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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\ifx#2\@empty\else,#2\fi}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}  
\lhead{\small Mercatique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small 23 juin 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique ~\decofourright\\La Réunion 23  juin 2010}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
%Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\ 
%Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
%Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}
%
%\medskip
% 
%Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calcul obtenue à l'aide d'un tableur. Dans la colonne B figure le nombre, en milliers, de voitures particulières produites en France chaque mois, de mars 2008 à mars 2009.
%
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C\\ \hline
%1&Mois& Nombre de voitures particulière produites, en milliers&Taux d'évolution depuis mars 2008\\ \hline
%2&mars 2008&472,63&\\ \hline
%3&avril 2008&511,68&8,26\:\%\\ \hline
%4&mai 2008&461,18&$-2,42$\:\%\\ \hline
%5&juin 2008&460,59&\\ \hline
%6&juillet 2008&486,05&\\ \hline
%7&ao\^ut 2008&164,07&\\ \hline
%8&septembre 2008&487,00&\\ \hline
%9&octobre 2008&447,17&\\ \hline
%10&novembre 2008&301,96&\\ \hline
%11&décembre 2008&172,53&\\ \hline
%12&janvier 2009&286,52&\\ \hline
%13&février 2009&289,28&\\ \hline
%14&mars 2009&394,62&\\ \hline
%\multicolumn{4}{r}{\emph{Source : INSEE}}\\
%\end{tabularx}

%\medskip
% 
%La plage B2:B14 est au format nombre à deux décimales.
% 
%La plage C3:C 14 est au format pourcentage à deux décimales.
%
%\medskip
% 
%Dans la colonne C, partiellement remplie, on veut afficher le taux d'évolution du nombre de voitures particulières produites, entre le mois de mars 2008 et chacun des mois suivants.
% 
%Par exemple :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] dans la cellule C3 est affiché le taux d'évolution du nombre de voitures particulières produites entre mars 2008 et avril 2008. 
%\item[$\bullet~$] dans la cellule C12 sera affiché le taux d'évolution du nombre de voitures particulières produites entre mars 2008 et janvier 2009.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %La valeur affichée dans la cellule C5 sera : 
Dans la cellule  C5, il y a le taux d'évolution de mars 2008 à juin 2008, soit 

$\dfrac{460,59 - 472,63}{472,63}\times 100 \approx -2,55$\,\%.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} $- 0,97$\:\%& 
%\textbf{b.~~} $- 12,04$\:\% &
%\textbf{c.~~} $- 2,55$\:\%\\
%\end{tabularx}

\medskip
 
\item  %Quelle formule, à recopier sur la plage C3:C 14, peut-on entrer dans la cellule C3 ?

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} = (B3-B2)/B2& 
%\textbf{b.~~} (B\$3-B2)/B2&
%\textbf{c.~~} (B3-B\$2)/B\$2\\
%\end{tabularx}
Formule : \fbox{~(B3-B\$2)/B\$2~}
\medskip 

\item %Le nombre de voitures particulières produites en mars 2008 est pris comme indice base 100.
Si 100 correspond à 472,63, alors  L'indice de mai 2008, arrondi au centième, est $\dfrac{461,18}{472,63}\times 100 \approx 97,58$.
%L'indice de mai 2008, arrondi au centième, est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} 97,58& 
%\textbf{b.~~} 102,42&
%\textbf{c.~~} 88,55\\
%\end{tabularx}
 
\item %Sur les douze mois de mars 2008 à mars 2009, le taux d'évolution mensuel moyen du nombre de voitures particulières produites, arrondi au centième près, est :
Le taux d'évolution de mars 2008 à mars 2009 est : $\dfrac{394,62 - 472,63}{472,63}\times 100 \approx -16,51\,\%$.

Donc si $t$ est le taux d'évolution mensuel moyen du nombre de voitures particulières produites durant cette période, alors :

$(1 + t)^{12} = 1 - 0,1651 \iff (1 + t)^{12} = 0,8349 \iff 1 + t = 0,8349^{1/12} \iff t = 0,8349^{1/12} - 1 \approx - 0,0149$ soit environ $- 1,49\,\%$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} - 16,51\:\%& 
%\textbf{b.~~} - 1,49\:\%&
%\textbf{c.~~} - 1.38\:\%\\
%\end{tabularx}
\medskip 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip 

%Un club d'arts martiaux propose à ses adhérents de pratiquer le judo ou le karaté. Ce sont les deux seuls proposés. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu'un seul de ces deux arts martiaux.
% 
%De plus, certains des adhérents font de la compétition, d'autres non.
%
%\medskip
% 
%À son entrée dans le club, chaque adhérent a rempli une fiche de renseignements. En consultant ces fiches, on constate que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 40\:\% des adhérents pratiquent le judo et, parmi eux, 65\:\% font de la compétition ; 
%\item[$\bullet~$] parmi les adhérents qui pratiquent le karaté, 45\:\% font de la compétition.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On choisit une fiche au hasard. On suppose que chaque fiche a la même probabilité d'être choisie. 
%
%\medskip
%
%On définit les évènements suivants :
% 
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] J: \og la fiche est celle d'un adhérent qui pratique le judo \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] K: \og la fiche est celle d'un adhérent qui pratique le karaté \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] C: \og la fiche est celle d'un adhérent qui fait de la compétition \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner la probabilité que la fiche tirée soit celle d'un adhérent qui fait de la compétition, sachant qu'il fait du karaté.
Parmi les adhérents qui font du karaté 45\,\% font de la compétition ; la probabilité est donc égale à $0,45$. 
\item  ~%Reproduire et compléter sur la copie l'arbre de probabilités représenté ci-dessous.

\medskip
 
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=1ex]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{J}\taput{$0,4$}}
		{
\TR{C}\taput{$0,65$}
\TR{$\overline{\text{C}}$}\tbput{$0,35$}
 		}
	\pstree{\TR{K}\tbput{$0,6$}}
		{
\TR{C}\taput{$0,45$}
 \TR{$\overline{\text{C}}$}\tbput{$0,55$}
 		}
}
		
\end{center}

\medskip

\item  %Définir par une phrase l'évènement J $~\cap~$ C puis calculer sa probabilité.
J $~\cap~$ C signifie : \og l'adhérent fait du judo \textbf{et} fait de la compétition \fg.

$p(\text{J} \cap \text{C}) = 0,4 \times 0,65 = 0,26$. 
\item  %Démontrer que la probabilité de l'évènement C est égale à $0,53$.
$p(\text{K} \cap \text{C}) = 0,6 \times 0,45 = 0,27$.

Donc $p(\text{C}) = p(\text{J} \cap \text{C}) + p(\text{K} \cap \text{C}) = 0,26 + 0,27 = 0,53$. 
\item  %Quelle est la probabilité qu'un adhérent, sachant qu'il fait de la compétition, pratique le judo ? 
Il faut calculer $p_{\text{C}}(\text{J}) = \dfrac{p(\text{J} \cap \text{C})}{p(\text{C})} = \dfrac{0,26}{0,53} = \dfrac{26}{53} \approx 0,49$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\medskip

%\begin{center} 
%\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
%\end{center}
 
%L'entreprise BONVOYAGE fabrique des bagages. Elle les vend ensuite à des magasins spécialisés dans les articles de tourisme.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
%Le tableau suivant donne les chiffres d'affaires annuels de l'entreprise BONVOYAGE de 2004 à 2009.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année& 2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline  
%Rang $x_{i}$ de l'année& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 
%Chiffre d'affaires $y_{i}$ exprimé en millions d'euros& 7,85& 8,23& 8,19& 8,62& 8,98& 9,46\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Une représentation du nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe 1 à rendre avec la copie. 
%
%\medskip
% 
%On souhaite réaliser un ajustement affine de ce nuage de points.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au centième).
En arrondissant les coefficients au centième, l'équation donnée par la calculatrice est :

$y = 0,31x + 7,79$. 
\item  %Dans la suite, on prendra comme droite d'ajustement la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 0,3x + 7,8$.
 
%Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'annexe 1, à rendre avec la copie.
Voir l'annexe. 
\item  %À l'aide de cet ajustement, donner une estimation du chiffre d'affaires en 2010.
2010 correspond au rang 6.

\emph{Graphiquement} : on trace la droite $x = 6$ qui coupe la droite $\mathcal{D}$ en un point dont on trouve l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées. On lit à peu près : 9,6.

\emph{Par le calcul} : si $x = 6,~y = 0,3 \times 6 + 7,8 = 1,8 + 7,8 = 9,6$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
%En 2004, le nombre de clients de l'entreprise BONVOYAGE était égal à \np{1700}.
%
%Depuis, on estime que le nombre de clients augmente de 2\,\% par an.
% 
%On note $u_{0}$ le nombre de clients de l'entreprise en 2004 et $u_{n}$ le nombre de clients pour l'année $2004 + n$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
On a $u_{n+1} = u_{n}\times 1,02$, ce qui signifie que la suite  $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 1,02$ et de premier terme $u_{0} = \np{1700}$.
\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $u_{n} = u_{0}\times q^n = \np{1700}\times 1,02^n$. 
\item %Calculer le nombre de clients de l'entreprise en 2010.
2010 correspond à $n = 6$, donc le nombre de clients de l'entreprise en 2010 est 

$u_{6} = \np{1700}\times 1,02^6 \approx \np{1914}$.
\item %Le document présent en annexe 1 est un extrait d'une feuille de calcul dans laquelle on veut faire afficher, selon ce modèle, le nombre de clients attendus à partir de 2004. On cherche une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas d'obtenir le contenu des cellules de la plage C3:C8.
 
%Parmi les propositions ci-dessous, écrire sur la copie toutes celles qui peuvent convenir (on ne demande pas de justification).
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
%\begin{tabularx}{\linewidth} {*{3}{X}}
%\fbox{=C2*D\$2}& \fbox{=C2*1+D2}&\fbox{=C2*(1+D\$2)}\\
%\fbox{=C2*(1,02)}&\fbox{C2*(1+ \$D2)}&\fbox{ C\$2*1,02\verb?^?B3}\\
%\end{tabularx}
Formules : \fbox{~C2*(1+D\$2)~} ou \fbox{~=C2*(1,02)~}
\medskip
 
\item %\emph{Dans cette question. toute trace de recherche. même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Déterminer, selon ce modèle, à partir de quelle année le nombre de clients sera supérieur à \np{2000}.
Il faut résoudre l'inéquation :

$u_{n} > \np{2000} \iff  \np{1700}\times 1,02^n > \np{2000} \iff 1,02^n > \dfrac{\np{2000}}{\np{1700}} \iff n \ln 1,02 > \ln \left(\dfrac{\np{2000}}{\np{1700}} \right)$ (par croissance de la fonction logarithgme népérien) $\iff n> \dfrac{\ln \left(\frac{\np{2000}}{\np{1700}} \right)}{\ln 1,02}$.

Or $\dfrac{\ln \left(\frac{\np{2000}}{\np{1700}} \right)}{\ln 1,02} \approx 8,2$. Il faut donc prendre $n = 9$, c'est-à-dire attendre 2013.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

%\begin{center}
%\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center}
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
% Formulaire\\ \hline
%Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors $uv$ est dérivable sur I et $(uv)' = u'v + uv'$\\\hline 
%Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors $\text{e}^{u}$  est dérivable sur I et $\left(\text{e}^{u}\right)' = u'\text{e}^{u}$.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Chez un fabriquant de produits chimiques, une fuite de substance toxique s'est produite dans un atelier.
% 
%On note $x$ le temps, exprimé en minutes, écoulé depuis l'instant où la fuite a commencé.
% 
%On s'intéresse à l'évolution de la concentration en substance toxique dans l'atelier, en fonction de $x$, durant les trente premières minutes. 
%
%On admet que cette concentration, exprimée en microgrammes par m$^3$, peut être modélisée par la fonction $f$ définie pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~30] par :
%
%\[f(x) = 3x\text{e}^{-0,2x}\]


\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
%L'alarme installée dans l'atelier sonne tant que la concentration en substance toxique est supérieure ou égale à 2,5 microgrammes par m$^3$.
% 
%En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ donnée en annexe 2, répondre, avec la précision du graphique, aux deux questions ci-dessous.
 
\begin{enumerate}
\item %Au bout de combien de temps après le début de la fuite l'alarme s'est-elle déclenchée ? 
On trace la droite d'équation $y = 2,5$ qui coupe la courbe représentative de la fonction $f$ en un premier point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses ; on lit $x = 1$. L'alarme s'est donc déclanchée au bout d'une minute.
\item %Pendant combien de temps l'alarme a-t-elle sonné ?
La droite $y = 2,5$ coupe la courbe en un second point d'abscisse 14.

Donc l'	alarme a sonné pendant $14 - 1 = 13$~min.
\end{enumerate}

 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~30].

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ et vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~30] on a : 

%$f'(x) = (3 - 0,6x)\text{e}^{-0,2x}$.
Avec $u(x) = 3x$ et $v(x) = \text{e}^{-0,2x}$ ;

$u'(x) = 3$ et $v'(x) = - 0,2\text{e}^{-0,2x}$.

Comme  $f(x) = u(x) \times v(x)$, on a :

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3\text{e}^{-0,2x} - 0,6\text{e}^{-0,2x} = \text{e}^{-0,2x}(3 - 0,6x)$. 
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~30].
Comme $\text{e}^{-0,2x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de la différence $3 - 0,6x$.

$3 - 0,6x > 0 \iff 3 > 0,6x \iff x < 5$ ; donc $f'(x) > 0$ sur [0~;~5[.

De m\^eme $3 - 0,6x < 0 \iff 3 < 0,6x \iff x > 5$ ; donc $f'(x) < 0$ sur [5~;~30[.
\item %Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
On en déduit le tableau de variations de $f$ suivant, avec $f(0) = 0$, $f(5) = 15\text{e}^{-1}$ et $f(30) = 90\text{e}^{-6}$.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$5$} \uput[u](7.8,2.5){$30$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){$+$}\rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](2.1,0){$0$}\uput[d](5,2){$15\text{e}^{-1}$} \uput[u](7.5,0){$90\text{e}^{-6}$}
\psline{->}(2.4,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center}
\item %En déduire à quel moment la concentration en substance toxique dans l'atelier est maximale.
On voit que la maximum de la fonction, donc de la concentration a lieu au bout de 5 minutes et vaut $15\text{e}^{-1} \approx 5,52$~microgrammes par mètre cube. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Chiffre d'affaires de l'entreprise BONVOYAGE}

\medskip

\psset{xunit=1.2cm,yunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,7)(9,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=7,Dy=0.1]{->}(0,7)(9,11)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](0,7.85)(1,8.23)(2,8.19)(3,8.62)(4,8.98)(5,9.46)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,7)(9,11)
\multido{\n=7.0+0.1}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\uput[d](4.5,6.7){Rang de l'année}
\rput{90}(-0.75,9){Chiffre d'affaires en millions d'euros}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{0.3 x mul 7.8 add}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(6,7)(6,9.6)(0,9.6)
\end{pspicture} 

\vspace{2cm}

\textbf{Nombre de clients de l'entreprise BONVOYAGE depuis 2004}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A &B &C &D\\ \hline 
1 &Année &Rang $n$ de l'année& Nombre de clients $u_{n}$& Taux d'augmentation\\ \hline 
2 &2004 &0	&\np{1700}	& 2\:\%\\ \hline 
3 &2005 &1	&			&\\ \hline 
4 &2006 &2	&			&\\ \hline  
5 &2007 &3	&			&\\ \hline  
6 &2008 &4	&			&\\ \hline  
7 &2009 &5	&			&\\ \hline  
8 &2010 &6	&			&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
La plage C2\verb?:?C8 est au format nombre à zéro décimale.
 
La cellule D2 est au format pourcentage à zéro décimale. 
\end{center} 
\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2}

\vspace{1,5cm}

\textbf{Concentration en substance toxique dans l'atelier}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(30,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(30,6)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{30}{3 x mul 2.71828 0.2 x mul exp div}
\multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(30,\n)}
\uput[d](15,-0.5){Temps en minutes}\rput{90}(-2.5,3){Concentration en microgrammes par mètre cube}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,2.5)(1,2.5)(1,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,2.5)(14,2.5)(14,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}