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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STG Mercatique}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Corrig\'e du baccalauréat STG Mercatique  Polynésie \decofourright\\ juin 2010}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
%\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
%\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice esr un questionnaire \`a choix multiple (QCM).\\ 
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte et aucune  justification n'est demandée.\\ 
%On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez être correcte.\\ 
%Chaque bonne réponse rapporte un point, une question sans réponse ou fausse ne rapporte aucun point.}
%
%\medskip
% 
\textbf{Question 1 :}
%
%\medskip
% 
%Une entreprise de transport a réalisé en 2007 un chiffre d'affaires de 2,98~millions d'euros. L'indice du chiffre d'affaires de cette entreprise en 2008 par rapport au chiffre d'affaires en 2007 (pris comme base 100) est 114. Le chiffre d'affaire en 2008 est, à $0,01$ près) de :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%4,12 millions d'euros& 2,61 millions d'euros& 3,40 millions d'euros\\ \hline
%\end{tabularx}
On a $2,98 \times 1,14 = \np{3,3972} \approx 3,40$ \`a 0,01 pr\`es.
\medskip
 
\textbf{Question 2 :}

%\medskip
% 
%Lors des soldes, une paire de chaussures porte l'étiquette  suivante :
% 
%\og Première démarque : $-20$\:\% puis démarque supplémentaire : $-10$\:\% \fg
%
%Le taux d'évolution global associé au prix de la paire est : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%une baisse de 28\:\% &
%une baisse de 11,8\:\% &
%une baisse de 30\:\% \\ \hline
%\end{tabularx}
Le prix est multipli\'e par 0,8 puis par 0,9, soit par 0,72, ce qui repr\'esente une baisse de 28\,\%.
\medskip

\textbf{Question 3 :}

%\medskip
%
%Après avoir subi sept évolutions successives de son prix, un article valant initialement 110~euros coûte désonnais 133,75~euros. Le taux d'évolution moyen (en \% arrondi à $0,01$ près) de ces sept évolutions successives et : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%3,08\:\%&2,83\:\%&3,39\:\%\\ \hline
%\end{tabularx}
L'augmentation totale a \'et\'e de  : $\dfrac{133,75 - 110}{110}\times 100 = \np{21,5909}$.

Si $t$ est le taux d'\'evolution moyen, on a :

$(1 + t)^7 = \np{1,215909} \iff 1 + t = \np{1,215909}^{1/7} \iff t = \np{1,215909}^{1/7} - 1 \approx 0,0283$ soit 2,83\,\%.
\medskip

%Pour les questions 4 et 5 qui suivent on considère le problème suivant :
% 
%Une voiture neuve est affichée au prix de \np{18600}~\euro. On estime qu'elle se déprécie de 8\:\% chaque année.
%
%Le tableau suivant est obtenu grâce à un logiciel tableur qui donne le prix (à l'euro près) selon les ann\'ees (l'ann\'ee d'achat étant l'année de rang $0$) :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%&A&B&C\\ \hline
%1	&Rang de l' année&Taux de la baisse en \%& Prix de la voiture\\ \hline 
%2	&0	&8	&\np{18600}\\ \hline 
%3	&1	&	&\np{17112}\\ \hline 
%4	&2	&	&\np{15743}\\ \hline 
%5	&3 	&	&\np{14484}\\ \hline 
%6	&4	&	&\np{13325}\\ \hline
%\end{tabularx}

%\end{center}
\medskip 
 
\textbf{Question 4 :}
 
%Dans la cellule C3, on a entré une formule que l'on a recopiée vers le bas. Cette formule est :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%=C2*(1-\$B\$2/100) &
%=C2*(1-B2/100) &
%=\$C\$2*(1-\$B\$2/100)\\ \hline
%\end{tabularx}
Formule : \fbox{~=C2*(1-\$B\$2/100)~}
\bigskip
 
\textbf{Question 5 :} 

%L'année à partir de laquelle l'estimation de la voilure sera inférieure à \np{10000}~\euro{} est celle :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
%de rang 7& de rang 8& de rang 9\\ \hline 
%\end{tabularx}
Le prix l'ann\'ee $n$ est \'egal \`a $\np{18600} \times 0,92^n$. Il faut r\'esoudre l'\'equation :

$\np{18600} \times 0,92^n < \np{10000} \iff 0,92^n < \dfrac{\np{10000}}{\np{18600}} \iff n\ln 0,92 < \ln \left(\frac{\np{10000}}{\np{18600}} \right)$  (par croissance de la fonction logarithme n\'ep\'erien) $\iff n > \dfrac{\ln \left(\frac{\np{10000}}{\np{18600}} \right)}{\ln 0,92}$ (car $\ln 0,92 < 0$).

Or $\dfrac{\ln \left(\frac{\np{10000}}{\np{18600}} \right)}{\ln 0,92} \approx 7,4$. Il faut donc attendre la 8\up{e} ann\'ee.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Un sondage a été effectué auprès des clients du rayon multimédia d'un grand magasin sur l'utilisation de leur téléphone portable. 
%
%Toutes les personnes interrogées possédaient un téléphone portable  avec la fonction prise de photos. 
%
%Lors de l'analyse des réponses, on constate que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] 45\:\% des personnes interrogées ont moins de 24 ans, les autres ont 25 ans ou plus.
%\item[] 80\:\% des moins de 24 ans ont déjà pris des photos avec leur téléphone portable. 
%\item[] 60\:\% des 25 ans et plus n'ont jamais pris de photo avec leur téléphone portable.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%À la sortie du rayon multimédia de ce grand magasin~ on interroge au hasard un client en possession d'un téléphone portable avec la fonction prise de photos.
%
%\medskip
% 
%On considère les év\`enements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $J$ : \og la personne interrogée a moins de 24 ans \fg{}; 
%\item[]	$A$ : \og la personne interrogée a 25 ans et plus \fg{}; 
%\item[] $F$ : \og la personne interrogée a déjà pris des photos avec son téléphone portable \fg{}; 
%\item[]	$\overline{F}$ 	: \og  la personne interrogée n'a jamais pris de photo avec son téléphone portable \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}\psset{nodesep=1ex}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{J}\taput{0,45}}
	  { 
		  \TR{F}\taput{0,8}
		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{0,2}	   
	  }
	\pstree{\TR{A}\tbput{0,55}}
	  {
		  \TR{F}\taput{0,4}
		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{0,6}	  
	  }	
}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Déterminer : 
	\begin{enumerate}
		\item %$P(J)$ la probabilité de l'év\`enement $J$.
$P(J) = 0,45$. 
		\item %$P(A)$ la probabilité de l'év\`enement $A$.
$P(A) = 0,55$. 
		\item %$P_{J}(F)$ la probabilité,  sachant $J$, de l'év\`enement $F$.
$P_{J}(F) = 0,8$.		
	\end{enumerate} 
\item %Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 24 ans et ait déjà pris des photos avec son téléphone portable.
$p(J \cap F) = p_{J}(F) \times p(F) = 0,45 \times 0,8 = 0,36$. 
\item %Montrer que la probabilité de l'év\`enement $F$ est $0,58$.
On a de m\^eme  $p(A \cap F) = p_{A}(F) \times p(F) = 0,55 \times 0,4 = 0,22$.

Donc $p(F) = p(J \cap F) + p(A \cap F) = 0,36 + 0,22 = 0,58$.
\item %Sachant que la personne interrogée a déjà pris des photos avec son téléphone portable, calculer la probabilité qu'elle ait moins de 24~ans et donner le résultat à $10^{-2}$ près.
Il faut calculer :

$p_{F}(J) = \dfrac{p(F \cap J}{p(F)} = \dfrac{0,36}{0,58} = \dfrac{36}{58} = \dfrac{18}{29} \approx 0,62$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

%Une étude de marché s'intéresse à l'évolution de l'offre et de la demande d'un produit P de consommation courante. L'offre et la demande dépendent du prix unitaire $x$ exprimé en euro.
%
%\medskip
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] La fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par $f(x) = \text{e}^{0,2x} - 1$ modélise l'offre. Ainsi $f(x)$ représente le nombre de produits P offerts, exprimé en millions d'unités, pour un prix unitaire de $x$ exprimé en euro. 
%\item[$\bullet~$] La fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{12}{\text{e}^{0,2x} + 1}$	 sur l'intervaile [0~;~10] modélise la demande. 
%
%Ainsi $g(x)$ représente le nombre de produits P demandés, exprimé en millions d'unités, pour un prix unitaire de $x$ exprimé en euro.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%La courbe représentative de la fonction $g$ est tracée en annexe, annexe qui sera complétée et rendue avec la copie. 
%
%\medskip

\textbf{Partie A :}  \emph{Étude de la fonction offre}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$ puis calculer $f(10)$ en donnant sa valeur exacte puis une valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
$f(0) =  \text{e}^{0,2\times 0} - 1 = 1 - 1 = 0$.

$f(10) = \text{e}^{0,2 \times 10} - 1 = \text{e}^{2} - 1 \approx 6,39$.
\item %Déterminer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ puis justifier que $f'(x) > 0$ pour tout réel $x$ dans l'intervalle [0~;~10].
$f$ est d\'erivable sur $\R$ donc sur [0~;~10] et sur cet intervalle :

$f'(x) = 0,2\text{e}^{0,2x}$.

On sait que, quel que soit $x$, $\text{e}^{0,2x} > 0$, donc sur [0~ ;~10], $f'(x) > 0$. 
\item %Compléter le tableau de valeurs situé en annexe en donnant les valeurs arrondies à $0,1$ près. 
\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
$f'(x) > 0 \Rightarrow f$ est croissante sur [0~;~10].

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$}  \uput[u](7.8,2.5){$10$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(5,2.25){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](2.1,0){$0$} \uput[d](7.5,2){$\text{e}^{2} - 1$}
\psline{->}(2.4,0.5)(7.,1.5)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur le graphique de l'annexe.
Voir l'annexe 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :} \emph{Détermination du prix d'équilibre}

\medskip
 
%On appelle prix d'équilibre d'un produit, le prix pour lequel l'offre est égale à la demande.
 
\begin{enumerate}
\item %Par lecture graphique, donner une valeur approchée \`a $0,5$ euros près du prix d'équilibre de ce produit et en déduire la valeur de l'offre (en millions d'unités avec un chiffre après la virgule).
Le point commun aux deux courbes a pour coordonn\'ees (6,4~;~2,6) ; le prix d'équilibre de ce produit est donc approximativement \'egal \`a 6,50 \euro{} (\`a 0,50 pr\`es).
\item %On se place au prix d'équilibre. Calculer alors le chiffre d'affaires réalisé en millions d'euros arrondi à l'unité près.
Le chiffre d'affaires est \`a peu pr\`es \'egal \`a \np{2500000}~unit\'es.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip 

%Un cinéma a ouvert au début de l'année 2008. Chaque mercredi après-midi a lieu la projection de films pour enfants. On s'intéresse ici au nombre d'entrées vendues chaque mercredi après-midi pour ces séances. Les données sont reportées dans le tableau ci-dessous : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Rang de la semaine : $x_{i}$		&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7\\ \hline 
%Nombres d'entrées vendues : $y_{i}$	&77 &110&121&163&180&189&225\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Représenter graphiquement, sur une feuille de papier millimétré qui sera rendue avec la copie, le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. On prendra 2~cm pour représenter 1~semaine sur l'axe des abscisses et 1~cm pour représenter 10~entrées sur l'axe des ordonnées. 
\item %Calculer les coordonnées du point $G$ point moyen du nuage, en arrondissant à l'unité et représenter ce point $G$ dans le graphique précédent.
On trouve G(4~;~152). Voir le graphique 
\item %Soit $D$ la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. 
	\begin{enumerate}
		\item %D\'eterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $D$. On arrondira les coefficients au dixième près.
		La calculatrice donne pour $D$, $y = 27,8x + 36,9$. 
		\item %Tracer $D$ sur le graphique de la question 1.
Voir le graphique 
		\item %Si l'on retient cet ajustement affine, calculer le nombre d'entrées que l'on peut pr\'evoir pour la huitième semaine (arrondir \`a l'entier le plus proche).
		\emph{Graphiquement} : on trace la droite d'\'equation $x = 8$ qui coupe la droite $D$ en un point d'ordonn\'ee 260 environ (\`a 1 pr\`es). Voir le trac\'e.
		
\emph{Par le calcul} : en utilisant l'\'equation de $D$ :si $x = 8,~y = 27,8 \times 8 + 36,9 = 259,3 \approx 259$. (r\'esultat plus pr\'ecis)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.075cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,260)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(8.5,265)
\uput[d](8.5,0){$x$}\uput[l](0,265){$y$}
\psdots(1,77)(2,110)(3,121)(4,163)(5,180)(6,189)(7,225)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](4,152)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{27.7625 x mul 36.9375 add}\uput[dr](0.5,50){$D$}\uput[dr](4,152){G}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(8,0)(8,259.3)(0,259.3)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,260)}
\multido{\n=0+10}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline
$f(x)$	&0	&0,2	&0,5	&0,8	&1,2	&1,7	&2,3	&3,1	&4	&5	&6,4\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,labels=none](0,0)(7,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1,labels=none](0,0)(7,3)
\uput[d](11,0){$x$}\uput[l](0,10){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{12 2.71828 0.2 x mul exp 1 add div}
\psplot[linecolor=olive,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{2.71828 0.2 x mul exp 1 sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(6.41,2.606)(6.41,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(6.41,2.606)(0,2.606)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](0,0)(11,10)
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}