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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{13 avril 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Pondichéry~\decofourright\\ 13 avril 2011}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.



\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

\medskip
 
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées panni lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse}

\medskip
 
Suite à l'envoi de bons de réduction par internet, le service marketing d'un magasin de prêt-à-porter effectue une enquête sur les clients du magasin.
 
Cette enquête a montré que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 40\,\% des clients possédaient un bon de réduction. 
\item[$\bullet~~$] 80\,\% des clients munis d'un bon de réduction ont acheté un vêtement. 
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des clients ne possédant pas de bon de réduction ont acheté un vêtement.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On interroge au hasard un client sortant du magasin. On appelle $p$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
 
On considère les évènements suivants :
 
$R$ : \og Le client avait un bon de réduction \fg

$V$ : \og Le client a acheté un vêtement \fg
 
$\overline{R}$ est l'évènement contraire de l'évènement $R$ et $\overline{V}$ est l'évènement contraire de l'évènement $V$.
 
On rappelle qu'on note $p_{R}(V)$ la probabilité de l'évènement $V$ sachant l'évènement $R$.
 
La situation peut se traduire par l'arbre ci-dessous: 

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tdot}
{
\pstree{\TR{$R$}}
	{
	\TR{$V$}
	\TR{$\overline{V}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{R}$}}
	{
	\TR{$V$}
	\TR{$\overline{V}$}
	}	
}
\end{center}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité de l'évènement \og $R$ et $V$ \fg, noté $R \cap V$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,32& 	\textbf{b.~~} 0,8& 	\textbf{c.~~} 0,4&\textbf{d.~~} 1,2\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité de l'évènement $V$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,18& 	\textbf{b.~~} 1,1& 	\textbf{c.~~} 0,05&\textbf{d.~~}0,5\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item Sachant que le client n'avait pas de bon de réduction, la probabilité qu'il n'ait pas acheté de vêtement est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,42& 	\textbf{b.~~} 0,7 & 	\textbf{c.~~} 0,6&\textbf{d.~~} 0,9\\
\end{tabularx}
\medskip 
  
\item Sachant que le client interrogé au hasard a acheté un vêtement, la probabilité qu'il ait eu un bon de réduction est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $\dfrac{p(V \cap R)}{p(V)}$&\textbf{b.~~} $p(V) \times p(R)$ & 	\textbf{c.~~} $p_{R}(V)$&\textbf{d.~~} $p(V) \times p_{V}(R)$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Afin d'acquérir un nouveau local, un chef d'entreprise décide de contracter un emprunt d'un montant de \np{100000}~euros. Dans le but d'obtenir les meilleures conditions pour ce prêt, il a contacté deux établissements bancaires SOMI et PRODI.
 
L'établissement SOMI lui propose de rembourser ce prêt sur 6 ans, en 6 annuités, chacune des annuités, exprimée en euros, étant un des termes consécutifs d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de 
premier terme $u_{0} =  \np{15000}$ et de raison $a = \np{1800}$.
 
L'établissement PRODI lui propose également de rembourser ce prêt sur 6 ans en 6 versements à des conditions différentes. Le premier versement annuel est de \np{18000}~euros ; les remboursements suivants subissent une augmentation de 2\,\% l'an.
 
Pour étudier les deux offres, le chef d'entreprise réalise la feuille de calcul suivante: 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E\\ \hline%
1&Ann\'ee&SOMI&PRODI&$a$&$b$\\ \hline%
2&2010&\np{15000}&\np{18000}&\np{1800}&1,02\\ \hline%
3&2011&\np{16800}&\np{18360}&&\\ \hline%
4&2012&\np{18600}&&&\\ \hline%
5&2013&\np{20400}&&&\\ \hline%
6&2014&\np{22200}&&&\\ \hline%
7&2015&\np{24000}&&&\\ \hline%
8&Somme remboursée&&&&\\ \hline%
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A : offre de l'établissement SOMI }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le taux global d'évolution des annuités entre 2010 et 2015. 
\item Le directeur de l'établissement SOMI prétend que le taux d'évolution annuel moyen des annuités entre 2010 et 2015 est de 12\,\%. A-t-il raison ? Justifier la réponse. 
\item Quelle formule a été entrée dans la cellule B3 et recopiée vers le bas pour compléter la plage de cellules B4 : B7 ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : offre de l'établissement PRODI}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que signifie le nombre $1,02$ inscrit dans la cellule E2 ? 
		\item  Chacune des annuités de l'offre PRODI, exprimée en euros, est un des termes consécutifs d'une suite $\left(v_{n}\right)$ avec $v_{0} = \np{18000}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas d'obtenir le contenu des cellules de la plage C4 : C7 ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : comparaison des deux offres}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelles formules faut-il entrer dans les cellules B8 et C8 pour obtenir les sommes remboursées aux établissements SOMI et PRODI ? 
\item Calculer la valeur affichée dans la cellule B8 et celle affichée dans la cellule C8 (\emph{on arrondira les résultats à l'euro}).

\medskip
 
\textbf{Dans cette question, on pourra utiliser le formulaire suivant :}

\medskip
 
\begin{itemize}
\item La somme $S$ des $n + 1$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par :
 
$S = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = (n + 1) \times \dfrac{u_{0} + u_{n}}{2}$. 
\item  La somme $S$ des $n + 1$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q\, (q \neq 1)$ est donnée par :

$S = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = u_{0}\times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. 
\end{itemize}
 
\item En déduire celui des deux établissements qui offre au chef d'entreprise la solution la plus avantageuse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip 

Voici la cote ARGUS d'une voiture d'occasion :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année de mise en circulation&2009	&2008	&2007	&2006	&2005	&2004\\ \hline  
Âge de la voiture en année
 $\left(x_{i}\right)$		&0		&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline 
Cote argus en euros 
$\left(y_{i}\right)$		&\np{36300}&\np{32300}&\np{27900}&\np{25000}&\np{22400}&\np{20600}\\ \hline 
\multicolumn{7}{r}{(Source : \og  Occasions Mag \fg, juillet-août-septembre 2010)}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
Ci-dessous, on a représenté dans un repère le nuage de points de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$·
 
On note $x$ l'âge de la voiture (en années) et $y$ la cote argus (en euros). 

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.00025cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-2500)(10,40000)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,36300)(1,32300)(2,27900)(3,25000)(4,22400)(5,20600)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,40000)}
\multido{\n=0+2500}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5000]{->}(0,0)(-0.9,-2500)(10,40000)
\uput[d](10,0){$x$}\uput[l](0,40000){$y$}
\uput[d](8.3,-2000){Âge de la voiture (en année)}
\uput[r](0,40000){Cote argus (en euros)}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A : premier modèle}

\medskip
 
On réalise un ajustement affine du nuage de points. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$. Arrondir les coefficients $a$ et $b$ au centième.
 
Pour la suite, on prendra comme équation de la droite $(D)$ :

$ y = - \np{3174}x + \np{35352}$. 

\item En utilisant cet ajustement, calculer une estimation de la cote argus de cette voiture mise en circulation en 2003. 

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

En choisissant la méthode de votre choix, déterminer l'âge à partir duquel la cote argus de la voiture sera inférieure à \np{7000}~euros.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : deuxième modèle}

\medskip
 
La forme du nuage de points permet d'envisager un ajustement exponentiel 

$y = f(x)$ où $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $f(x) = \text{e}^{-0,12x + 10,5}$. 

En utilisant cet ajustement, calculer une estimation de la cote argus de la voiture mise en circulation en 2003. (\emph{On donnera une réponse arrondie à l'euro})

\bigskip
 
\textbf{Partie C : exploitation des modèles}

\medskip
 
La cote argus réelle de cette voiture mise en circulation en 2003 est de \np{18000}~euros. 
\begin{enumerate}
\item Quel ajustement se rapproche le plus de la réalité ? 
\item Quel est le pourcentage d'erreur commise avec cet ajustement par rapport à la cote réelle.
 
On donnera le résultat arrondi à 0,1\,\%.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip  

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~8] par 

\[f(x) = 30 \ln (x) + 10 - 10x.\]
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~8] et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~8], $f'(x) = \dfrac{30 -1 0x}{x}$.  
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~8] et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. (\emph{On arrondira les résultats au dixième}).

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
$x$		& 1	&2	& 3	&4		& 5	& 6	& 7	& 8\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&11,6	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthononné.
 
\emph{Unités graphiques : $1$ cm pour $1$ unité.}
 
Chaque jour un artisan fabrique $x$ objets ($x$ étant compris entre 1 et 8).
 
Le bénéfice, en \textbf{dizaines d'euros}, réalisé pour la vente de ces $x$ objets est égal à $f(x)$. 

\item Combien faut-il produire d'objets pour que le bénéfice soit maximal ? Que vaut ce bénéfice maximal à un euro près ? 
\item Déterminer à partir de quelle quantité d'objets l'artisan travaille à perte. 
\end{enumerate}
\end{document}