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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{12 avril 2007}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry~\decofourright\\ 12 avril 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire a choix multiples (QCM).}

\emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est exacte.}
 
\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n 'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}
 
Vous reporterez sur votre copie la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre $- 3$ est solution de l'équation

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\bullet~~\ln x =  - \ln 3$ ;&	$\bullet~~ \ln \left(\text{e}^x\right) = -3$ 	;&	$\bullet~~\text{e}^{\ln x} = 	-3$\\
\end{tabularx}
\item  Soit $f$ la fonction dérivable sur $\R$ définie par : $f(x) = (2x + 3)\text{e}^{-x}$.\\
Sa fonction dérivée $f'$ est donnée par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\bullet~~ f'(x)= 2\text{e}^{-x}$ ;&	$\bullet~~ f'(x) = (-2x-3)\text{e}^{-x}$ ;& $\bullet~~	f'(x)=(-2x-1)\text{e}^{-x}$\\
\end{tabularx}

\medskip
\item 	La population d'une commune est passée de \np{3000} à \np{6000} habitants en 20 ans. Le taux d'évolution annuel moyen (à 0,01\:\% près) a été de :
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
$\bullet~~$ 5\:\%; &	$\bullet~~$  3,72\:\% ;&$\bullet~~$ 3,53\:\%.\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
Dans un club de vacances, deux activités A et B sont proposées aux enfants entre 8 et 10 ans. Les enfants peuvent cumuler les deux activités, choisir une seule de ces deux activités, ou encore ne pratiquer aucune de ces deux activités. On choisit au hasard le nom d'un enfant de cet âge. Tous les enfants ont la même probabilité d'être choisis.

On notera $\mathcal{A}$ l'évènement :  \og l'enfant pratique l'activité A \fg{} et $\overline{\mathcal{A}}$ l'évènement contraire de $\mathcal{A}$, 
$\mathcal{B}$ l'évènement :  \og l'enfant pratique l'activité B \fg{}  et $\overline{\mathcal{B}}$ l'évènement contraire de $\mathcal{B}$.

La situation est représentée à l'aide d'un arbre pondéré donné en annexe I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre et le tableau fournis en annexe 1.
\item Par lecture de l'arbre, donner les probabilités conditionnelles $p_{\mathcal{A}}(\mathcal{B})$ et $p_{\overline{\mathcal{A}}} (\mathcal{B})$.
\item Démontrer que $p(\mathcal{B}) =  0,22$.
\item On définit les évènements $E$ et $F$ de la façon suivante :

$E$ : \og l'enfant choisi ne pratique aucune des deux activités \fg{} ;

$F$ : \og l'enfant choisi pratique au moins l'une des activités \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $E$ en fonction de $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ puis, en s'appuyant sur les résultats contenus dans le tableau du 1, déterminer $p(E)$.
		\item  Calculer $p(F)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip
 
On se propose dans cet exercice, d'étudier l'évolution de la consommation d'eau minérale  des Français depuis 1970.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
La feuille de calcul suivante, extraite d'un tableur, donne la consommation moyenne d'eau minérale en en litres par Français sur une année

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&A 		&B		&C \\ \hline
1		& Année	&consommation (en l) arrondie au litre près&	Taux d'évolution décennal exprimé en pourcentage à 0,1\\ \hline
2		&1970	&40 	& \\ \hline
3		&1980 	&55		&37,5\\ \hline
4		&1990	&90		&63,6 \\ \hline
5		&2000	&149	&65,6\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Que signifie le nombre 37,5 obtenu dans la case C3 ? 
		
\emph{On attend une explication en français et  la justification de ce nombre à l'aide d'un calcul.} 
		\item  Quelle formule faut-il écrire dans la case C3 pour compléter la colonne C en recopiant cette formule vers le bas ?
 	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution global de la consommation d'eau minérale entre les armées 1970 et 2000. 
		\item En déduire que le taux d'évolution décennal moyen entre les années 1970 et 2000 est de 55\:\% (à 1\:\% près). 
		\item Si l'on fait l'hypothèse que la consommation d'eau minérale continue à évoluer en suivant le taux décennal de 55\:\% au delà de l'an 2000, quelle consommation, à un litre près, peut-on prévoir pour l'année 2010 puis pour l'année 2040 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le tableau suivant donne l'évolution de cette consommation, en litre par personne entre 1995 et 2004. Le nuage de points correspondant est donné en annexe 2. Le but est de rechercher un ajustement affine de ce nuage de points.
 
\vspace{0,25cm}
 
{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&1995	&1996	&1997	&1998	&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	&2004\\ \hline
Rang $x_{i}$ de l'année &0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9\\ \hline
Consommation $y_{i}$ (en litres)&117&115&122& 134&142&149& 152&150	&168	&169\\ \hline
\end{tabularx}}

\vspace{0,25cm}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de cette série et placer ce point sur le graphique.
\item  Déterminer, à l'aide de la calculatrice, par la méthode des moindres carrés, une équation la droite ($\Delta$) d'ajustement affine de $y$ en $x$ sous la forme 

$y = ax + b$   où $a$ et $b$ seront arrondis à $0,1$ près.
\item  Tracer la droite ($\Delta$) sur le graphique de l'annexe 2.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de l'équation précédente, estimer la consommation d'eau minérale par Français en	2010 (arrondie au litre près).
		\item  Retrouver graphiquement le résultat précédent.
		\item  Le résultat obtenu en 4 a  est différent du résultat obtenu dans la partie A  question 2.
		
Pouvait-on s'y attendre ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip
 
On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~2]$.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
La figure ci-dessous donne une partie de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal du plan, ainsi que la droite D, tangente à la courbe au point d'abscisse $0$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[-2~;~2]$.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-2.2)(2.2,3.2) 
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-2,-2)(2,3)
\psline(-2,1)(1,-2)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{-2}{1.33}{2.71828 x 2 mul exp 2 div x 2 mul sub 1.5 sub}
\uput[u](1.9,0){$x$}\uput[r](0,2.9){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[u](-1.8,0.8){D}\uput[r](1.3,2.2){$\mathcal{C}$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2,-2)(2,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item   Par lecture graphique et sans donner de justification :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f(0)$.
		\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$. Aucune valeur approchée de la (ou des) solution(s) n'est demandée.
		\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f'(x) = 0$. Aucune valeur approchée de la (ou des) solution(s) n'est demandée.
	\end{enumerate}
\item Par lecture graphique et en justifiant votre réponse, déterminer $f'(0)$.

\item L'une des trois courbes C$_{1}$, C$_{2}$, C$_{3}$ ci-après est la courbe de la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$. En justifiant votre réponse, éliminer les deux courbes qui ne peuvent pas représenter $f'$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,-1)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-1)(2,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2,-1)(2,2.5)
\uput[u](1.9,0){$x$}\uput[r](0,2.4){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[r](1,1.75){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2,-0.3)(-1.5,-0.4)(-1,-0.47)(-0.5,-0.5)(0,-0.375)(0.5,0.25)(1,1.75)(1.125,2.5)
\end{pspicture}

\vspace{1cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.5)(2,6.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-2)(2,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2.5)(2,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-2.5)(2,6)
\uput[u](1.9,0){$x$}\uput[r](0,5.9){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[r](0.9,3){\blue $\mathcal{C}_{2}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-3}{1.04}{2.71828 x 2 mul exp 2 sub}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(2,4.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-2)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-2)(2,4)
\uput[u](1.9,0){$x$}\uput[r](0,3.9){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[r](0.9,3){\blue $\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-2}{1.04}{ x 2  exp 2.15 mul x 2.15 mul  add 1 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}
 
La fonction $f$ étudiée dans la première partie est définie sur $[-2~;~2]$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 2x - 1,5\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Résoudre dans $[-2~;~2]$, l'inéquation $\text{e}^{2x} - 2 \geqslant 0$.
		\item En déduire l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est croissante.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 (exercice 2)}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
 & probabilité du résultat\\ \hline
& \\
\multirow{4}{6cm}{\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$\mathcal{A}$}\taput{$0,6$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$\mathcal{B}$}\taput{$0,3$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\mathcal{B}}$}\tbput{\ldots}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{\mathcal{A}}$}\tbput{\ldots}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$\mathcal{B}$}\taput{\ldots}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\mathcal{B}}$}\tbput{$0,9$}
 		}
} }
&$p(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) = 0,18$\\
&\\
&  $p(\mathcal{A} \cap \overline{\mathcal{B}}) = \cdots$\\
&\\
&$p(\overline{\mathcal{A}} \cap \mathcal{B}) = \cdots$\\
&\\
&$p(\overline{\mathcal{A}} \cap \overline{\mathcal{B}}) = \cdots $ \\ 
~& ~\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}
\textbf{ANNEXE 2 (exercice 3)}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(0,110)(25,220)

\uput[u](22,110){rang $x_{i}$ de l'année}
\uput[r](0,215){en litre}\uput[r](0,220){$y$}
\multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,110)(\n,220)}
\multido{\n=110+5}{23}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(25,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10,Oy=110]{->}(0,110)(25,220)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10,Oy=110](0,110)(25,220)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,117)(1,115)(2,122)(3,134)(4,142)(5,149)(6,152)(7,150)(8,168)(9,169)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}