\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx,multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.8cm, bottom=2.7cm]{geometry}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{16 avril 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalauréat STG Mercatique  Pondichéry \decofourright\\ 16 avril 2009}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
{\scriptsize
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

{\scriptsize 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. 

On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée. 

\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire 0,25 point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si· le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.}
}
\medskip
 
Le tableau ci-dessous montre l'évolution entre 2000 et 2007 du nombre d'hôtels 4 étoiles en France métropolitaine. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année& 2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 \\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
Nombre d'hôtels $y_{i}$& 613 &646 &673 &704 &719 &747 &777 &808\\ \hline 
\multicolumn{9}{r}{(source INSEE - direction du tourisme) }\\
\end{tabularx}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution entre 2000 et 2003, arrondi à 0,01\:\% près, est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\psCancel[linewidth=0.5pt,cancelType=s]{\textbf{a.} 12,93\:\%} &	\ovalbox{\textbf{b.} 14,85\:\%} &\psCancel[linewidth=0.5pt,cancelType=s]{\textbf{c.} 1,15\:\%} \\
\end{tabularx}

\medskip

\item Le taux d'évolution annuel moyen entre 2000 et 2007, arrondi à 0,01\:\% près, est:
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\ovalbox{\textbf{a.} 4,02\:\%}&\psCancel[linewidth=0.5pt,cancelType=s]{\textbf{b.} 1,12\:\% }&\psCancel[linewidth=0.5pt,cancelType=s]{\textbf{c.} 10,40\:\%}\\ 
\end{tabularx}

\medskip	
\item Entre 1999 et 2000, le nombre d'hôtels 4 étoiles a augmenté de 2,51\:\%. Le nombre d'hôtels 4 étoiles en 1999, arrondi à l'unité, était donc : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\psCancel[linewidth=0.5pt,cancelType=s]{\textbf{a.} 244} &	\psCancel[linewidth=0.5pt,cancelType=s]{\textbf{b.} 624} &\ovalbox{\textbf{c.} 598}\\
\end{tabularx}

\medskip
	 
\item On considère la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ donnée par le tableau ci-dessus. La droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\psCancel[linewidth=0.5pt,cancelType=s]{\textbf{a.} $y = 26,87x - 616,83$}&	\ovalbox{\textbf{b.} $y=26,87x + 616,83$}&\psCancel[linewidth=0.5pt,cancelType=s]{\textbf{c.} $y=-26,87x + 616,83$}
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate}	
	 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

{\footnotesize
Florent a besoin d'économiser au moins \nombre{1250}~ \euro{} pour acheter un scooter. Pour cela, il décide d'effectuer un dépôt chaque mois.
 
Avec un tableur, il effectue une simulation de deux formules d'économies possibles :
 
Formule A : le 1\up{er} mois, il fait un dépôt de \nombre{150}~ \euro{} ; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 20~\euro. 

Formule B ; le 1\up{er} mois, il fait un dépôt de 130~ \euro ; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 20\:\%. 

On appelle $A_{n}$ et $B_{n}$ Ies montants respectifs du $n$-ième dépôt mensuel de Florent avec la formule A et la 
formule B.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A&B&C\\ \hline
1&Mois ($n$) &$A_{n}$&$B_{n}$\\ \hline
2&1& 150& 130 \\ \hline
3&2 &170 &156 \\ \hline
4& 3&& \\ \hline
5&4&& \\ \hline
6 &5 &&\\ \hline
7 &6 &&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\medskip 

\begin{enumerate}
\item Les formules destinées à être recopiées vers le bas  que  Florent a pu  écrire pour compléter les colonnes B et C sont :
	\begin{itemize}
	\item[] dans la cellule B3  =\$B2+20 ou =B2+20 ;
	\item[] dans la cellule C3  =\$C2*\np{1.2} ou =C2*\np{1.2} ou =\$C2*(1+20/100)
\end{itemize}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(A_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme 150 et de raison 20 puisque chaque terme se déduit du précédent en lui ajoutant le même nombre  20. 
		\item La suite $\left(B_{n}\right)$ est une suite  géométrique  de raison \np{1.2} et de premier terme 130. En effet, à un taux d'augmentation de 20\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.2} par conséquent chaque terme  se déduit du précédent  en le multipliant par \np{1.2}. 
	\end{enumerate}
\item \begin{itemize}
\item Le terme général d'une suite  arithmétique  de premier terme $u_1$ et de raison $r$ est $u_n=u_1+(n-1)r$. 

$A_{n}=150+20(n-1)=130+20n$.
\item Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_1$ et de raison $r$ est $u_n=u_1\times q^{(n-1)}$.

$B_{n}=130\times (\np{1.2})^{(n-1)}$.
\end{itemize}
\item Florent souhaite acheter son scooter dans 6 mois. 
	\begin{enumerate}
		\item Le montant du 6\up{e} dépôt correspond à $n=6$, $A_6=150+5\times 20=250\quad B_6=130\times \np{1.2}^5\approx 323$. 
		\item Calculons la somme que Florent aura économisée au bout de six mois, arrondie à l'euro. 
		\begin{itemize}
\item Formule A :$A_1+A_2+\dots +A_6= \dfrac{6 \times(150+250)}{2}=\np{1200} $
\item Formule B :$B_1+B_2+\dots+B_6=130\times \dfrac{\np{1.2}^6-1}{\np{1.2}-1}\approx \np{1291}$
\end{itemize}
		\item La formule que Florent va retenir pour acheter son scooter est la formule B car il aura économisé suffisamment.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

% Dans cette question, on pourra utiliser le formulaire suivant :

% \setlength\parindent{5mm}
% \begin{itemize}
% \item  La somme $S$ des $n$ premiers tennes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par: 

% \[S = u_{1} + \cdots  + u_{n} = n \times \dfrac{u_{1} + u_{n}}{2}\]

% \item  La somme $S$ des $n$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q~ (q \neq 1)$ est donnée par : 
% \[S = u_{1} + \cdots  + u_{n} = u_{1} \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}\]
% \end{itemize}
% \setlength\parindent{0mm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [1 ; 7] par :
 
\[f(x) = 2x^2 - 20x + 40 + 16\ln (x).\]
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1 ; 7].

Déterminons la fonction dérivée de $f$.
\[f^\prime(x)=2(2x)-20+16 \left(\dfrac{1}{x}\right)=4x-20+\dfrac{16}{x}=\dfrac{4x^2-20x+16}{x}=\dfrac{4(x^2-5x+4)}{x}\]
or $(x-1)(x-4)=x^2-5x+4$ par conséquent $f'(x)= \dfrac{4(x - 4)(x - 1)}{x}$	.
\item \'Etudions le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1 ; 7].
Sur $\R,\:x-1>0 \iff x>1\quad x-4>0 \iff x>4$
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$&1&&4&&7\\
\hline
$x-1$&0&+&&+&\\
\hline
$x-4$&&$-$&0&+&\\
\hline
$f^\prime(x)$&0&$-$&0&+&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Sur [1~;~4[ $f^\prime(x)<0$ par conséquent  $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur ]4~;~7] $f^\prime(x)>0$ par conséquent  $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

 Dressons le tableau de variations de la fonction $f$. 
  \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$1$} \uput[u](4.5,2.45) {$4$}    \uput[u](7.73,2.45){$7$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\uput[u](1.35,2){$0$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
\uput[d](1.37,1.95){$22$}\rput(7.5,1.75){{\footnotesize $16\ln(7)-2$}}
\psline{->}(1.7,1.55)(4,0.55)\psline{->}(5,0.5)(7.3,1.55)
\rput(4.5,0.175){$32\ln(2)-8$}
\end{pspicture}
\end{center}
 \item Complétons le tableau de valeurs suivant. 
\medskip

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&1&2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$f(x)$&22&19&16&14&16&21&29\\ \hline
\end{tabularx}

 {\scriptsize les résultats sont arrondis à l'unité.} 

\medskip
 
\item La courbe représentative de la fonction $f$ est tracée dans un repère orthogonal page~\pageref{courbe}. 

\emph{On prendra pour unités graphiques : $1$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.}
\end{enumerate}

Un artisan fabrique entre 1 et 7 poupées de collection par jour. Le coût unitaire de fabrication de $x$ poupées, exprimé en euros, est égal à $f(x)~ (x$ est compris entre 1 et 7). 

\medskip

 \begin{enumerate}[resume]
\item Il faudra produire quatre poupées pour que le coût unitaire de fabrication soit minimal, puisque la fonction $f$ admet un minimum en 4. Ce coût minimal arrondi à l'unité vaut 14~euros. 
\item Le prix de vente d'une poupée est de 20~euros. 
 L'entreprise réalise un bénéfice lorsque la courbe représentative de $f$ est en dessous de la droite  d'équation $y=20$. Elle devra fabriquer  un nombre entier de poupées entre 2 et  5, valeurs incluses.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize 
Une eau minérale est dite \og \textbf{magnésienne} \fg{} lorsqu'elle contient plus de 50~mg de magnésium par litre. Une usine produit de l'eau minérale qu'elle vend en bouteilles de 1~litre. L'eau provient de deux sources, notées \og source A \fg{} et \og source B \fg. 

La \og source A \fg{} fournit 70\:\% de la production totale des bouteilles d'eau et la \og source B \fg{} le reste de cette production. Les contrôles de qualité ont montré que 20\:\% des bouteilles produites par la \og source A \fg{} et 10\:\% des bouteilles produites par la \og source B \fg{} ont un taux de magnésium qui dépasse 50 mg par litre. 

\medskip

On prélève au hasard une bouteille d'eau parmi la production totale de la journée. Toutes les bouteilles d'eau ont la même probabilité d'être prélevées. 

On définit les événements suivants : 

$A$ : \og la bouteille d'eau provient de la source A \fg,

$B$ : \og la bouteille d'eau provient de la source B \fg, 

$M$ : \og l'eau contenue dans la bouteille est magnésienne \fg. 

Dans la suite, la probabilité d'un événement $X$ est notée $p(X)$.
 }
\begin{enumerate}
\item %Déduire des informations de l'énoncé les probabilités suivantes: 
	\begin{enumerate}
		\item \begin{itemize}
\item $p(A)=\np{0.7}$ car la \og source A \fg{} fournit 70\:\% de la production totale des bouteilles d'eau 
\item $p(B)=\np{0.3}$ car la \og source B \fg{} fournit le reste de cette production.
 \end{itemize}
		\item \begin{itemize}
\item La probabilité de $M$ sachant $A$ : $p_{A}(M)=\np{0.2}$ car  20\:\% des bouteilles produites par la \og source A \fg{} ont un taux de magnésium qui dépasse 50 mg par litre. 
\item la probabilité de $M$ sachant $B$ : $p_{B}(M)=\np{0.1}$ car 10\:\% des bouteilles produites par la \og source B \fg{} ont un taux de magnésium qui dépasse 50 mg par litre
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item Construisons un arbre pondéré décrivant la situation. 
\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\taput{\np{0.7}}}
	{\TR{$M$}\taput{\np{0.2}}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{\np{0.8}}
	}
\pstree{\TR{$B$}\tbput{\np{0.3}}}
	{\TR{$M$}\taput{\np{0.1}}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{\np{0.9}}
	}
}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculons la probabilité, $p(A\cap M)$, que la bouteille d'eau provienne de la \og source A \fg{} et que son eau soit magnésienne. $p(A\cap M)=p(A)\times p_{A}(M)=\np{0.7}\times \np{0.2}=\np{0.14}$
		\item $p(B \cap M)=p(B)\times p_{B}(M)=\np{0.3}\times \np{0.1}=\np{0.03}$.
	\end{enumerate} 
\item $p(M) = p(A)\times p_{A}(M)+p(B)\times p_{B}(M)=\np{0.14}+ \np{0.03}=\np{0.17}$. 
\item La probabilité que l'eau contenue dans une bouteille provienne de la \og source A \fg{} sachant qu'elle est magnésienne est notée $p_{M}(A)$. 
$p_{M}(A)=\dfrac{p(A\cap M)}{p(M)}=\dfrac{\np{0.14}}{\np{0.17}}\approx\np{0.82}$. 
\end{enumerate}

\vfill

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.3)(8,20)
\psaxes[Ox=0,Oy=10,Dx=1,Dy=1]{->}(8,20)
 \multido{\n=0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,20)}
 \multido{\n=0+0.5}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{1}{7}{x 2 exp 2 mul 20 x mul sub 30 add x ln 16 mul  add}
   \psline[linecolor=cyan,linewidth=0.7pt](0,10)(8,10)
   \psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](1.77038,0)(1.77038,10)
    \psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](5.89695,0)(5.89695,10)
    \psdots[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](2,9.09035)(3,5.5777966)(4,4.180071)(5,5.751)
  
\end{pspicture}\end{center}
\label{courbe}




\end{document}