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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Correction : Jean-Claude Souque
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{correction\hspace{0.5cm} Pondichéry}}
\rfoot{\small{17 avril 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalauréat STG Mercatique  Pondichéry \decofourright\\ 17 avril 2012\hspace{1cm} correction}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}


\medskip
 
En avril 2011, on estime que la proportion de courrier indésirable, ou spams, sur la boite de messagerie électronique d'un particulier est de 76\,\%. Le logiciel StopoSpam supprime 95\,\% des messages indésirables mais aussi 3\,\% des messages acceptés (c'est-à-dire \og non indésirables \fg).
 
On pourra s'aider d'un arbre de probabilité pour répondre aux questions suivantes.
On note : 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $I$ l'événement : \og Le courrier est indésirable \fg 
\item[$\bullet~~$] $S$ l'événement: \og Le courrier a été supprimé \fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip


\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$I$}\taput{\small{$0,76$}}}
	  { 
		  \TR{$S$}\taput{\small{$0,95$}}
		  \TR{$\overline{S}$}\tbput{\small{$0,05$}}   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{I}$}\tbput{\small{$0,24$}}}
	  {
		  \TR{$S$}\taput{\small{$0,03$}}
		  \TR{$\overline{S}$}\tbput{\small{$0,97$}}  
	  }
	
}
\end{center}







\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité qu'un message pris au hasard soit accepté est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \cancel{0,76}& 	\textbf{b.~~} \cancel{0,95}& 	\textbf{c.~~}\cancel{ 0,03}& 	\textbf{d.~~} \ovalbox{0,24}\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité qu'un message pris au hasard soit accepté et supprimé est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} \cancel{0,03}&\textbf{b.~~}\ovalbox {0,0072}&\textbf{c.~~}\cancel{ 0,2328}&\textbf{d.~~} \cancel{0,1824}\\
\end{tabularx}
$P(\overline{I}\cap S)=\np{0.24}\times \np{0.03}=\np{0.0072}$.

\medskip 

\item La probabilité qu'un message pris au hasard soit supprimé est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~}\ovalbox{  0,7292}& 	\textbf{b.~~} \cancel{ 0,19}&\textbf{c.~~} \cancel{0,98}&\textbf{d.~~}\cancel{ 0,722} \\ 
\end{tabularx}
$P(S)=P(I\cap S)+P(\overline{I}\cap S)=\np{0.76}\times \np{0.95}+\np{0.24}\times\np{0.03}=\np{0.722}+\np{0.0072}=\np{0.7292}$.

\medskip 

\item La probabilité qu'un message pris au hasard soit indésirable sachant qu'il est supprimé est, à 0,01 près, égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~}\cancel{0,95}& 	\textbf{b.~~}\cancel{0,722}& 	\textbf{c.~~}\ovalbox{0,99}& 	\textbf{d.~~}\cancel{0,19}\\
\end{tabularx}
$P_S(I)=\dfrac{P(I\cap S)}{P(S)}=\dfrac{\np{0.76}\times \np{0.95}}{\np{0.7292}}\approx \np{0.99}$.

\medskip  

\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos courtes sur Internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction du nombre d'internautes connectés simultanément.
 
Le tableau ci-dessous représente les mesures constatées :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{5.35cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'internautes connectés $x_{i}$ (en milliers)&0,5 &1 &2,5 &3 &4 &5&6\\ \hline  
Durée de chargement de la vidéo $y_{i}$ (en secondes)&0,3 &0,4 &0,6 &0,9 &1,3 &2 &2,8\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
   
On cherche à estimer la durée de chargement lorsque le nombre de personnes connectées sera encore plus élevé.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Modèle affine}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal est construit en annexe.
%   On prendra comme unités : en abscisses 2~cm pour \np{1000} internautes connectés et en ordonnées 1~cm pour 0,2~seconde. 
\item Calculons les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. 
 Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[\overline{x}_G=\frac{\np{0.5}+1+\dots+5+6}{7}\approx \np{3.1} \quad \overline{y}_G=\frac{\np{0.3}+\np{0.4}+\dots +2+\np{2.8}}{7}\approx \np{1.2}\]
G $\left( \np{3.1}~;~\np{1.2} \right)$ est placé  sur le graphique précédent. 
\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement $\mathcal{D}$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{0.438}x-\np{0.190}$. %On arrondira les coefficients au millième. 
\item Pour la suite, on prendra pour équation de la droite $\mathcal{D}$ : $y = 0, 44x - 0,19$. 
	\begin{enumerate}
		\item La droite $\mathcal{D}$ est tracée dans le repère précédent. 
		\item Avec ce modèle, estimons  le temps de réponse pour \np{8000} personnes connectées. nous avons $x=8$ en remplaçant $x$ par 8 dans l'équation de la droite, nous obtenons $y=\np{0.44}\times 8-\np{0.19}\approx \np{3.33}$
	\end{enumerate}
\item Une vidéo particulièrement demandée a attiré \np{8000}~personnes simultanément et on a constaté que le temps de chargement était de 6,2~secondes. Ce résultat conduit à rejeter le modèle affine  car la durée constatée est presque le double de celle prévue par le modèle.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Modèle exponentiel}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~10] par 

\[f(x) = 0,25 \times  \text{e}^{0,4x}.\]

On admet que  la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0,5~;~10] et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f^{\prime}(x)=\np{0.25}\left(\np{0.4}\times \text{e}^{\np{0.4}x}\right)=\np{0.1} \times \text{e}^{\np{0.4}x}$. 
		\item \'Etudions le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~10].  Pour tout $x \in\R \quad \np{0.1}>0\ \text{ et }\  \text{e}^{\np{0.4}x}>0$.

Par conséquent $f^\prime(x)>0$ pour tout $x\in[\np{0.5}~;~10]$
		\item Déterminons le sens de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle. La fonction $f$ est croissante sur [\np{0.5}~;~10] car $f^\prime(x)>0$ en vertu du théorème suivant : Si pour tout $x\in I,\:f'(x)\geqslant 0$ alors $f$ est croissante sur $I$.
	\end{enumerate} 
\item  $f(8)=\np{0.25}\times \text{e}^{\np{0.4}\times 8}\approx \np{6.13}$ et une esquisse de l'allure de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère de la partie A est donnée sur l'annexe. Le modèle  exponentiel  semble le mieux adapté  car l'estimation est proche de la durée constatée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
 
Les dépenses annuelles de fonctionnement de deux services d'une entreprise, nommés ici A et B, ont été étudiées sur une assez longue période, ce qui a conduit à la modélisation suivante.

\medskip
 
Les dépenses du service A augmentent de \np{4000}~\euro{} chaque année, tandis que celles du service B augmentent de 15\,\% chaque année.
 
Cette année (qui sera prise dans la suite comme année 1), les deux services ont effectué des dépenses identiques : \np{20000}~\euro.
 
On note $a_{n}$ le total des dépenses du service A et $b_{n}$ le total des dépenses du service B la $n$-ième année. On s'intéresse aussi au cumul de ces dépenses sur plusieurs années. Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, donne les résultats pour les premières années. Le tableau est complété en bleu.

\medskip
\begin{center}
{\scriptsize{
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&P&Q&R&S&T\\ \hline
1	&Numéro de l'année : $n$&Dépenses du service A : $a_{n}$& Cumul des dépenses  du service A &Dépenses du service B : $b_{n}$&Cumul des dépenses du service B\\ \hline
2	&1&  \np{20000} &\np{20000} &\np{20000} 	&\np{20000}\\ \hline 
3	&2& \np{24000}	&\np{44000} &\np{23000} 	&\np{43000} \\ \hline 
4	&3& \np{28000} 	&\np{72000} &\np{26450} 	&\np{69450}\\ \hline 
5 	&4&\np{32000}	&\textcolor{blue}{\np{104000}}&\np{30417.50}	& \np{99867.50}\\ \hline 
6 	&5&	\textcolor{blue}{\np{36000}}	&\textcolor{blue}{\np{140000}}& \textcolor{blue}{\np{34980.13}}&\textcolor{blue}{ \np{134847.63}}\\ \hline
7	&6&	\textcolor{blue}{\np{40000}}	&\textcolor{blue}{\np{180000}}&\textcolor{blue}{\np{40227.14}}&\textcolor{blue}{\np{	175074.77}}\\ \hline 
8	&7&\textcolor{blue}{\np{44000}}   &\textcolor{blue}{\np{224000}}&\textcolor{blue}{\np{46261.22}}& \textcolor{blue}{\np{221335.98}}  \\ \hline
9	&8&	\textcolor{blue}{\np{48000}}	&\textcolor{blue}{\np{272000}} &\textcolor{blue}{\np{53200.40}}&\textcolor{blue}{ \np{ 274536.38}}  \\ \hline
10	&9&\textcolor{blue}{	\np{52000}}	&\textcolor{blue}{\np{324000}}&\textcolor{blue}{\np{61180.46}}& \textcolor{blue}{\np{ 335716.84}}  \\ \hline
11	&10&\textcolor{blue}{\np{56000}}	&\textcolor{blue}{\np{380000}}&\textcolor{blue}{\np{70357.53}}&\textcolor{blue}{\np{ 406074.36}}  \\ \hline
\end{tabularx}
}}
\end{center}
\medskip

\textbf{Partie A : Étude des dépenses du service A }

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  La suite $\left(a_{n}\right)$ des dépenses annuelles du service A est une suite arithmétique car les dépenses augmentent d'une somme constante chaque année.  Sa raison est \np{4000} et son premier terme \np{20000}. 
		\item Exprimons $a_{n}$ en fonction de $n$.  Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_1$ et de raison $r$ est $u_n=u_1+(n-1)r$. Par conséquent $a_n=\np{20000}+(n-1)\times \np{4000}$.
		\item Calculons $a_{10}$. $a_{10}=\np{20000}+9\times\np{4000}=\np{56000}$.
	\end{enumerate}
\item Une formule qui, entrée dans la cellule R3, permet par recopie vers le bas de calculer le cumul des dépenses du service A est =R2+Q3. (On peut mettre \$ devant les lettres.)
\item Calculons la somme $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{9} + a_{10}$.

 La somme des termes d'une suite arihmétique est  $S_n=\text{nombre de termes }\times  \text{la demi-somme des termes extrèmes}$ 
 
$S_{10}=\dfrac{10 \times (a_1+a_{10})}{2}=\dfrac{10 \times (\np{20000}+\np{56000})}{2}=\np{380000}$.

 Cette somme représente  le montant des dépenses cumulées du service A.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Étude des dépenses du service B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La formule entrée dans la cellule S3 qui permet par recopie vers le bas de calculer les dépenses annuelles du service B est  =S2*\np{1.15}. (On peut ausi écrire, =\$S2*\np{1.15}) 
	\begin{enumerate}
		\item Si une grandeur subit une évolution au taux $t$, le coefficient multiplicateur asocié est $(1+t)$. Nous avons donc ici un coeficient multiplicateur égal à \np{1.15}. Passant d'un terme au suivant en le multipliant par un même nombre, la suite $\left(b_{n}\right)$ des dépenses du service B  est une suite géométrique de raison $\np{1.15}$ et de premier terme \np{20000}. 
		\item Le terme général $u_n$ d'une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_1$ est $u_n=u_1q^{n-1}$. $b_n=(\np{2000}(1.15)^{n-1}$.
	\end{enumerate} 
\item Les dépenses annuelles prévisibles pour le service B lors de la dixième année s'élèvent à $b_{10}$. 

$b_{10}=\np{20000} \times (\np{1.15})^9\approx \np{70400}$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C : Comparaison des deux services }

\medskip

 Pour déterminer lequel des deux services aura le plus dépensé en 10 ans pour son fonctionnement, calculons d'abord $b_1+b_2+\dots +b_9+b_{10}$.
 
 La somme $S_n$ des $n$ premiers termes d'une suite géométrique  est $u_1\dfrac{q^n-1}{q-1}$. Appliquons $S_{10}=\np{20000}\dfrac{\np{1.15}^{10}-1}{\np{1.15}-1}\approx \np{406074}$.
 
 Par conséquent, le service B aura dépensé davantage en dix ans pour son fonctionnement.(\np{406074}>\np{380000}).
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
 
Un menuisier installe des portes et des fenêtres. Il se fournit chaque mois auprès d'un fabriquant, qui lui propose deux sortes de lots pour ses travaux standards : le lot A est composé de 5 portes et 5 fenêtres, le lot B est composé de 4 portes et 2 fenêtres.
 
Le menuisier ayant une place limitée, il ne peut pas stocker plus de 120~portes et de 90~fenêtres. 

On note $x$ le nombre de lots A et $y$ le nombre de lots B qu'il achète un mois donné à son fournisseur. 

\medskip 
 
  
\begin{enumerate}
\item Nous pouvons traduire les données du problème sous forme d'un tableau. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Lot A $~\ ~x$ &Lot B  $~\ ~y$& minimum $~\ ~\leqslant$\\
\hline
portes&5&4&120\\
\hline
fenêtres&5&2&90\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

 puis traduire ces données sous forme d'inéquations. 
 \begin{itemize}
 \item [$\bullet$] contrainte liée aux nombres $x\in \N$, $y\in\N$
\item [$\bullet$] contrainte liée aux portes : $5x+4y\leqslant 120$
\item [$\bullet$]contrainte liée aux fenêtres : $5x+2y\leqslant 90$
\end{itemize}
 Nous obtenons donc  le système suivant :$ \begin{cases}
 x\geqslant 0\\
y\geqslant 0\\
5x+4y \leqslant 120\\
5x+2y \leqslant 90
\end{cases}$

\item Montrons que ce système est équivalent au système suivant, dans lequel $x$ et $y$ désignent des 
inconnues entières : 
$5x+4y \leqslant 120 \iff 4y \leqslant 120-5x \iff y \leqslant 30-\dfrac{5}{4}x$.

$5x+2y\leqslant 90 \iff 2y \leqslant 90-5x \iff y \leqslant45 -\dfrac{5}{2}x$.

Nous obtenons bien le système (S).
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[(S)\qquad \begin{cases}
x\geqslant 0\\
y\geqslant 0\\ 
y\leqslant 30 - \dfrac{5}{4}x \\
y\leqslant 45 - \dfrac{5}{2}x
\end{cases}\] 


\renewcommand\arraystretch{1}

Dans le repère orthogonal fourni en annexe, on a tracé les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ d'équations respectives $y = -\dfrac{5}{4}x + 30$ et $y = - \dfrac{5}{2}x + 45$. 

L'ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient l'inéquation $y\leqslant ax+b$ est le demi-plan situé au dessous de la droite d'équation $y=ax+b$, celle-ci incluse.

\begin{itemize}
\item[] $x\geqslant 0$ et $y\geqslant 0$  définissent le premier quadrant.
\item[] L'ensemble des solutions de l'inéquation $y\leqslant 30- \dfrac{5}{4}x $ est le demi-plan situé au dessous de la droite $\left(d_{1}\right)$. La partie ne convenant pas est hachurée en cyan sur l'annexe.
\item[] L'ensemble des solutions de l'inéquation $y\leqslant 45-\dfrac{5}{2}x $ est le demi-plan situé au dessous de la droite $\left(d_{2}\right)$. La partie ne convenant pas est hachurée en vert.
\end{itemize}

L'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$  vérifient le système $(S)$ est l'ensemble des points à coordonnées entières situés dans la partie du plan non hachurée sur le dessin ainsi qu'au premier quadrant, les segments de droites étant inclus.
\item À l'aide du graphique, déterminons le nombre maximum de lots B que le menuisier peut acheter s'il achète 10~lots~A. Traçons la droite d'équation $x=10$ et lisons l'ordonnée entière la plus grande  du point faisant encore partie du polygone des contraintes. Nous avons le point marqué par un carré. Il pourra acheter au maximum 17 lots B. 
\item Le bénéfice effectué sur un lot A est de 400~euros et sur un lot B de 200~euros. On suppose que le menuisier installe la totalité de son stock pendant le mois en cours. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimons, en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice mensuel $G$ qu'il peut réaliser. $G=400x+200y$. 
		\item Les couples $(x~;~y)$ qui permettent de réaliser un bénéfice de \np{5000}~\euro{} sont les couples, à coordonnées entières, appartenant à la droite  d'équation $400x+200y=\np{5000}$ ou $y=-2x+25$ tracée en gris dans le repère. 
		\item Déterminons  le couple $(x~;~y)$  de lots A et de lots B à acquérir et installer pour que le bénéfice mensuel soit le plus grand possible.  Le bénéfice sera maximal lorsque les contraintes seront saturées. Le point 
de coordonnées $(12~;~15)$ appartient à $\left(d_{1}\right)$ et à $\left(d_{2}\right)$.  En ce point les deux contraintes sont saturées. Il doit acquérir et installer 12 lots A et 15 lots B pour que son bénéfice soit maximal.

 $400 \times 12 +200 \times 15=\np{4800}+\np{3000}=\np{7800}$. Le bénéfice  maximal est  de \np{7800} \euro{}.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}


\textbf{ANNEXE}

\textbf{À rendre avec la copie}
\end{center}
\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 2}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.01)(0,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=0.2]{->}(0,0)(-0.05,-0.08)(8.75,3.46)
\uput[dl](0,0){$0$}
\uput[d](3.1,1.15){G}
\multido{\n=0+0.5}{18}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3.4)}
\multido{\n=0+0.2}{18}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(8.5,\n)}
\psdots [dotstyle= square*,dotscale=0.75](0.5,0.3)(1,0.4)(2.5,0.6)(3,0.9)(4,1.3)(5,2)(6,2.8)
\psdots[dotstyle=BoldAdd,dotscale=2.5](3.142857,1.185714)
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{0.438 x mul 0.190 sub}
\uput[d](8.6,0){$x$}\uput[l](0,3.39){$y$}
\uput[d](5.2,-0.12){nombre d'internautes connectés (en milliers)}
\uput[d]{90}(-0.65,2.15){Durée de chargement de la vidéo, (en secondes)}

\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{6.53}{ 0.25 2.71828 0.4 x mul exp mul}

\end{pspicture} 

\newpage

\textbf{EXERCICE 4 }

\begin{center}
\psset{unit=0.275cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(40,57)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3,-3)(40,57)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(40,57)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,33.75)(26.4,-3)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,52.5)(19.6,-4)
\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=green,hatchwidth=0.2pt](0.1,45)(0,57)(40,57)(40,0)(18.1,0)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchcolor=cyan,hatchwidth=0.01pt](0,30)(0,57)(40,57)(40,0)(24,0)
\uput[r](23,3){$\left(d_{1}\right)$}\uput[r](3,40){$\left(d_{2}\right)$}
\uput[d](40,0){$x$}\uput[l](0,57){$y$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,linecolor=red](0,15)(12,15)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,linecolor=red](12,0)(12,15)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,linecolor=green](0,17)(10,17)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,linecolor=green](10,0)(10,17)
\psdot[dotstyle=SolidSquare](10,17)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed,linecolor=gray](-3,31)(13,-1)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed,linecolor=gray](-3,45)(20,-1)
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