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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STG Mercatique}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} 
{\Large\textbf{\decofourleft~ Baccalauréat STG Mercatique  Polynésie \decofourright\\septembre 2011}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée

\bigskip

\textbf{L'annexe doit impérativement être rendue avec la copie} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le taux mensuel moyen associé à une augmentation annuelle de 24\,\% (arrondi à 0,01\,\%) est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~2\,\%& 	\textbf{b.}~~ 1,81\,\%& 	\textbf{c.}~~ 1,03\,\% &	\textbf{d.}~~ 0,02\,\% \\
\end{tabularx}

\medskip

\item Un prix augmente de 13,2\,\% puis diminue de 10,9\,\%. Le pourcentage global d'augmentation (arrondi à 0,01\,\%) est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~2,30\,\%& 	\textbf{b.}~~1,44\,\%& 	\textbf{c.}~~0,86\,\% &	\textbf{d.}~~1,01\,\% \\
\end{tabularx} 

\medskip
\item Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-10~;~40]$ dont le tableau de variation est le suivant  : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5)\psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.25,2){$- 10$} \uput[u](4,2){$4$} \uput[u](6,2){$20$} \uput[u](7.8,2){$40$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](2.25,0){$0$}\uput[d](4,2){e} \uput[u](6,0){1}\uput[d](7.8,2){10}
\psline{->}(2.5,0.3)(3.5,1.6)\psline{->}(4.5,1.6)(5.5,0.3)\psline{->}(6.5,0.3)(7.5,1.6)
\end{pspicture}
\end{center}

Dans l'intervalle $[-10~;~40]$, l'équation $f(x) = 0$ : 

\begin{tabular}{l l}
\textbf{a.}~~ admet 1 solution& \textbf{c.}~~ admet 3 solutions\\ 
\textbf{b.}~~ admet 2 solutions& \textbf{d.}~~ n'admet pas de solution\\
\end{tabular}

\medskip

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{-3x+5}$. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.}~~$g^{\prime}(x) = - 3\text{e}^{-3x + 5}$&\textbf{b.}~~$g^{\prime}(x) = \text{e}^{-3x + 5}$\\
\textbf{c.}~~$g^{\prime}(x) = (- 3x + 5)\text{e}^{-3x + 5}$& 	\textbf{d.}~~$g^{\prime}(x) = - 3x\text{e}^{-3x + 5}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une agence de voyage propose deux types de séjour : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item en circuit organisé, au cours duquel les clients sont entièrement pris en charge ; 
\item en circuit libre, pour lequel seuls les hébergements et déplacements sont réservés (pas les repas, ni les visites de monuments).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Après avoir fait une étude des séjours vendus en 2010, les gestionnaires de l'agence se sont aperçus que 75\,\% de leurs clients sont des personnes âgées de plus de 60 ans. 
Ils ont noté d'autre part, que :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Parmi les personnes âgées de moins de 60 ans, 30\,\% ont opté pour un séjour en circuit organisé; 
\item[$\bullet~~$]Parmi les personnes âgées de plus de 60 ans, 40\,\% ont opté pour un séjour en circuit libre.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On interroge au hasard un client ayant fait appel aux services de cette agence en 2010.
 
On appelle $p$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
 
On note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $S$ l'évènement : \og le client est âgé de plus de soixante ans \fg{} ; 
\item $O$ l'évènement : \og le client a choisi un circuit organisé \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Déduire des informations de l'énoncé : 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité $p(S)$ de l'évènement $S$. 
		\item La probabilité $p_{\overline{S}}(O)$ de l'évènement $O$ sachant $\overline{S}$. 
		\item La probabilité $p_{S}\left(\overline{O}\right)$ de l'évènement $\overline{O}$ sachant $S$.
	\end{enumerate} 
\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation décrite dans l'énoncé. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que le client interrogé soit âgé de plus de soixante ans et qu'il ait choisi un séjour en circuit organisé ? 
		\item Démontrer que $p(O) = 0,525$.
	\end{enumerate} 
\item On apprend, par la suite, que le client interrogé a choisi un séjour en circuit organisé.

Quelle est la probabilité qu'il soit âgé de plus de soixante ans ? On donnera le résultat arrondi au millième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Un étudiant s'intéresse aux conséquences socioculturelles de l'équipement des ménages en téléviseurs au cours des années 1960, et parmi elles, à l'évolution du nombre d'entrées dans les cinémas en France au cours de cette période. 

Le tableau ci-dessous présente les données de 1960 à 1969.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &1960 &1961 &1962 &1963 &1964 &1965 &1966 &1967 &1968 &1969\\ \hline
Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline 
Nombre d'entrées dans les cinémas $\left(y_{i}\right)$ (en millions)&354,7&328,4&311,7&292,1&275,8& 
259,4& 234,7 &211,5 &203,2 &183,9\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\emph{(Sources : CNC et FNCF)}}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$. Arrondir $a$ et $b$ à $0,1$. 
\item À l'aide de l'équation de la droite $(D)$, donner une estimation du nombre d'entrées en 1971 arrondi à $0,1$~million.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le pourcentage d'évolution du nombre d'entrées dans les cinémas en France entre 1960 et 1969. On donnera un résultat arrondi à $0,01$\,\%. 
		\item Montrer que le taux annuel moyen d'évolution du nombre d'entrées sur cette même période est environ $- 7,04$\,\%.
	\end{enumerate} 
\item L'étudiant construit le modèle suivant : on suppose que le nombre annuel d'entrées dans les cinémas conserve le taux moyen d'évolution calculé à la question précédente. 

À combien peut-on estimer le nombre d'entrées en 1971, arrondi à 0,1~million ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Les mêmes sources ont relevé en 1971 un nombre d'entrées dans les cinémas en France égal à 177~millions. Entre le modèle de la partie A et celui de la partie B, lequel donne la meilleure estimation pour 1971 ?
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Une petite entreprise fabrique des ours et des lapins en peluche. Elle dispose de 16~m de tissu et de 36~boutons (pour les yeux) par jour.
 
La fabrication d'un ours en peluche nécessite 60~cm de tissu et 2~boutons. Celle d'un lapin nécessite 100~cm de tissu et 2~boutons.
 
On considère que le coût du fil (nécessaire pour assembler les éléments, ainsi que pour broder les nez) est négligeable, si bien que l'entreprise en dispose à volonté.
 
On note $x$ le nombre d'ours et $y$ le nombre de lapins en peluche fabriqués par jour.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que les contraintes auxquelles sont soumises les productions journalières de l'entreprise se traduisent par le système $(S)$ suivant: 

\[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x&\geqslant &0\\ 
y&\geqslant &0\\
3x + 5y &\leqslant& 80\\ 
x + y &\leqslant& 18 
\end{array}\right.\]

\item Sur la figure donnée en annexe, on a tracé, dans un repère, les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item À quelle contrainte est associée la droite $\left(d_{1}\right)$ ? 
		\item À quelle contrainte est associée la droite $\left(d_{2}\right)$ ? 
		\item Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient le système ci-dessus.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'entreprise peut-elle produire 8 ours et 11 lapins en peluche par jour ? 
		\item L'entreprise peut-elle produire 5 ours et 13 lapins en peluche par jour ? 
		\item L'entreprise peut-elle produire 4 ours et 13 lapins en peluche par jour ?
	\end{enumerate} 
\item L'entreprise réalise un bénéfice de 6~euros sur un ours en peluche, et un bénéfice de 8~euros sur un lapin en peluche.
 
On suppose que l'entreprise vend toute sa production. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice journalier qu'elle réalise. 
		\item Donner une équation de la droite qui correspond à un bénéfice de 120~euros. Tracer, dans le repère en annexe, cette droite et donner un couple solution du système $(S)$ correspondant à un bénéfice de 120~euros. 
		\item Déterminer graphiquement le nombre d'ours et de lapins en peluches à fabriquer par jour pour assurer un bénéfice maximal. 
		\item Quel est, alors, ce bénéfice maximal en euros ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{À rendre avec la copie} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 4 }

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.36cm,yunit=0.36cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(32,21)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(32,21)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(32,21)
\psline[linewidth=1.5pt](0,16)(26.6667,0)
\psline[linewidth=1.5pt](0,18)(18,0)
\uput[u](26,1){$\left(d_{1}\right)$}
\uput[u](2,16.5){$\left(d_{2}\right)$}
\uput[d](32,0){$x$}\uput[l](0,21){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}