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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
%Tapuscrit{Jean-Paul GOUALARD}
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\begin{document}

\begin{center}\section*{\fbox{\textcolor{red}{Correction du sujet 2009}}}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1}}
Notons $G$ l'événement : \og Le favori gagne sa partie~\fg. On a p(G)=0,9.
\begin{enumerate}
\item La probabilité que \og Le favori~\fg{} perde son match est $1 - 0,9$=\boxed{\textcolor{red}{0,1}} ($p\left(\overline{G}\right)=1-p(G)$)

\item Notons $G_{n}$ l'événement \og Le favori gagne le n\ieme match~\fg.\\
La probabilité que \og Le favori~\fg~gagne ses deux premiers matches est égale à $p\left(G_{1}\cap G_{2}\right)=p\left(G_{1}\right)\times\left(p(G_{2}\right)=0,9^2=\boxed{\textcolor{red}{0,81}}$ (car les résultats des matches successifs sont indépendants).

\item Les résultats successifs étant indépendants, la probabilité qu'il gagne le match suivant sachant qu'il a gagné son premier match est égale à la probabilité qu'il gagne.\\
$p_{G_{1}}\left(G_{2}\right)=p\left(G_{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{0,9}}$.

\item \og Le favori~\fg~ne joue qu'un ou deux matches s'il perd à la première ou à la deuxième partie : c'est l'événement contraire du précédent : \og Il a gagné ses deux premiers matches~\fg.\\
La probabilité cherchée est donc $1-0,81=\boxed{\textcolor{red}{0,19}}$.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item À l'aide la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés est : $\boxed{\textcolor{red}{y=-0,0764x+49,274}}$.

\item Voir graphique à la fin de l'exercice

\item 2008 correspond à un rang égal à 28 : on remplace $x$ par 28.\\
$-0,764\times 28+49,274\approx 46,96$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Avec cet ajustement, on peut envisager un record du monde en 2008 de 46,96 s}}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution entre 1981 et 2000 est : $\dfrac{47,84-49,36}{49,36}\approx -0,0307$, soit une baisse d'environ 3,07\:\%.

\item Petite erreur de formulation de la question : de 1981 à 2000, cela fait 20 ans, mais 19 changements d'années.\\
Notons $t$ le taux moyen annuel d'évolution du record : on a, en utilisant les coefficients multiplicateurs :\\
$(1-t)^{19}=1-0,0307=0,693$. On en déduit : $1-t=0,693^{\frac1{19}}$ d'où $t=1-0,693^{\frac1{19}}\approx 0,001639\approx \boxed{\textcolor{red}{0,164\:\%}}$

\item Avec ce modèle, on obtiendrait en 2008 un record de : $49,36\times \left(1-\dfrac{0,164}{100}\right)^{27}\approx \boxed{\textcolor{red}{47,22}}$ s.
\end{enumerate}
\item L'écart entre la valeur réelle du record et la valeur estimée est de 9 centièmes de seconde avec la première méthode et de 17 centièmes avec la seconde méthode.\\
\textcolor{red}{C'est la première méthode qui a donné la meilleure approximation.}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\psset{xunit=0.33cm,yunit=2.7cm,algebraic=true,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,46.3)(32,49.5)
\psaxes[Dx=2,linewidth=1.5pt,Dy=0.1,Oy=46.5]{->}(0,46.5)(32,49.5)
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,46.5)(\n,49.5)}
\multido{\n=46.5+0.1}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(32,\n)}
\uput[d](16,46.3){Rang de l'ann\'ee}
\rput{90}(-4,48.1){Temps en secondes}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](1,49.36)(5,48.95)(6,48.74)(8,48.42)(14,48.21)(20,47.84)
\psplot[linecolor=red]{0}{28}{-0.0764*x+49.274}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
\begin{enumerate}
\item En B3, on doit taper = B2 * 1,035

\item En C3, on doit taper = C2 * 1,02 + 170
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n$, on a : $b_{n+1}=1,035b_{n}$ donc $\left(b_{n}\right)$ est une suite \fbox{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=1,035$ et de premier terme $b_{0}=\nombre{10000}$.

\item On en déduit que : $b_{n}=b_{0}q^n=\boxed{\textcolor{red}{\nombre{10000}\times 1,035^n}}$.

\item Pour $n=10$, on trouve $b_{10}=\nombre{10000}\times 1,035^{10}\approx \boxed{\textcolor{red}{\nombre{14105,99}\text{~ \euro}}}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $c_{2}=1,02c_{1}+170=1,02\times \nombre{10370}+170\approx\boxed{\textcolor{red}{\nombre{10747,4}\text{~\euro}}}$.

\item On admet que $c_{n+1}=1,02c_{n}+170$.\\
Alors $c_{10}=1,02c_{9}+170$ et $c_{9}\approx \nombre{13609,21}$ (donné dans le tableau) d'où : $c_{10}\approx \boxed{\textcolor{red}{\nombre{14051,39}\text{~\euro}}}$.
\end{enumerate}

\item $b_{10}>c_{10}$. L'offre la plus intéressante émane de la banque B (pour un investissement (de 10 ans).
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4}}
\begin{enumerate}
\item Au bout de trois ans, il aura $800\times 1,045^3\approx \boxed{\textcolor{red}{912,93\text{~\euro}}}$.

\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~18]$ par $f(x)=800\times 1,045^x$.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=800\times \mathrm{e}^{x\ln(1,045)}$ ; on peut voir $f$ comme $800\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=x\ln(1,045)$.\\
En dérivant, on obtient : $f'=800\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=800\times u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u'(x)\ln(1,045)$.\\
Par conséquent : $f'(x)=800\ln(1,045)\mathrm{e}^{x\ln(1,045)}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=500\ln(1,045)\times 1,045^x}}$.

\item 800>0 ; 1,045>1 donc $\ln(1,045)>0$ ; $1,045^x=\mathrm{e}^{x\ln(1,045)}>0$ donc $f'(x)>0$ sur $[0~;~18]$.\\
On en déduit que $f$ est croissante sur $[0~;~18]$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Graphiquement, on trouve : $f(4,5)\approx \boxed{\textcolor{red}{975}}$

\item Le capital aura doublé lorsqu'il dépassera \nombre{1600}~\euro. Graphiquement, on trouve qu'il faut avoir $\boxed{\textcolor{red}{x\geqslant 15,8}}$ environ.\\
Il faudra que Thomas attende environ seize ans pour voir son capital doubler.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,yunit=0.0075cm}
\begin{pspicture}(0,700)(19,1900)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=800,Dy=100](0,800)(19,1900)
\multido{\n=0+0.5}{39}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,800)(\n,1900)}
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\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt,plotpoints=5000]{0}{18}{1.045 x exp 800 mul}
\uput[d](18,1750){$\mathcal{C}$}
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\end{pspicture}
\end{center}
\label{fin}
\end{document}  