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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique,comptabilité et finance d'entreprise,\\ gestion des systèmes d'information}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Polynésie~\decofourright\\ juin 2009}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
\begin{center} La calculatrice  est autorisée.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip
 
En octobre 2007, une entreprise française de transport lance une nouvelle tarification et commande auprès d'un institut de sondage une enquête de satisfaction sur l'ensemble de sa clientèle. Cette étude est réalisée auprès d'un échantillon représentatif de \np{4000}~clients et ne concerne qu'un seul et même type de transport.
 
Lors de l'étude, deux questions sont posées : l'une demandant si le client possède ou non une carte de réduction et l'autre concernant la fréquence d'utilisation de ce mode de transport.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Parmi les personnes interrogées 35\,\%, soit \np{1400} personnes, ont une carte de réduction. 
\item[$\bullet~$] \np{1190} personnes ayant une carte de réduction utilisent ce mode de transport au moins dix fois par an. 
\item[$\bullet~$] Un dixième des personnes de l'échantillon représentatif, sans carte de réduction, voyage au moins dix fois par an. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On choisit au hasard un client parmi les \np{4000} interrogés et on considère les évènements $C$ et $T$ suivants : 

$C$ : \og le client interrogé détient une carte de réduction \fg,
 
$T$ : \og le client interrogé utilise ce mode de transport au moins dix fois par an \fg. 

\medskip

\emph{Sauf indication contraire, on donnera les valeurs exactes des résultats demandés.}
 
\begin{enumerate}
\item Donner grâce à l'énoncé les probabilités conditionnelles $P_{C}(T)$ et $P_{\overline{C}}(T)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :
		
\begin{center}
\pstree[treesep=2cm,nodesep=5pt,labelsep=2pt,radius=2pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$}^{$0,35$}}{
\TR{$T$}
\TR{$\overline{T}$}}
\pstree{\TR{$\overline{C}$}}{
\TR{$T$}^{$0,1$}
\TR{$\overline{T}$}}}
\end{center}		 
 
		\item  Calculer la probabilité $P(C \cap T)$. 
		\item  Calculer la probabilité que le client interrogé utilise ce mode de transport au moins dix fois par an. 
		\item  Les deux évènements $C$ et $T$ sont-ils indépendants ? 
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que, sachant qu'il voyage au moins dix fois par an, le client ait une carte de réduction. On donnera une valeur arrondie à $0,01$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
Un organisme de jeu va récompenser un heureux gagnant. Celui-ci doit faire le choix entre les deux propositions suivantes pour lesquelles il s'agit à chaque fois d'une somme d'argent versée annuellement, et ceci à partir de l'année 2008 et pendant 20 ans. Le bénéfice du jeu s'achèvera donc en 2027, et le gagnant touchera alors son dernier versement.
 
S'il choisit la proposition A, il touchera \np{20000}~\euro{} en 2008, puis chaque année, la somme versée augmentera de 4\,\% par rapport à l'année précédente.
 
En choisissant la proposition B,  \np{20000}~\euro{} lui seront versés en 2008, puis chaque année, la somme versée sera augmentée de \np{1025}~\euro{} par rapport à l'année précédente.

\medskip
 
Pour l'aider à choisir la solution la plus avantageuse, on note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $a_{n}$ la somme (en euros) versée pendant l'année $2008 + n$ s'il choisit la proposition A. 
\item[] $b_{n}$ la somme (en euros) versée pendant l'année $2008 + n$ s'il choisit la proposition B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Ainsi $a_{0} = \np{20000}, b_{0} = \np{20000}.~ a_{19}$ et $b_{19}$ correspondent aux sommes versées en 2027. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ est géométrique et donner l'arrondi à l'euro du versement reçu en 2020 s'il choisit la formule A. 
\item Montrer que la suite $\left(b_{n}\right)$ est arithmétique et donner l'arrondi à l'euro de la somme reçue en 2020 s'il choisit la formule B. 
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle on a : $b_{n} < a_{n}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0,5~;~6]$ par
 
\[f(x) = 2x - 3 - 4\ln (x).\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (Annexe~1). 
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée $f'$ vérifie $f'(x) = \dfrac{2(x - 2)}{x}$. 
\item Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $2$. On la note $T$.

Donner une équation de la droite $T$. 
\item En utilisant le graphique ou le tableau de variations montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $x_{0}$ dans l'intervalle [2~;~6].
 
Donner, à l'aide d'une calculatrice, l'arrondi de $x_{0}$ à $0,01$ près. 
\item Déterminer une équation de la tangente $T_{1}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.

Dans le repère de l'annexe 1, à rendre, tracer les tangentes $T$ et $T_{1}$ à la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Un fabricant de vélos fabrique deux types de cadres : le cadre de type TU et le cadre de type TR. Pour cela, il utilise trois machines : la machine A pour assembler les tubes, la machine P pour les polir et le8 peindre, la machine M pour monter les suspensions.
 
Pour fabriquer un lot de 100~cadres,
 
de type TU, il utilise 1 heure la machine A, 3 heures la machine P et n'utilise pas la machine M,

de type TR, il utilise 2 heures la machine A, 1 heure la machine P et 2 heures la machine M.
 
Il dispose de 60~h d'utilisation par semaine pour la machine A, 90~h pour la machine P, et 42~h pour la machine M.

\medskip
 
L'objectif de cet exercice est de trouver comment le fabricant doit utiliser ses machines dans la limite du temps imparti pour réaliser un bénéfice maximum.

\medskip
 
On note $x$ le nombre de lots de 100~cadres de type TU, et $y$ le nombre de lots de 100~cadres de type TR.

On admet que les contraintes se traduisent par le système (S) suivant :
 
 \medskip 
\[\text{(S)}\quad \left\{\begin{array}{l c l}
x + 2y 	&\leqslant & 60\\
3x + y 	&\leqslant & 90\\ 
2y 		&\leqslant & 42 \\
x		&\geqslant & 0 \\ 
y		&\geqslant & 0 \\
\end{array}\right.\]
\medskip

\begin{enumerate}
\item  On a représenté sur le graphique fourni en annexe 2, à rendre, les droites D$_{1}$, D$_{2}$ et D$_{3}$ d'équations respectives 
 
\[y = - \dfrac{1}{2}x + 30, \quad  y = -3x + 90 \quad \text{et} \quad  
y = 21.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Identifier ces droites sur le graphique en y portant le nom des droites. 
		\item Résoudre graphiquement le système (S). (On hachurera les zones du plan qui ne conviennent pas. 
		\item À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  le fabricant peut~il produire 5~lots de 100 cadres de type TU et 25~lots de 100~cadres de type TR ? 
\item  le fabricant produisant 20~lots de 100~cadres de type TU ; quel est alors le maximum de lots de type TR qu'il peut alors réaliser ?
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate} 
\item Pour un lot de 100~cadres TU, le fabricant réalise \np{5000}~euros de bénéfice, et pour  un lot de 100~cadres TR, il réalise \np{7000}~euros de bénéfice. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ le montant des bénéfices $B$,  en milliers d'euros, du fabricant. 
		\item Résoudre le système $\left(\text{S}'\right)$ d'équations : 	$\left(\text{S}'\right) : \quad  \left\{\begin{array}{l c l}
y 	&=	& - \dfrac{1}{2}x + 30\\ 
y	&=	&- 3x + 90 \\
\end{array}\right.$
		\item  Sur l'annexe 2, à rendre, tracer la droite $\Delta$ d'équation $y =  -\dfrac{5}{7}x + 15$ correspondant à un bénéfice de  
\np{105000}~euros. 
		\item  Déterminer par le calcul le couple $(x,~y)$ qui fournira au fabricant de vélos le bénéfice maximal. 
 
Calculer ce bénéfice en milliers d'euros.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm} 

\begin{center}
\psset{unit=1.333cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-4.1)(8.63,2.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-0.5,-4)(8.5,2.5)
\uput[d](8.5,0){$x$}\uput[l](0,2.5){$y$}\uput[dl](0,0){O}
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\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.5,-4)(8.5,2.5)
\end{pspicture*}
\end{center} 

\vspace{2cm}

\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm} 

\begin{center}
\psset{unit=0.1333cm}
\begin{pspicture}(-5,-15)(85,50)
\multido{\n=-5+5}{19}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-15)(\n,50)}
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\psline[linewidth=1.5pt](0,21)(85,21)
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}