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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrig\'e : J. C. Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STG Mercatique}  
\lfoot{\small{Polynésie}\hspace{3mm} correction}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalauréat STG Mercatique  Polynésie \decofourright\\13 septembre 2012\hspace{3mm} Correction}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée
 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers :

\medskip
{\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 
Nombre de bénéficiaires en milliers&\np{3258,7}&& \np{3425,4} &\np{3513,1} &\np{3494,2} &\np{3334,6} &\np{3297,5} &\np{3502,7}\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{Source : Insee}}\\
\end{tabularx}
}
\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Entre 2002 et 2003, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux a augmenté de 1,69\,\%. 

 Le coefficient multiplicateur est alors de \np{1.0169}.

 Calculons le nombre de bénéficiaires : $\np{3258,7}\times \np{1,0169}= \np{3313,772}$.
 
Le nombre de bénéficiaires de minima sociaux en 2003  est \np{3313,8} à $0,1$ millier près. 
\item On affecte l'indice 100 à l'année 2007. Le nombre de bénéficiaires est passé de \np{3334,6} en 2007 à \np{3297,5} en 2008. L'indice de 2008 par rapport à 2007 est $\dfrac{\np{3297,5}}{\np{3334.6}}\times 100 = \np{98,89}$.

L'indice de 2009 par rapport à 2007 est $\dfrac{\np{3502,7}}{\np{3334,6}}\times 100=\np{105,04}$.
\item Le taux d'évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2007 et 2009, exprimé en pourcentage est $\dfrac{\np{98,89}-100}{100}=-\np{1.11}~\%$. 

 Entre 2007 et 2008, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux a baissé de \np{1,11}~\%.

 Le taux d'évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2007 et 2009, exprimé en pourcentage est $\dfrac{\np{105,04}-100}{100}=\np{5,04}~\%$. 

 Entre 2007 et 2009, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux a augmenté  de  \np{5,04}~\%.
\item Calculons le taux d'évolution annuel moyen du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2002 et 2009 (arrondi à $0,01$\,\%). 
Appelons $T$ le taux global et $t_m$ le taux moyen annuel.

 $ T=\dfrac{{\scriptstyle \text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}}{{\scriptstyle \text{valeur initiale}}}\qquad T=\dfrac{\np{3502,7}-\np{3258,7}}{\np{3258,7}}  \approx \np{0,074876}$.
 
 Le coefficient multiplicateur global est $1+T$ d'une part  et $(1+t_m)^7$ car le nombre de bénéficiaires a subi 7 évolutions d'où $t_m=(1+T)^{\tfrac{1}{7}}-1,\qquad t_m= (\np{1.074876})^{\tfrac{1}{7}} - 1\approx \np{0,0104}$

Le taux d'évolution annuel moyen du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2002 et 2009  est d'environ \np{1,04}~\%
\item Le gouvernement souhaite qu'en 2015, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux ne dépasse pas \np{3800000}. Si l'évolution moyenne est de $1,04$\,\% par an après 2009, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux en 2015 aura été multiplié par $1,0104^6 \times \np{3502,7}\times \np{1.0104}^6 \approx \np{3727,04}$. Cet objectif est réalisable  puisque le nombre prévu est inférieur au maximum prévu par le gouvernement.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Une année scolaire donnée, on compte \np{321457} étudiants dans l'enseignement supérieur en classe préparatoire aux grandes écoles (CPGE) ou en section de techniciens supérieurs (STS).
 
Parmi l'ensemble de ces étudiants, on compte \np{164659} garçons.
 
27\,\% des garçons sont en CPGE.
 
78\,\% des filles sont en STS.
 
(\emph{Sources: ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, DGESIP, DGRI. Année 2009-2010}) 

\medskip

On choisit un de ces étudiants et on suppose que chaque étudiant a la même probabilité d'être choisi. On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og l'étudiant choisi est en CPGE \fg, 
\item[$\bullet~~$] $G$ : \og l'étudiant choisi est un garçon \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note respectivement $\overline{A}$ et $\overline{G}$ les évènements contraires des évènements $A$ et $G$.
 
\begin{center}\emph{Les probabilités demandées seront arrondies au centième}\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Montrons que la probabilité de l'évènement $G$, notée $P(G)$, arrondie au centième, est de $0,51$. L'univers est l'ensemble des étudiants une année donnée. La loi mise sur cet univers est la loi équirépartie.
 La probabilité d'un évènement A est $p(\text{A})=\dfrac{ \text{{\footnotesize nombre d'éléments de A}}}{ \text{{\footnotesize nombre d'éléments de l'univers}}}$
 
Calculons $p(G)$ ; il y a \np{164659} garçons parmi les \np{321457} étudiants dans l'enseignement supérieur en classe préparatoire aux grandes écoles (CPGE) ou en section de techniciens supérieurs (STS).

  donc $p(\text{G})=\dfrac{\np{164659}}{\np{321457}}\approx \np{0.51222}$. La probabilité de l'évènement $G$ arrondie au centième est \np{0.51}.
\item La probabilité $P_{G}(A)$, probabilité de l'évènement $A$ sachant $G$ est \np{0.27} car 27\,\% des garçons sont en CPGE. 
\item La probabilité $P_{\overline{G}}(\overline{A})$, probabilité que l'élève choisi étudie en section de techniciens supérieurs sachant que c'est une fille est \np{0.78} car 78\,\% des filles sont en STS. 
\item Complétons l'arbre de probabilité correspondant à la situation: 

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot*~[tnpos=a]{$G$}\taput{\np{0.51}}}
		{
		\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{\np{0.27}}
		\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{\np{0.73}}
 		}
	\pstree{\Tdot*~[tnpos=b]{$\overline{G}$}\tbput{\np{0.49}}}
		{
		\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{\np{0.22}}
 		\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{\np{0.78}}
 		}
}
\end{center}

\item Déterminons les probabilités $P (G \cap A)$ et $P\left(\overline{G} \cap A\right)$. 

$P (G \cap A)=p(G) \times P_{G}(A)=\np{0.51}\times \np{0.27}=\np{0.1377}$.

 La probabilité que l'élève choisi soit un garçon en CPGE est au centième près \np{0.14}.

$P\left(\overline{G} \cap A\right)=p(\overline{G}) \times P_{\overline{G}}(A)=\np{0.49}\times \np{0.22}=\np{0.1078}$.

 La probabilité que l'élève choisi soit une fille en CPGE est au centième près \np{0.11}.

\item 

Calculons $p(A)$.

$p(A)=P (G \cap A)+ P\left(\overline{G} \cap A\right)=\np{0,14}+\np{0,11}=\np{0,25}$.

La probabilité de l'évènement $A$, arrondie au centième, est égale à $0,25$.
 
Calculons la probabilité que l'élève choisi soit un garçon sachant qu'il est en CPGE. 

$P_{A}(G) = \dfrac{P (G \cap A)}{P(A)}=\dfrac{\np{0.14}}{\np{0.25}}=\np{0.56}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
 
Le premier janvier 2010, Monsieur X débute sa carrière professionnelle. Il est rémunéré \np{24000}~\euro{} la première année. Il estime pouvoir compter ensuite sur une augmentation régulière de son salaire annuel de 2\,\% chaque premier janvier.
 
On note $U_{n}$ le salaire annuel (arrondi au centime d'euro) de Monsieur X  l'année $(2010 + n)$ où $n$ est un entier naturel. On a donc $U_{0} = \np{24000}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  À un taux d'évolution de 2~\% correspond un coefficient multiplicateur de  \np{1.02}. $U_{1} = \np{24000}\times \np{1.02} = \np{24480}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $U_{n+1} = \np{1,02}U_{n}$. 
		\item La suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1,02} et de premier terme \np{24000} car on passe d'un terme au suivant en le multipliant par le même nombre. 
		\item Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme  $u_0$ et de raison q est  $u_n=u_0q^n$.

 $U_{n}=\np{24000}(\np{1,02})^n$.
	\end{enumerate} 
\item Calculons le salaire annuel de Monsieur X en 2015.  En 2015, $n=5,\quad U_5=\np{24000}\times \np{1,02}^5 \approx \np{26497,94}$. 

Le salaire annuel de Monsieur X est de \np{26497.94}~\euro.
\item Le premier janvier 2011, Monsieur X ouvre un compte d'épargne rémunéré 2,5\,\% par an à intérêts composés.

 Il verse alors \np{4000}~\euro{} sur ce compte. 
Par la suite, il versera à nouveau \np{4000}~\euro{} chaque premier janvier.
 
On note $V_{n}$ le montant disponible sur le compte épargne de Monsieur X le 1\up{er} janvier de l'année $(2011 + n)$. Ainsi $V_{0} = \np{4000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item À un taux d'évolution de \np{2.5}~\% correspond un coefficient multiplicateur de  \np{1.025}. $V_{1}=\np{4000}\times \np{1,025}=\np{4100}$. 
		\item  Pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = 1,025 \times  V_{n} + \np{4000}$. En effet $\np{1,025}\times V_n$  est le capital acquis l'année $n+1$ et à cela s'ajoute  le versement  à chaque premier  janvier  de \np{4000}~\euro{}.
		\item Dans une feuille de calcul reproduite ci-dessous, on veut calculer les montants du livret d'épargne de Monsieur X jusqu'en 2020. 
		
\medskip

{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K\\ \hline 
1& Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020\\ \hline 
2 &Montant& \np{4000}&\scriptsize\textcolor{red}{\np{8100}}&\scriptsize\textcolor{red}{\np{12302,50}}&\scriptsize\textcolor{red}{\np{16610,06}}&\scriptsize\textcolor{red}{\np{21025,31}}&\scriptsize\textcolor{red}{\np{25550,95}}&\scriptsize\textcolor{red}{\np{30189,72}}&\scriptsize\textcolor{red}{\np{34944,46}}&\scriptsize\textcolor{red}{\np{39818,08}}&\scriptsize\textcolor{red}{\np{44813,53}} \\ \hline
\end{tabularx}}
\medskip

\'Ecrivons  une formule qui, entrée en cellule C2, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu des cellules de la plage C2~:~ K2. Nous pouvons écrire 

\fbox{=B2*1,025+4000} ou \fbox{=B\$2*1,025+4000} ou \fbox{=B2*1,025+\$B\$2} ou \fbox{=B\$2*1,025+\$B\$2}
	\end{enumerate} 
\item En supposant que l'augmentation annuelle du salaire reste fixée à 2\,\%, déterminons en quelle année, l'épargne de Monsieur X dépassera son salaire annuel. Pour ce faire,  calculons le salaire et le montant de l'épargne de Monsieur X. Nous constatons  qu'en 2017 son salaire sera de \np{27568.46}~\euro{} et son épargne de \np{30189.72}~\euro{}. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
 
On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne le tableau suivant représentant une série statistique double :

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.35}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_{i}$&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$y_{i}$&22	&25	&31	& 35&38	& 41\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
Une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est :

\emph{Les coefficients ont été arrondis à l'unité}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
\textbf{a.~~} \ovalbox{$y = 4x + 18$}& \textbf{b.~~} \cancel{$y=2x+26$}& 	\textbf{c.~~} \cancel{$y = x+1$}& 	\textbf{d.~~} \cancel{$y = - 4x + 18$}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x^2\ln (x).\]

On admet qu'elle est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée. Alors pour tout réel $x > 0$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
\textbf{a.~~} \footnotesize \cancel{$f^{\prime}(x) = 2$}& \textbf{b.~~}\ovalbox{\footnotesize $f^{\prime}(x) = x (2\ln (x) + 1)$}& 	\textbf{c.~~}\cancel{\footnotesize $f^{\prime}(x) = 2x \ln (x) + 1$}& \textbf{d.~~}\cancel{\footnotesize $f^{\prime}(x) = 2x \ln (x) $}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{2x}$. On admet qu'elle est dérivable sur $\R$ et on note $g^{\prime}$ sa fonction dérivée. On note $C$ la courbe représentative de $g$ dans le plan rapporté à un repère. 

Alors le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$ est :

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
\textbf{a.~~} \cancel{$2$}& \textbf{b.~~} \cancel {$\text{e}^2$}& 	\textbf{c.~~} \ovalbox{$2\text{e}^2$}& 	\textbf{d.~~} \cancel{$2\text{e}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip   

\item On donne la courbe représentative d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~2]$ 

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2)(2.5,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptscriptstyle](0,0)(-2.5,-2)(2.5,7)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 1 sub x 2 sub mul x 2 add mul}
\end{pspicture*}
\end{center}

Alors la courbe représentative de la fonction dérivée est :

\begin{tabular}{*{4}{c}}
\textbf{a.}&\textbf{b.}&\textbf{c.}&\ovalbox{\textbf{d.}}\\
\cancel{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-6)(2.5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-6)(2.5,3)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 2  add x dup mul 1.5 mul sub}
\end{pspicture*}}&\cancel{\psset{xunit=0.6cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3.5)(2.5,1.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-3.5)(2.5,1.5)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 1 sub x 2 sub mul  x 2 add mul 0.5 neg mul}\end{pspicture*}}&\cancel{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2)(2.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-2)(2.5,8)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 1 sub x 2 sub mul x 2 add mul}\end{pspicture*}}&\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3)(2.5,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-3)(2.5,6.5)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x  dup mul 1.5 mul x sub 2 sub}\end{pspicture*}\\
\end{tabular}
\end{enumerate} 
\end{document}