\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx,multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\textwidth}{14cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STG},
pdftitle = {Mercatique   Centres étrangers juin 2010},
allbordercolors = white}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Centres étrangers~\decofourright\\ juin 2010}}


\vspace{0,25cm}
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
 
Une municipalité propose une carte annuelle \og pass culture \fg{} à ses administrés. Il s'agit d'une carte qui donne accès aux spectacles programmés dans la commune avec un tarif préférentiel.
 
Cette carte est proposée avec deux options : l'option \og \emph{cinéma}\fg{} et l'option \og \emph{tout spectacle} \fg. Un administré n'a droit qu'à une seule carte et celle-ci est individualisée par un numéro. Selon un critère social, une subvention de la municipalité peut être accordée lors de l'achat de cette carte.
 
Pour cette année, le service municipal à la culture a donné le bilan suivant :
 
Les cartes avec l'option \og tout spectacle\fg{} représentent 35\,\% des cartes \og pass culture \fg{} et 25\,\% de celles-ci ont été l'objet de la subvention municipale. Pour les cartes avec l'option \og \emph{cinéma} \fg, 45\,\% ont été l'objet de la subvention. 
Lors d'une enquête, un numéro de carte est tiré au hasard. 
On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $T$ : l'évènement \og le numéro tiré est celui d'une carte avec l'option \emph{tout spectacle} \fg{}; 
\item[$\bullet~$] $C$ : l'évènement \og le numéro tiré est celui d'une carte avec l'option \emph{cinéma}\fg{}; 
\item[$\bullet~$] $S$ : l'évènement \og le numéro tiré est celui d'une carte ayant été l'objet de la subvention \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilité représenté ci-dessous. 

\medskip
\begin{center}\pstree[treemode=R,nodesep=1.5ex]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$T$}\taput{$0,35$}}
		{
\TR{$S$}\taput{$0,25$}
\TR{$\overline{S}$}\tbput{}
 		}
	\pstree{\TR{$C$}\tbput{$$}}
		{
\TR{$S$}\taput{$$}
\TR{$\overline{S}$}\tbput{$$}
 		}
}
		
		 \end{center}
\medskip 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $C \cap~\overline{S}$. 
		\item Calculer la probabilité $P\left(C \cap~\overline{S}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $\overline{S}$ est égale à $0,62$. 
\item Les évènements $C$ et $\overline{S}$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} (\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment})\hfill 6 points}

\medskip

Dans cet exercice on se propose de préciser et compléter des données issues d'un article publié sur le site du Ministère de l'Environnement, de l'Énergie, du Développement Durable et de La Mer.

\bigskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{\og En France, depuis 1980, 204 stations de ski sont équipées en canons à neige. 
L'équipement pour la production de neige artificielle connait une croissance rapide, avec une évolution de la puissance électrique installée pour le fonctionnement des canons à neige de 9\,\% entre 2007 et 2008 et une évolution annuelle moyenne de la puissance électrique installée de 7\,\% entre 2002 et 2008. \fg} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline 
Saison& Puissance électrique installée en kW \\ \hline
2002& \np{178004} \\ \hline
2003& \np{194273} \\ \hline
2004& \np{208208} \\ \hline
2005& \np{218026} \\ \hline
2006& \np{231089} \\ \hline 
2007& \np{240107} \\ \hline
2008& \np{262191} \\ \hline
\end{tabularx}} 
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant les données du tableau ci-dessus: 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier par un calcul la valeur approchée 9\,\% du taux d'évolution de la puissance électrique installée pour le fonctionnement des canons à neige entre 2007 et 2008. 
		\item Justifier par un calcul la valeur approchée 7\,\% du taux annuel moyen d'évolution de la puissance électrique installée entre 2002 et 2008.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant ce taux d'évolution moyen de 7\,\% donné dans l'article, quelle valeur de la puissance électrique installée, arrondie à l'unité, peut-on prévoir pour la saison 2010 ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
\parbox{0.5\linewidth}{\og La neige de culture (obtenue par des canons à neige) consomme beaucoup d'eau, avec 18,3 millions de m$^3$ d'eau pour la saison 2007. \fg} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline  
Saison& Rang& Consommation d'eau (en millions de m$^3$)\\ \hline
2002& 1& 11,6\\ \hline 
2003& 2& 13,1\\ \hline 
2004& 3& 15,1\\ \hline 
2005& 4& 16\\ \hline 
2006& 5& 16\\ \hline 
2007& 6& 18,3\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur la feuille donnée en annexe, à rendre avec la copie, représenter le nuage de points de la série ci-dessus. 
\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à $0,01$). 
\item Dans cette question, on considère la droite $(D)$ d'équation $y = 1,2x + 11$ comme droite d'ajustement affine du nuage de points. 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter cette droite dans le repère de la feuille donnée en annexe. 
		\item À l'aide de l'ajustement affine défini par la droite $(D)$, déterminer la consommation d'eau en millions de m$^3$ que l'on peut prévoir pour la saison 2008.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

\medskip
 
\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.} 

\medskip
\emph{Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie.}

\medskip 
\emph{Aucune justification n'est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} 


\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Soit une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3~;~ 3]$ par 

\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]

On donne ci-contre son tableau de variation.}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3)\psline(0,2.5)(6,2.5) \psline(0.5,0)(0.5,3)
\psline{->}(1,0.6)(3,2.2)\psline{->}(3.5,2.2)(5.4,0.6)
\uput[u](0.7,2.5){$-3$} \uput[u](0.25,2.5){$x$} \uput[u](3.25,2.5){$-1$} \uput[u](5.8,2.5){$3$} \uput[u](0.85,0){$- \text{e}^{3}$} \uput[u](5.65,0){$5\text{e}^{-3}$} \rput(3.25,2.2){$\text{e}$}
\rput(0.25,1.25){$f$}
\end{pspicture}}

\bigskip
 
Question 1 : Le nombre $\alpha$ est un nombre tel que $0 < \alpha < 1$, on a alors pour $f(\alpha)$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$f(\alpha) < f(1)$&$f(0) > f(\alpha)$&$f(0) <f(\alpha)$&$\text{e} < f(\alpha)$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 

Question 2 : Le signe de la fonction $f'$ dérivée de $f$ sur $[-3~;~3]$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
positif sur $[-3~;~3]$&négatif sur $[-3~;~1]$&positif sur $[-3~;~ -1]$&négatif sur $[-3~;~3]$ \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip  
 
Question 3 : L'expression de $f'$, la fonction dérivée de $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$- \text{e}^{-x}$&$(-x -1)\text{e}^{-x}$ &$\text{e}^{x}$ &$(x + 3)\text{e}^{-x}$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 
 
Question 4 : Une valeur approchée de $f(-0,5)$ à \np{0,00001} près est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\np{2,47308}&\np{2,60341} &\np{2,82158} &\np{2,82436}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 
 
Question 5 : Sur l'intervalle $[-3~;~3]$, l'équation $f(x) = 3$ 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
n'a pas de solution&a une seule solution&a deux solutions&on ne peut pas savoir\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Monsieur X souhaite installer un chauffage géothermique dans sa maison. Une société spécialisée lui propose une étude. Un forage initial de 100~mètres doit être réalisé et des échangeurs de chaleur doivent être installés dans la maison.
 
Le coût de cette réalisation serait pour Monsieur X de \np{3500}~\euro.
 
\begin{enumerate}
\item Pour améliorer le rendement de l'installation, la société qui installe ce chauffage suggère de réaliser un forage plus profond. Chaque décamètre supplémentaire est facturé 55~\euro (on rappelle que 1 décamètre se note 1 dam et 1 dam = 10~m). La société remet à Monsieur X la feuille de calcul reproduite ci-dessous qui met en relation les forages supplémentaires, le coût de l'installation et les économies annuelles en chauffage par rapport à une installation \og classique \fg.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A &B &C &D& E\\ \hline 
1&profondeur du forage :& profondeur suppl. (dam)& coût de l'installation& 
économie réalisée/an&amortie en (ans)\\ \hline 
2 &100 + 0  &0 &\np{3500}~\euro &500~\euro &7,0\\ \hline  
3 &100 + 10 &1 &\np{3555}~\euro &525~\euro&\\ \hline  
4 &100 + 20 &2 &\np{3610}~\euro &551~\euro&\\ \hline 
5 &100 + 30 &3 &\np{3665}~\euro &579~\euro&\\ \hline 
6 &100 + 40 &4 &\np{3720}~\euro &608~\euro&\\ \hline 
7 &100 + 50 &5 &\np{3775}~\euro &638~\euro&\\ \hline 
8 &100 + 60 &6 &\np{3830}~\euro &670~\euro&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Le coût de l'installation est représenté par une suite $\left(u_{n}\right)$ où $n$ désigne le nombre de décamètres supplémentaires du forage.
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser les éléments caractéristiques de cette suite. 
		\item Justifier la phrase \og le coût de l'installation pour un forage de 260~mètres de profondeur est représenté par $u_{16}$ \fg. 
		\item Quel est le coût de l'installation pour un forage de 260 mètres de profondeur?
	\end{enumerate} 
\item La société donne, dans la colonne D, une modélisation de l'économie annuelle en chauffage selon la profondeur du forage que fera Monsieur X. Pour une profondeur de 100~mètres l'économie est de 500~\euro{} par an et pour tout décamètre supplémentaire elle est augmentée de 5\,\%. Cette économie est représentée par une suite $\left(v_{n}\right)$ où $n$ désigne le nombre de décamètres supplémentaires. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Préciser les éléments caractéristiques de cette suite. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Quelle formule, écrite en D3 qui, recopiée vers le bas, permet d'obtenir les valeurs qui figurent dans la colonne D ?
			\end{enumerate} 
\item Monsieur X a souhaité calculer en combien de temps son installation sera amortie. Ainsi pour un forage minimal de 100~mètres, il aura amorti son installation en 7 ans (car

$\dfrac{3500}{500} = 7$). 

Monsieur X opte pour une profondeur de forage de 260~mètres. Au bout de combien d'années son installation sera-t-elle amortie ? 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1,9)(8,20)
\psaxes[Oy=10](0,10)(8,20)
\psframe(0,010)(8,20)
\uput[d](4,9){\textbf{Rang de l'année}}
\rput{90}(-1,15){\textbf{Consommation d'eau (en millions de m \boldmath$^3$\unboldmath)}}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}