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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{13 avril 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Corrigé du baccalauréat STG Mercatique  \decofourright\\Pondichéry  13 avril 2011}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%\medskip
% 
%Pour chaque question, quatre réponses sont proposées panni lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
%
%\medskip
% 
%\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse}
%
%\medskip
% 
%Suite à l'envoi de bons de réduction par internet, le service marketing d'un magasin de prêt-à-porter effectue une enquête sur les clients du magasin.
% 
%Cette enquête a montré que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 40\,\% des clients possédaient un bon de réduction. 
%\item[$\bullet~~$] 80\,\% des clients munis d'un bon de réduction ont acheté un vêtement. 
%\item[$\bullet~~$] 30\,\% des clients ne possédant pas de bon de réduction ont acheté un vêtement.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On interroge au hasard un client sortant du magasin. On appelle $p$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
% 
%On considère les évènements suivants :
% 
%$R$ : \og Le client avait un bon de réduction \fg
%
%$V$ : \og Le client a acheté un vêtement \fg
% 
%$\overline{R}$ est l'évènement contraire de l'évènement $R$ et $\overline{V}$ est l'évènement contraire de l'évènement $V$.
% 
%On rappelle qu'on note $p_{R}(V)$ la probabilité de l'évènement $V$ sachant l'évènement $R$.
% 
%La situation peut se traduire par l'arbre ci-dessous: 
%
%\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree{\TR{$R$}\taput{0,4}}
	{
	\TR{$V$}\taput{0,8}
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{0,2}
	}
\pstree{\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,6}}
	{
	\TR{$V$}\taput{0,3}
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{0,7}
	}	
}
\end{center}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %La probabilité de l'évènement \og $R$ et $V$ \fg, noté $R \cap V$ est égale à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.} 0,32& 	\textbf{b.} 0,8& 	\textbf{c.} 0,4&\textbf{d.} 1,2\\
%\end{tabularx}
En suivant la première branche on a $p(R \cap V) = 0,4 \times 0,8 = 0,32$.
\medskip
 
\item %La probabilité de l'évènement $V$ est égale à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.} 0,18& 	\textbf{b.} 1,1& 	\textbf{c.} 0,05&\textbf{d.}0,5\\
%\end{tabularx}
De m\^eme on a $p\left(\overline{R} \cap V\right) = 0,6 \times 0,3 = 0,18$.

Donc $p(V) = p(R \cap V) + p\left(\overline{R} \cap V\right) = 0,32 + 0,18 = 0,5$.
\medskip 

\item %Sachant que le client n'avait pas de bon de réduction, la probabilité qu'il n'ait pas acheté de vêtement est égale à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.} 0,42& 	\textbf{b.} 0,7 & 	\textbf{c.} 0,6&\textbf{d.} 0,9\\
%\end{tabularx}
Il faut calculer $p_{\overline{R}}\left(\overline{V}\right) = 1 - p\left(V \cap \overline{R}\right)  = 0,7$.
\medskip 
  
\item %Sachant que le client interrogé au hasard a acheté un vêtement, la probabilité qu'il ait eu un bon de réduction est égale à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.} $\dfrac{p(V \cap R)}{p(V)}$&\textbf{b.} $p(V) \times p(R)$ & 	\textbf{c.} $p_{R}(V)$&\textbf{d.} $p(V) \times p_{V}(R)$\\
%\end{tabularx}
Il faut calculer $p_{V}(R) = \dfrac{p(V \cap R)}{p(V)} = \dfrac{0,32}{0,5} = 0,64$.
\medskip 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

%Afin d'acquérir un nouveau local, un chef d'entreprise décide de
%contracter un emprunt d'un montant de \np{100000}euros. Dans le but
%d'obtenir les meilleures conditions pour ce prêt, il a contacté deux
%établissements bancaires SOMI et PRODI.
% 
%L'établissement SOMI lui propose de rembourser ce prêt sur 6 ans, en 6
%annuités, chacune des annuités, exprimée en euros, étant un des termes
%consécutifs d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de 
%premier terme $u_{0} =  \np{15000}$ et de raison $a = \np{1800}$.
% 
%L'établissement PRODI lui propose également de rembourser ce prêt sur
%6 ans en 6 versements à des conditions différentes. Le premier versement
%annuel est de \np{18000}~euros ; les remboursements suivants subissent une
%augmentation de 2\,\% l'an.
% 
%Pour étudier les deux offres, le chef d'entreprise réalise la feuille
%de calcul suivante: 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering
%\arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D&E\\ \hline%
%1&Année&SOMI&PRODI&$a$&$b$\\ \hline%
%2&2010&\np{15000}&\np{18000}&\np{1800}&1,02\\ \hline%
%3&2011&\np{16800}&\np{18360}&&\\ \hline%
%4&2012&\np{18600}&&&\\ \hline%
%5&2013&\np{20400}&&&\\ \hline%
%6&2014&\np{22200}&&&\\ \hline%
%7&2015&\np{24000}&&&\\ \hline%
%8&Somme remboursée&&&&\\ \hline%
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}
%
%\medskip

\textbf{Partie A : offre de l'établissement SOMI }

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le taux global d'évolution des annuités entre 2010 et
%2015.
On a $\dfrac{\np{24000} - \np{15000}}{\np{15000}} =
\dfrac{\np{9000}}{\np{15000}} = 0,60 = 60\,\%$.
\item %Le directeur de l'établissement SOMI prétend que le taux
%d'évolution annuel moyen des annuités entre 2010 et 2015 est de 12\,\%.
%A-t-il raison ? Justifier la réponse.
De la première à la sixième année l'annuité a été multipliée par
1,6.

Le taux d'évolution annuel moyen des annuités entre 2010 et 2015 est
égal à $t$ tel que :

$(1 + t)^5 = 1,6 \iff 1 + t = 1,6^{\frac{1}{5}} \iff t = 1,6^{\frac{1}{5}}
- 1 \approx 0,099$ soit à peu près 9,9\,\%. Le directeur a tort.
\item %Quelle formule a été entrée dans la cellule B3 et recopiée vers
%le bas pour compléter la plage de cellules B4 : B7 ?
Formule en B3 : \fbox{~=B2+D\$2~} ou \fbox{~=B2+\$D\$2~} ou
\fbox{~=B2+1800~}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : offre de l'établissement PRODI}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Que signifie le nombre $1,02$ inscrit dans la cellule E2 ? 
Chaque année l'augmentation est de $2\,\% = \dfrac{2}{100} = 0,02$.

On multiplie donc chaque année l'ancienne mensualité par $\left(1 +
\dfrac{2}{100}\right) = 1 + 0,2 = 1,02$.

Le nombre 1,02 est donc le coefficient multiplicatif permettant de
calculer l'évolution des mensualités, d'année en année, pour
l'entreprise PRODI.

		\item %Chacune des annuités de l'offre PRODI, exprimée en euros, est
%un des termes consécutifs d'une suite $\left(v_{n}\right)$ avec $v_{0} =
%\np{18000}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
%Justifier la réponse.
Chaque année la mensualité est multipliée par 1,02 ; les mensualités
payées à l'établissement PRODI sont donc les premiers termes de la suite
géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_{0} = \np{18000}$ et de raison
$1,02$. 
	\end{enumerate} 
\item %Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par
%recopie vers le bas d'obtenir le contenu des cellules de la plage C4 : C7
%?
On sait que $v_{n+1} = v_{n} \times 1,02$. Pour passer d'une cellule de la
colonne C (à partir de C2) à la cellule immédiatement inférieure il
faut multiplier par $1,02$ il faut donc écrire dans la cellule C3, la
formule \fbox{~=C2*E\$2~} ou \fbox{~=C2*\$E\$2~} ou \fbox{~=C2*1,02~}.  
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : comparaison des deux offres}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelles formules faut-il entrer dans les cellules B8 et C8 pour
%obtenir les sommes remboursées aux établissements SOMI et PRODI ?
Dans la cellule B8 : \fbox{~=SOMME(B2:B7)~} et dans la cellule C8 la
formule

\fbox{~=SOMME(C2:C7)~}.
\item %Calculer la valeur affichée dans la cellule B8 et celle affichée
%dans la cellule C8 (\emph{on arrondira les résultats à l'euro}).
Les mensualités remboursées à l'établissement SOMI sont les premiers
termes d'une suite arithmétique de premier terme $u_{0} = \np{15000}$ et
de raison \np{1800}. D'après le formulaire, la somme des mensualitées est
égale à :

\[6 \times \dfrac{\np{15000} + \np{24000}}{2} =
\np{117000}~\text{\euro}.\]

\medskip

D'après le formulaire, la somme des mensualités remboursées à
l'établissement PRODI est égale à : 

$$\np{18000} \times \dfrac{1 - 1,02^{6}}{1 - 1,02} \approx 
\np{113546}~\text{\euro}$$

%\medskip 
%\textbf{Dans cette question, on pourra utiliser le formulaire suivant :}
%
%\medskip
% 
%\begin{itemize}
%\item La somme $S$ des $n + 1$ premiers termes d'une suite arithmétique
%$\left(u_{n}\right)$ est donnée par :
% 
%$S = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = (n + 1) \times \dfrac{u_{0} +
%u_{n}}{2}$. 
%\item  La somme $S$ des $n + 1$ premiers tennes d'une suite géométrique
%$\left(u_{n}\right)$ de raison $q\, (q \neq 1)$ est donnée par :
%
%$S = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = u_{0}\times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 -
%q}$. 
%\end{itemize}

\item %En déduire celui des deux établissements qui offre au chef
%d'entreprise la solution la plus avantageuse.
La proposition de l'établissement PRODI est donc  la plus avantageuse.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip 

%Voici la cote ARGUS d'une voiture d'occasion :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année de mise en circulation& 2009& 2008& 2007& 2006& 2005& 2004\\ \hline  
%Âge de la voiture en année $\left(x_{i}\right)$& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ \hline 
%Cote argus en euros $\left(y_{i}\right)$&\np{36300}&\np{32300}&\np{27900}&\np{25000}&\np{22400}&\np{20600}\\ \hline 
%\multicolumn{7}{r}{(Source : \og  Occasions Mag \fg, juillet-août-septembre 2010)}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Ci-dessous, on a représenté dans un repère le nuage de points de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$·
% 
%On note $x$ l'âge de la voiture (en années) et $y$ la cote argus (en euros). 
%
%\medskip
%
%\psset{xunit=1cm,yunit=0.00025cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-1,-2500)(10,40000)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5000]{->}(0,0)(-1,-2500)(10,40000)
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,36300)(1,32300)(2,27900)(3,25000)(4,22400)(5,20600)
%\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,40000)}
%\multido{\n=0+2500}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(10,\n)}
%\uput[d](10,0){$x$}\uput[l](0,40000){$y$}
%\uput[d](8.3,-2000){Âge de la voiture (en année)}
%\uput[r](0,40000){Cote argus (en euros)}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\textbf{Partie A : premier modèle}

\medskip
 
%On réalise un ajustement affine du nuage de points. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$. Arrondir les coefficients $a$ et $b$ au centième.
La calculatrice donne $y = \np{-3174,29}x + \np{35352,38}$. 
%Pour la suite, on prendra comme équation de la droite $(D)$ :

%$ y = - \np{3174}x + \np{35352}$. 

\item %En utilisant cet ajustement, calculer une estimation de la cote argus de cette voiture mise en circulation en 2003.
2003 correspond à $x = 6$, d'o\`u $y \approx  - \np{3174} \times 6 + \np{35352} = \np{16308}$~\euro.

\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

%En choisissant la méthode de votre choix, déterminer l'âge à partir duquel la cote argus de la voiture sera inférieure à \np{7000}~euros.
Par le calcul : il faut résoudre l'inéquation :

$- \np{3174}x + \np{35352} < \np{7000} \iff \np{28352} < \np{3174}x \iff \dfrac{\np{28352}}{\np{3174}} < x$.

Or $\dfrac{\np{28352}}{\np{3174}} \approx 8,9$. La première année correspond à $x = 9$ soit en 2008.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : deuxième modèle}

\medskip
 
%La forme du nuage de points permet d'envisager un ajustement exponentiel $y = f(x)$ où $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $f(x) = \text{e}^{-0,12x + 10,5}$. 
%
%En utilisant cet ajustement, calculer une estimation de la cote argus de la voiture mise en circulation en 2003. (\emph{On donnera une réponse arrondie à l'euro})
2003 correspond à $x = 6$, d'o\`u $f(6) = \text{e}^{-0,12 \times 6 + 10,5} \approx \np{17677}$~\euro{} à l'euro près
\bigskip
 
\textbf{Partie C : exploitation des modèles}

%\medskip
% 
%La cote argus réelle de cette voiture mise en circulation en 2003 est de \np{18000}~euros. 
\begin{enumerate}
\item %Quel ajustement se rapproche le plus de la réalité ? 
L'ajustement exponentiel est le plus proche de la réalité.
\item %Quel est le pourcentage d'erreur commise avec cet ajustement par rapport à la cote réelle.
Le pourcentage d'erreur par rapport à la cote réelle est égal à :

$\dfrac{\np{18000} - \np{17677}}{\np{18000}} \times 100 \approx 1,8\,\%$.
 
%On donnera le résultat arrondi à 0,1\,\%.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

%\medskip  
%
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~8] par 
%
%\[f(x) = 30 \ln (x) + 10 - 10x.\]
 
\begin{enumerate}
\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~8] et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

%Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~8], $f'(x) = \dfrac{30 - 1 0x}{x}$.
On a $f'(x) = 30 \times \dfrac{1}{x} - 10 = \dfrac{30 - 10x}{x}$.  
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~8] et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Comme $x$ est supérieur à zéro, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur :

$30 - 10x = 10(3 - x)$ qui est du signe de $3 - x$.

Donc :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item si $1 \leqslant x < 3,\, f'(x) > 0$ ; la fonction $f$ est donc croissante sur $[1~;~3[$ ;
\item $f'(3) = 0$ ;
\item si $3 < x \leqslant 8,\,f'(x) < 0$ ; la fonction $f$ est donc décroissante sur $]3~;~8]$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. (\emph{On arrondira les résultats au dixième}).

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
$x$		& 1	&2		& 3		&4		& 5		& 6	& 7		& 8\\ \hline
$f(x)$	&0	&10,8	&13,0	&11,6	&8,3	&3,8&$-1,6$	&$-7,6$	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item ~%Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthononné.
 
%\emph{Unités graphiques : $1$ cm pour $1$ unité.}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-8)(9,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-8)(9,14)
\uput[d](9,0){$x$}\uput[l](0,14){$f(x)$}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{8}{x ln 30 mul 10 add 10 x mul sub}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
%Chaque jour un artisan fabrique $x$ objets ($x$ étant compris entre 1 et 8).
% 
%Le bénéfice, en \textbf{dizaines d'euros}, réalisé pour la vente de ces $x$ objets est égal à $f(x)$. 

\item %Combien faut-il produire d'objets pour que le bénéfice soit maximal ? Que vaut ce bénéfice maximal à un euro près ?
Le maximum de la fonction correspond à $x = 3$, soit pour 3 objets fabriqués, un bénéfice de 13 dizaines d'euro soit 130~euros. 
\item %Déterminer à partir de quelle quantité d'objets l'artisan travaille à perte.
On constate qu'à partir de 7 objets produits le bénéfice devient négatif (17~euros de perte). 
\end{enumerate}
\end{document}