. 
%\item[$\bullet~$] \np{1190} personnes ayant une carte de réduction utilisent ce mode de transport au moins dix fois par an. 
%\item[$\bullet~$] Un dixième des personnes de l'échantillon représentatif, sans carte de réduction, voyage au moins dix fois par an. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%On choisit au hasard un client parmi les \np{4000} interrogés et on considère les évènements $C$ et $T$ suivants : 
%
%$C$ : \og le client interrogé détient une carte de réduction \fg,
% 
%$T$ : \og le client interrogé utilise ce mode de transport au moins dix fois par an \fg. 
%
%\medskip
%
%\emph{Sauf indication contraire, on donnera les valeurs exactes des résultats demandés.}
 
\begin{enumerate}
\item %Donner grâce à l'énoncé les probabilités conditionnelles $P_{C}(T)$ et $P_{\overline{C}}(T)$.
$P_{C}(T) = \dfrac{\np{1190}}{\np{1400}} = \dfrac{119}{140} = \dfrac{17}{20} = 0,85$.

$P_{\overline{C}}(T) = \dfrac{1}{10} = 0,1.$  
\item 
	\begin{enumerate}
		\item~  %Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :
		
		\medskip
		
\begin{center}
\pstree[treesep=2cm,nodesep=5pt,labelsep=2pt,radius=2pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$C$}\tlput{$0,35$}}
	{
	\TR{$T$}\tlput{$0,85$}
	\TR{$\overline{T}$}\trput{$0,15$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$}\trput{$0,65$}}
	{
	\TR{$T$}\tlput{$0,1$}
	\TR{$\overline{T}$}\trput{$0,9$}
	}
}
\end{center}		 
 
		\item  %Calculer la probabilité $P(C \cap T)$.
$p(C \cap T) = p_{C}(T) \times p(C) = 0,85 \times 0,35 = \np{0,2975}$. 
		\item  %Calculer la probabilité que le client interrogé utilise ce mode de transport au moins dix fois par an.
Il faut calculer $p(T)$.

Or $p\left(\overline{C} \cap T\right)  = p\left(\overline{C}\right) \times p_{\overline{C}}(T) = 0,65 \times 0,1 = 0,065$.

D'où :

$p(T) = p\left(\overline{C} \cap T\right)  + p(C \cap T) = 0,065 + \np{0,2975} = \np{0,3625}$.
		\item  %Les deux évènements $C$ et $T$ sont-ils indépendants ?
$p(C) \times p(T) = 0,35 \times  \np{0,3625} = \np{0,126875}$ et 

$p(C \cap T) = \np{0,2975}$.

Comme $p(C) \times p(T) \neq p(C \cap T)$, les évènements C et T ne sont pas indépenants.
	\end{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que, sachant qu'il voyage au moins dix fois par an, le client ait une carte de réduction. On donnera une valeur arrondie à $0,01$.
On a $p_{T}(C) = \dfrac{p(T \cap C)}{p(T)} = \dfrac{\np{0,2975}}{\np{0,3625}} = \dfrac{\np{2975}}{\np{3625}} = \dfrac{119}{145} \approx \np{0,82069} \approx 0,82$ au centième près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
%Un organisme de jeu va récompenser un heureux gagnant. Celui-ci doit faire le choix entre les deux propositions suivantes pour lesquelles il s'agit à chaque fois d'une somme d'argent versée annuellement, et ceci à partir de l'année 2008 et pendant 20 ans. Le bénéfice du jeu s'achèvera donc en 2027, et le gagnant touchera alors son dernier versement.
% 
%S'il choisit la proposition A, il touchera \np{20000}~\euro{} en 2008, puis chaque année, la somme versée augmentera de 4\,\% par rapport à l'année précédente.
% 
%En choisissant la proposition B,  \np{20000}~\euro{} lui seront versés en 2008, puis chaque année, la somme versée sera augmentée de \np{1025}~\euro{} par rapport à l'année précédente.
%
%\medskip
% 
%Pour l'aider à choisir la solution la plus avantageuse, on note :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $a_{n}$ la somme (en euros) versée pendant l'année $2008 + n$ s'il choisit la proposition A. 
%\item[] $b_{n}$ la somme (en euros) versée pendant l'année $2008 + n$ s'il choisit la proposillon B.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Ainsi $a_{0} = \np{20000}, b_{0} = \np{20000}.~ a_{19}$ et $b_{19}$ correspondent aux sommes versées en 2027. 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ est géométrique et donner l'arrondi à l'euro du versement reçu en 2020 s'il choisit la formule A.
Augmenter chaque année de 4\,\%, revient à multiplier par $1 + \dfrac{4}{100} = 1,04$.

On a donc pour tout naturel $n$,{} $a_{n+1} = 1,04a_{n}$. La suite  $\left(a_{n}\right)$ est géométrique de raison 

$q = 1,04$ et de premier terme $a_{0} = \np{20000}$.

On sait qu'alors $a_{n} = a_{0}\times q^n = \np{20000} \times 1,04^n$

2020 correspond à $n = 12$, donc $a_{12} = \np{20000} \times 1,04^{n12} \approx \np{32020,644} \approx \np{32020,64}$~(\euro). 
\item %Montrer que la suite $\left(b_{n}\right)$ est arithmétique et donner l'arrondi à l'euro de la somme reçue en 2020 s'il choisit la formule B.
Puisqu'on ajoute chaque année la somme fixe de \np{1025}~\euro, la suite 
$\left(b_{n}\right)$ est arithmétique de raison $r = \np{1025}$ et de premier terme $b_{0} = \np{20000}$.

On sait qu'alors $b_{n} =  b_{0} + nr = \np{20000} + \np{1025}n$.

2020 correspond à $n = 12$, donc $b_{12} = \np{20000} + \np{1025} \times 12 = \np{32300}$~(\euro).
\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle on a : $b_{n} < a_{n}$.
On a $a_{13} = \np{20000} \times 1,04^{13} \approx \np{33301,47}$

et $b_{13} = \np{20000} + \np{1025} \times 13 = \np{33325}$ ;

$a_{14} = \np{20000} \times 1,04^{14} \approx \np{34633,52}$

et $b_{14} = \np{20000} + \np{1025} \times 14 = \np{34350}$

$n = 14$ correspond à 2022 année où pour la première fois $b_{n} < a_{n}$.

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur $[0,5~;~6]$ par
% 
%\[f(x) = 2x - 3 - 4\ln (x).\]
%
%On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (Annexe 1). 
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la dérivée $f'$ vérifie $f'(x) = \dfrac{2(x - 2)}{x}$.
$f$ est dérivable sur $[0,5~;~6]$ et sur cet intervalle :

$f'(x) =  2 - 4 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x - 4}{x} = \dfrac{2(x - 2)}{x}$.
\item %Dresser, en justifiant,le tableau de variations de la fonction $f$. 
Comme $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x - 2$.

Donc $x - 2 > 0 \iff x > 2$, alors $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur [2~;~6] ;

$x - 2 < 0 \iff x < 2$, alors $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur [0,5~;~2].
\item %Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $2$. On la note $T$.
On vient de voir que $f'(2) = 0$ : le coefficient directeur de la tangente à la la courbe $\mathcal{C}$ est égal au nombre dérivé $f'(2) = 0$ ; donc la tangente est horizontale.
%Donner une équation de la droite $T$.
Une équation de $T$ est $y = 2 \times 2 - 3 - 4\ln (2) = 1 - 4\ln (2)$. 
\item %En utilisant le graphique ou le tableau de variations montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $x_{0}$ dans l'intervalle [2~;~6].
Sur [0,5~;~2] la fonction décroît de $f(0,5) = 1 - 3 - 4\ln (0,5) = -2 + 4\ln (2) \approx 0,772$ à 

$f(2) = 1 - 4\ln (2) \approx - 1,772$.

Sur [2~;~6], la fonction croît de $f(2) = 1 - 4\ln (2) \approx - 1,772$ à $f(6) = 9 - 4\ln (6) \approx 1,833$.

Conclusion : l'équation $f(x) = 0$ n'a qu'une seule solution $x_{0}$ sur  l'intervalle [2~ ;~6].

La calculatrice donne :

$f(4,5) \approx - 0,02$ et $f(4,5) \approx  0,1$, donc $4,5 < x_{0}< 4,6$.

$f(4,51) \approx -0,005$ et $f(4,52) \approx  0,006$.

Conclusion : $x_{0}\approx 4,51$.
 
%Donner, à l'aide d'une calculatrice, l'arrondi de $x_{0}$ à $0,01$ près. 
\item %Déterminer une équation de la tangente $T_{1}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
$f(1) = - 1$ et $f'(1) = - 2$.

Une équation de $T_{1}$ est de la forme $y = - 2x + b$.

Or $x = 1 \Rightarrow y = - 1  = -2\times 1 + b \iff b = 1$.

Une équation de $T_{1}$ est donc $y = - 2x + 1$.

%Dans le repère de l'annexe 1, à rendre, tracer les tangentes $T$ et $T_{1}$ à la courbe $\mathcal{C}$.
Voir la figure. 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

%Un fabricant de vélos fabrique deux types de cadres : le cadre de type TU et le cadre de type TR. Pour cela, il utilise trois machines : la machine A pour assembler les tubes, la machine P pour les polir et le8 peindre, la machine M pour monter les suspensions.
% 
%Pour fabriquer un lot de 100~cadres,
% 
%de type TU, il utilise 1 heure la machine A, 3 heures la machine P et n'utilise pas la machine M,
%
%de type TR, il utilise 2 heures la machine A, 1 heure la machine P et 2 heures la machine M.
% 
%Il dispose de 60~h d'utilisation par semaine pour la machine A, 90~h pour la machine P, et 42~h pour la machine M.
%
%\medskip
% 
%L'objectif de cet exercice est de trouver comment le fabricant doit utiliser ses machines dans la limite du temps imparti pour réaliser un bénéfice maximum.
%
%\medskip
% 
%On note $x$ le nombre de lots de 100~cadres de type TU, et $y$ le nombre de lots de 100~cadres de type TR.
%
%On admet que les contraintes se traduisent par le système (S) suivant :
% 
% \medskip 
%\[\text{(S)}\quad \left\{\begin{array}{l c l}
%x + 2y &\leqslant & 60\\
%3x + y &\leqslant & 90\\ 
%2y &\leqslant & 42 \\
%x&\geqslant & 0 \\ 
%y&\geqslant & 0 \\
%\end{array}\right.\]
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  On a représenté sur le graphique fourni en annexe 2, à rendre, les droites D$_{1}$, D$_{2}$ et D$_{3}$ d'équations respectives 
 
\[y = - \dfrac{1}{2}x + 30, \quad  y = -3x + 90 \quad \text{et} \quad  
y = 21.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Identifier ces droites sur le graphique en y portant le nom des droites.
		Voir le graphique à la fin. 
		\item %Résoudre graphiquement le système (S). (On hachurera les zones du plan qui ne conviennent pas.
On a $x + 2y \leqslant  60 \iff y \leqslant 30 - \dfrac{1}{2}x$ ;

$3x + y \leqslant  90 \iff y \leqslant - 3x + 90$ ;

$2y \leqslant 42 \iff y \leqslant 21$.

Tous les points à coordonnées naturelles appartenant à la région non hachurée sont des points dont les cooordonnées sont solutions du système (les points des droites étant compris).
		\item %À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  %le fabricant peut~il produire 5~lots de 100 cadres de type TU et 25~lots de 100~cadres de type TR ?
Le couple (5~;~25) n'est pas solution (car $25 > 21$). 
\item  %le fabricant produisant 20~lots de 100~cadres de type TU ; quel est alors le maximum de lots de type TR qu'il peut alors réaliser ?
Pour $x = 20$, la plus grande valeur possible pour $y$ est $y = 20$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate} 
\item %Pour un lot de 100~cadres TU, le fabricant réalise \np{5000}~euros de bénéfice, et pour  un lot de 100~cadres TR, il réalise \np{7000}~euros de bénéfice. 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer en fonction de $x$ et $y$ le montant des bénéfices $B$,  en milliers d'euros, du fabricant.
$B = 50x + 70y$. 
		\item %Résoudre le système $\left(\text{S}'\right)$ d'équations : 	$\left(\text{S}'\right) : \quad  \left\{\begin{array}{l c l}
%y 	&=	& - \dfrac{1}{2}x + 30\\ 
%y	&=	&-3x + 90 \\
%\end{array}\right.$
On a donc $- \dfrac{1}{2}x + 30 = - 3x + 90 \iff -x + 60 = - 6x + 180 \iff  5x = 120 \iff x = 24$ ; d'où $y = - 3 \times 24 + 90  = 18$.

Le couple (24~;~18) est solution de $S'$.
		\item  %Sur l'annexe 2, à rendre, tracer la droite $\Delta$ d'équation $y =  -\dfrac{5}{7}x + 15$ correspondant à un bénéfice de  \np{105000}~euros.
		Pour $x = 0,~y = 15$ et pour $x = 35,~y = - 10$. 
Voir le dessin. 
		\item  %Déterminer par le calcul le couple $(x,~y)$ qui fournira au fabricant de vélos le bénéfice maximal. 
Les droites représentant les bénéfices sont parallèles.

D'après la question précédente, elles ont toutes pour coefficient directeur $-\dfrac{5}{7}$. D'après la résolution du système le couple solution correspond au bénéfice maximal, donc pour $x = 24$ et $y = 18$.

La droite correspondante à ce bénéfice a pour équation $y = -\dfrac{5}{7}x + b$ ; de $x = 24$ on en déduit $y = -\dfrac{5}{7} \times 24 + b = 18 \iff b = 18 + \dfrac{120}{7} = \dfrac{126 + 120}{7} = \dfrac{246}{7}$.

Donc la droite a pour équation $y = -\dfrac{5}{7}x + \dfrac{246}{7}$ ou encore en multipliant par 70 : 

$70y = - 50x + \np{2460} \iff 50x + 70y = \np{2460}$.  
%Calculer ce bénéfice en milliers d'euros.
Le bénéfice est donc de $\np{2460}$(\euro).

\emph{Vérification} : Le bénéfice est alors égal à : 

$50 \times 24 + 70 \times 18 = \np{1200} + \np{1260} = \np{2460}$(\euro).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm} 

\begin{center}
\psset{unit=1.333cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-4.1)(8.63,2.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-0.5,-4)(8.5,2.5)
\uput[d](8.5,0){$x$}\uput[l](0,2.5){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000,linewidth=1.25pt]{0.5}{6}{2 x mul 3 sub x ln 4 mul sub}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-4)(8.5,2.5)
\psline(1,-1.773)(3,-1.773)\uput[r](3,-1.773){$T$}
\psplot{0.5}{1.5}{1 2 x mul sub}\uput[dl](0.5,0){$T_{1}$}
\end{pspicture*}
\end{center} 

\vspace{2cm}

\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm} 

\begin{center}
\psset{unit=0.1333cm}
\begin{pspicture}(-5,-15)(85,50)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-5,-15)(85,50)
\multido{\n=-5+5}{19}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-15)(\n,50)}
\multido{\n=-15+5}{14}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](-5,\n)(85,\n)}
\uput[d](85,0){$x$}\uput[l](0,50){$y$}\uput[dl](0,){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{85}{30 0.5 x mul sub}\uput[u](5,27.54){$D_{1}$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt]{13.333}{35}{90 3 x mul sub}\uput[r](33,-10){$D_{2}$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,21)(85,21)\uput[u](77.5,21){$D_{3}$}
\pspolygon[fillstyle=hlines](0,30)(60,0)(85,0)(85,50)(0,50)
\pspolygon[fillstyle=vlines](30,0)(85,0)(85,50)(0,50)(13.3333,50)
\pspolygon[fillstyle=crosshatch](0,21)(85,21)(85,50)(0,50)
\pspolygon[fillstyle=hlines](-5,-15)(0,-15)(0,50)(-5,50)
\pspolygon[fillstyle=hlines](-5,0)(-5,-15)(85,-15)(85,0)
\psline[linecolor=green,linewidth=1.25pt](0,15)(35,-10)
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{0}{50}{35.1429 x 0.714286 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}