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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{16 avril 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Pondichéry~\decofourright\\ 16 avril 2009}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. 

On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée. 

\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire $0,25$ point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous montre l'évolution entre 2000 et 2007 du nombre d'hôtels 4 étoiles en France métropolitaine. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2000 	&2001 	&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 \\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$	&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7\\ \hline 
Nombre d'hôtels $y_{i}$	&613 	&646 	&673 	&704 	&719 	&747 	&777 	&808\\ \hline 
\multicolumn{9}{r}{(source INSEE - direction du tourisme) }\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution entre 2000 et 2003, arrondi à 0,01\,\% près, est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} 12,93\,\% &	\textbf{b.~~} 14,85\,\% &\textbf{c.~~} 1,15\,\% \\
\end{tabularx}

\medskip

\item Le taux d'évolution annuel moyen entre 2000 et 2007, arrondi à 0,01\,\% près, est:
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} 4,02\,\%&	\textbf{b.~~} 1,12\,\% &\textbf{c.~~} 10,40\,\%\\ 
\end{tabularx}

\medskip	
\item Entre 1999 et 2000, le nombre d'hôtels 4 étoiles a augmenté de 2,51\,\%. Le nombre d'hôtels 4 étoiles en 1999, arrondi à l'unité, était donc : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} 244 &	\textbf{b.~~} 624 &\textbf{c.~~} 598\\
\end{tabularx}

\medskip
	 
\item On considère la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ donnée par le tableau ci-dessus. La droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $y = 26,87x - 616,83$&	\textbf{b.~~} $y=26,87x + 616,83$&\small \textbf{c.~~}$y=-26,87x + 616,83$
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}	
	 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Florent a besoin d'économiser au moins \nombre{1250}~ \euro{} pour acheter un scooter. Pour cela, il décide d'effectuer un dépôt chaque mois.
 
Avec un tableur, il effectue une simulation de deux formules d'économies possibles :
 
Formule A : le 1\up{er} mois, il fait un dépôt de \nombre{150}~ \euro{} ; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 20~\euro. 

Formule B ; le 1\up{er} mois, il fait un dépôt de 130~ \euro ; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 20\,\%. 

On appelle $A_{n}$ et $B_{n}$ Ies montants respectifs du $n$-ième dépôt mensuel de Florent avec la formule A et la 
formule B.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A&B&C\\ \hline
1&Mois ($n$)&$A_{n}$&$B_{n}$\\ \hline
2&1			&150	& 130\\ \hline
3&2 		&170 	&156\\ \hline
4&3			&		& \\ \hline
5&4			&		& \\ \hline
6&5 		&		&\\ \hline
7&6 		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Quelles formules destinées à être recopiées vers le bas Florent a-t-il écrites dans les cellules B3 et C3 pour compléter les colonnes B et C ? 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la nature de la suite $\left(A_{n}\right)$ et préciser son terme initial et sa raison. 
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(B_{n}\right)$ et préciser son terme initial et sa raison. 
	\end{enumerate}
\item Exprimer $A_{n}$ et $B_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Florent souhaite acheter son scooter dans 6 mois. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel sera le montant du 6\up{e} dépôt, arrondi à l'euro, pour chaque formule ? 
		\item Quelle somme Florent aura-t-il économisée au bout de six mois, arrondie à l'euro, avec chaque formule ? 
		\item Quelle formule va-t-il retenir pour acheter son scooter ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

Dans cette question, on pourra utiliser le formulaire suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  La somme $S$ des $n$ premiers tennes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par: 

\[S = u_{1} + \cdots  + u_{n} = n \times \dfrac{u_{1} + u_{n}}{2}\]

\item  La somme $S$ des $n$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q~ (q \neq 1)$ est donnée par :
 
\[S = u_{1} + \cdots  + u_{n} = u_{1} \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}\]

\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [1 ; 7] par :
 
\[f(x) = 2x^2 - 20x + 40 + 16\ln (x).\]
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1 ; 7].

Calculer $f'(x)$ puis montrer que $f'(x)= \dfrac{4(x - 4)(x - 1)}{x}$	. 
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~7] et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. On arrondira les résultats à l'unité. 

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
 
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal. 

\emph{On prendra pour unités graphiques : $1$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.}

\medskip
 
Un artisan fabrique entre 1 et 7 poupées de collection par jour. Le coût unitaire de fabrication de $x$ poupées, exprimé en euros, est égal à $f(x)~ (x$ est compris entre 1 et 7). 
\item Combien faut-il produire de poupées pour que le coût unitaire de fabrication soit minimal ? Quel est ce coût minimal ? 

\item Le prix de vente d'une poupée est de 20~euros. 

Par lecture graphique, déterminer combien de poupées l'entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Une eau minérale est dite \og \textbf{magnésienne} \fg{} lorsqu'elle contient plus de 50~mg de magnésium par litre. Une usine produit de l'eau minérale qu'elle vend en bouteilles de 1~litre. L'eau provient de deux sources, notées \og source A \fg{} et \og source B \fg. 

La \og source A \fg{} fournit 70\,\% de la production totale des bouteilles d'eau et la \og source B \fg{} le reste de cette production. Les contrôles de qualité ont montré que 20\,\% des bouteilles produites par la \og source A \fg{} et 10\,\% des bouteilles produites par la \og source B \fg{} ont un taux de magnésium qui dépasse 50 mg par litre. 

\medskip

On prélève au hasard une bouteille d'eau parmi la production totale de la journée. Toutes les bouteilles d'eau ont la même probabilité d'être prélevées. 

On définit les évènements suivants : 

$A$ : \og la bouteille d'eau provient de la source A \fg,

$B$ : \og la bouteille d'eau provient de la source B \fg, 

$M$ : \og l'eau contenue dans la bouteille est magnésienne \fg. 

Dans la suite, la probabilité d'un évènement $X$ est notée $p(X)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déduire des informations de l'énoncé les probabilités suivantes: 
	\begin{enumerate}
		\item $p(A),\, p(B)$. 
		\item La probabilité de $M$ sachant $A$ notée $p_{A}(M)$ et la probabilité de $M$ sachant $B$ notée $p_{B}(M)$. 
	\end{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité, $p(A\cap M)$, que la bouteille d'eau provienne de la \og source A \fg{} et que son eau soit magnésienne. 
		\item Calculer $p(B \cap M)$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que $p(M) = 0,17$. 
\item Calculer la probabilité que l'eau contenue dans une bouteille provienne de la \og source A \fg{} sachant qu'elle est magnésienne. On arrondira le résultat au centième. 
\end{enumerate}
\end{document}