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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Pondichéry}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Pondichéry~\decofourright\\ 21 avril 2010}}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Deux tableaux sont donnés en \textbf{annexe} : le premier donne l'évolution du prix du mètre carré dans l'immobilier résidentiel ancien en France de 1996 à 2009, le second donne les propositions de salaires d'une agence immobilière.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On étudie l'évolution du marché immobilier résidentiel ancien en France entre 1996 et 2009.

Les résultats sont répertoriés dans le \textbf{tableau 1}.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le prix du mètre carré en 2009, sachant qu'il a subi une baisse de 14\,\% par rapport à 2008. Arrondir le résultat à l'euro près. 
\item Le taux d'évolution de 1996 à 1997 est de $+ 2$\,\%. Calculer le prix du mètre carré en 1996.
 
Arrondir le résultat à l'euro près. 
\item Calculer le taux global d'évolution, arrondi à $0,1$\,\% près, de ce prix entre 1997 et 2007. 
\item Calculer le taux moyen annuel d' évolution du prix du mètre carré entre 1997 et 2007, arrondi  à $0,1$\,\% près.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une agence immobilière propose à ses agents 2 types de rémunérations mensuelles différents.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Proposition B : le salaire fixe s'élève à \np{1700}~\euro{} et chaque vente rapporte 300~\euro. 
\item[$\bullet~$] Proposition C : le salaire fixe s'élève à \np{1700}~\euro{} et chaque vente permet une augmentation 
de salaire de 15\,\%.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Le tableau 2 est un extrait d'une feuille d'un tableur qui donne les salaires des deux propositions en fonction du nombre de ventes réalisées.
 
On note $B_{n}$ le salaire obtenu avec la proposition B et $C_{n}$ le salaire obtenu avec la proposition C  pour $n$ ventes réalisées.
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $B_{1} =  \np{2000}$ et que $C_{1} =  \np{1955}$. 
\item Déterminer $B_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(B_{n}\right)$ ? 
\item Donner une relation entre $C_{n+1}$ et $C_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(C_{n}\right)$ ? 
 
En déduire l'expression de $C_{n}$ en fonction de $n$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la formule à écrire dans la cellule B3 puis à recopier vers le bas pour obtenir les différents salaires avec la proposition B. 
		\item Donner de même la formule à écrire dans la cellule C3 puis à recopier vers le bas pour obtenir les différents salaires avec la proposition C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
Une agence de voyage effectue un sondage auprès de ses clients.
 
Elle répertorie ses clients en 2 catégories : les groupes et les personnes seules.

Elle les interroge sur leur destination de vacances.
 
Sur 100 clients interrogés, 63~partent en groupe, et parmi ceux-là, 55\,\% partent en France.

De plus, 75\,\% des personnes seules partent à l'étranger. 

On choisit au hasard un client de l'agence parmi ceux qui ont été interrogés ; on admet que tous les clients interrogés ont la même probabilité d'être choisis.
 
On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $G$ l'évènement : \og le client choisi part en groupe \fg, 
\item[] $\overline{G}$ l'évènement contraire de $G$ : \og le client choisi part seul \fg,
\item[] $E$ l'évènement: \og le client choisi part à l'étranger \fg, 
\item[] $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ : \og le client choisi part en France \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité de l'évènement $\overline{E}$ sachant que $G$ est réalisé, notée $p_{G}\left(\overline{E}\right)$, puis la probabilité $p_{\overline{G}}(E)$ de l'évènement $E$ sachant que $\overline{G}$ est réalisé. 
 
\item Construire puis compléter l'arbre de probabilité correspondant à cette situation. 
\item Calculer la probabilité $p(G \cap E)$ de l'évènement $G \cap E$. 
\item Montrer que la probabilité $p(E)$ de l'évènement $E$ est égale à $0,561$. 
\item Calculer $p_{E}(G)$, la probabilité de choisir un client qui part en groupe, sachant qu'il part à l'étranger. Donner la réponse arrondie au millième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}
 
Sur la figure donnée en \textbf{annexe}, on a tracé, dans un repère, trois droites dont les équations sont :
 
\[ x+ y= 7, \quad  x + 2y = 12\quad  \text{et} \quad  3x + 2y = 20.\]
  
\begin{enumerate}
\item Parmi les équations données ci-dessus, laquelle est une équation de la droite $\left(D_{1}\right)$ ? Laquelle est une équation de la droite $\left(D_{2}\right)$ ? 
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection des droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$. 
\item Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan \textbf{qui ne convient pas}, l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient le système : 

\[(S) \quad \left\{ \begin{array}{l c l}
x 		&\geqslant 	&0\\ 
y		&\geqslant	&0\\ 
x + 2y 	&\leqslant 	&12\\ 
3x + 2y &\leqslant 	&20\\
x + y 	&\leqslant 	&7
 \end{array}\right.\]
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Un entrepreneur doit effectuer des travaux de peinture et d'électricité sur un chantier.
 
Les travaux de peinture nécessitent par jour et par peintre 50~\euro{} de matériel et 150~\euro{} de main d'{\oe}uvre.
 
Les travaux d'électricité nécessitent par jour et par électricien 100~\euro{} de matériel et 100~\euro{} de main d'{\oe}uvre.
 
D'autre part, chaque ouvrier doit disposer d'une camionnette et l'entrepreneur en possède 7.

L'entrepreneur dispose par jour d'un budget de 600~\euro{} pour le matériel et de \np{1000}~\euro{} pour la main d'{\oe}uvre.
 
On note $x$ le nombre de peintres embauchés par jour et $y$ le nombre d'électriciens embauchés par jour.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que les contraintes de cet entrepreneur se traduisent par le système d'inéquations $(S)$ de la partie A, où $x$ et $y$ sont des entiers naturels. 
\item L'entrepreneur peut-il faire travailler 1 peintre et 6 électriciens le même jour ? 
\item L'entrepreneur réalise par jour un bénéfice de 30~\euro{} sur le travail de chaque peintre et de 40~\euro{} sur celui de chaque électricien. On note $B$ le bénéfice total que l'entrepreneur réalise par jour. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $B$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Déterminer une équation de la droite ($\Delta$) correspondant à un bénéfice de 120~\euro{} et tracer cette droite dans le repère précédent. 
		\item Déterminer graphiquement le nombre de peintres et d'électriciens que cet entrepreneur doit faire travailler chaque jour pour réaliser un bénéfice maximum. Calculer ce bénéfice maximal.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-0,5~;~5]$ par
 
\[f(x) = x^2 - 9x + 14 \ln (x + 1).\]

Dans le repère ci-dessous, la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est sa courbe représentative.
 
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[- 0,5~;~5]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$ et $f'(0)$. 
\item Donner le nombre de solutions de l'équation : $f(x) = 1,5$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$. 
 
\item Vérifier que $f'(x) = \dfrac{(2x - 5)(x - 1)}{x + 1}$.  
\item En remarquant que  $(x + 1)$ est strictement positif sur l'intervalle $[-0,5~;~5]$, et à l'aide d'un tableau de signes déterminer le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$ sur ce même intervalle. 
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente (T) à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(6,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-2,-5)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.9,-5)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.9,-5)(6,6)
\psplot{-1}{1.2}{5 x mul}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.5}{5}{x dup mul 9 x mul sub x 1 add ln 14 mul add}
\uput[r](4.9,4.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[r](1.2,5.5){(T)}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\vspace*{-1cm}
\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\medskip
 
\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 1 }

\bigskip

\parbox{0.62\linewidth}{\begin{tabularx}{7.2cm}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\multicolumn{3}{c}{\textbf{Tableau 1}}\\
\multicolumn{3}{c}{\textbf{Évolution des prix de l'immobilier}}
\\ \hline
Année	&Prix du mètre carré (en euros)&Taux d'évolution  entre deux années successives (arrondi à $0,1$\,\%)\\ \hline
1996	&				& 			\\ \hline
1997 	&\np{1400}	&$+ 2,0$\,\% 	\\ \hline
1998  	&\np{1456} 	&$+ 4,0$\,\%	\\ \hline 
1999 	&\np{1601}	&$+ 10,0$\,\%	\\ \hline 
2000	&\np{1749}	&$+ 9,2$\,\%	\\ \hline 
2001 	&\np{1915} 	&$+ 9,5$\,\%	\\ \hline 
2002 	&\np{2145} 	&$+ 12,0$\,\%	\\ \hline 
2003	&\np{2445}	&$+ 14,0$\,\%	\\ \hline 
2004 	&\np{2812} 	&$+ 15,0$\,\%	\\ \hline 
2005 	&\np{3093} 	&$+ 10,0$\,\%	\\ \hline 
2006 	&\np{3279} 	&$+ 6,0$\,\%	\\ \hline 
2007 	&\np{3361} 	&$+ 2,5$\,\%	\\ \hline 
2008 	&\np{3028} 	&$- 9,9$\,\%\\ \hline 
2009	&			&$- 14,0$\,\%\\ \hline
\end{tabularx}} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\begin{tabularx}{5cm}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\multicolumn{4}{c}{\textbf{Tableau 2}}\\
\multicolumn{4}{c}{\textbf{Salaires (en euros) en fonction }}\\
\multicolumn{4}{c}{\textbf{du nombre de ventes}}
\\ \hline
	&A 		&B 				&C 			\\ \hline
1	&$n$	& $B_{n}$& $C_{n}$			\\ \hline
2	&0 		&\np{1700}	& \np{1700,00}\\ \hline 
3	&1 		&\np{2000} 	&\np{1955,00}\\ \hline 
4	&2 		&\np{2300} 	&\np{2248,25}\\ \hline  
5	&3		&\np{2600}	&\np{2585,49}\\ \hline 
6	&4		&\np{2900}	&\np{2973,31}\\ \hline
7	&5		&\np{3200}	&\np{3419,31}\\ \hline
8	&6		&\np{3500}	&\np{3932,20}\\ \hline
9	&7		&\np{3800}	&\np{4522,03}\\ \hline
\end{tabularx}}


\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\bigskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(15,11)

\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.3pt](0,0)(15,11)
\uput[u](15,0){$x$} \uput[r](0,11){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot{-0.5}{7.333}{10 1.5 x mul sub}
\psplot{-0.5}{8}{7 x sub}
\psplot{-0.5}{14}{6 x 2 div sub}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(15,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(15,11)
\uput[l](-0.4,10.5){$(D_{1})$} 
\uput[l](-0.4,7.5){$(D_{2})$} 
\uput[l](-0.4,6){$(D_{3})$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}