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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STG Mercatique}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Polynésie~\decofourright\\10 juin 2011}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}

\medskip 

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse}

\medskip 
 
\textbf{I.}  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 2x\text{e}^x$. Sa dérivée $f'$ est définie par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f^{\prime}(x) = 2\text{e}^x$ 	 &\textbf{b.~~} $f^{\prime}(x) = 2 + \text{e}^x$\\ 
\textbf{c.~~} $f^{\prime}(x) = (2x + 2 )\text{e}^x$&\textbf{d.~~}$f^{\prime}(x) = 2x\text{e}^x$\\
\end{tabularx}
\medskip

\parbox{0.22\linewidth}{\textbf{II.} 
 La courbe ci-contre représente une fonction $g$ définie sur l'intervalle $[- 2~;~6]$.}\hfill
\parbox{0.73\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{6}{x 2 sub x 5.5 sub mul x 1.5 add mul 4 mul 33 div}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\psline[linewidth=1.2pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(3,-2)(5,-2)
\end{pspicture}} 
 
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ est dérivable sur $[- 2~;~6]$ et l'on note $g^{\prime}$ sa fonction dérivée.

Parmi les quatre courbes données ci-dessous, indiquer laquelle représente $g^{\prime}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} \psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{6}{x 2 sub x 5.5 sub mul x 1.5 add mul 4 mul 33 div}
%\psline{<->}(3,2)(5,-2)
\end{pspicture}  & \textbf{b.~~} \psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-3,-2)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2)(7,4)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{5.5}{x 4 sub x mul  2 mul 5 div}
\end{pspicture} \\
\textbf{c.~~} \psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{6}{x 2 sub x 5.5 sub mul x 1.5 add mul 4 mul 33 div neg}
%\psline{<->}(3,2)(5,-2)
\end{pspicture}   & \textbf{d.~~} \psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{5.5}{x 4 sub x mul 2  mul 5 div neg}
%\psline{<->}(3,2)(5,-2)
\end{pspicture} \\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Le nombre de solutions de l'équation $g(x)=0$ sur l'intervalle $[- 2~;~6]$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0$& 	\textbf{b.~~} $1$& 	\textbf{c.~~} $2$&  \textbf{d.~~} $3$\\
\end{tabularx}
\medskip
  
\item  Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $4$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y = x - 2$& 	\textbf{b.~~} $x = - 2$& 	\textbf{c.~~} $y = - 2$&  \textbf{d.~~} $x = 2$\\
\end{tabularx}
\medskip  

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un concessionnaire de voitures possède un parc de véhicules d'occasion et de véhicules neufs, de deux marques différentes : la marque A et la marque B.
 
En faisant le bilan de l'année passée, il constate que 20\,\% de ses ventes concernent des voitures neuves. Parmi ces voitures neuves vendues, 3 véhicules sur 10 sont de la marque A.
 
On tire au hasard une fiche client et on note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $N$ l'évènement : \og la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture neuve \fg, 
\item[$\bullet~~$] $O$ l'évènement : \og la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture d'occasion \fg, 
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement : \og la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture de marque A \fg, 
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement : \og la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture de marque B \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\emph{Toutes les probabilités demandées seront données sous forme décimale.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner, à partir des informations de l'énoncé : 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité $p(N)$ de l'évènement $N$, 
		\item La probabilité $p_{N}(A)$ de l'évènement A sachant $N$. 
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter au fur et à mesure l'arbre pondéré suivant avec les probabilités 
	correspondant à chaque branche.
	
	\medskip
	
	\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$N$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{A}
\TR{}~[tnpos=r]{B}
 		}
	\pstree{\TR{$O$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{A}
 \TR{}~[tnpos=r]{B}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item En déduire la probabilité $p(O)$ de l'évènement $O$ et la probabilité $p_{N}(B)$ 
de l'évènement $B$ sachant $N$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la fiche concerne un client ayant acheté une voiture neuve de 
	marque B.
		\item Le concessionnaire constate que  62\,\% des clients ont acheté une voiture de marque B.

Démontrer que, la probabilité que la fiche concerne un client ayant acheté un véhicule 
d'occasion de marque B est : $p(O \cap B)  = 0,48$.
		\item  En déduire la probabilité que le véhicule soit de la marque B sachant qu'il  a été acheté 
d'occasion.
		\end{enumerate} 
\item Les évènements $B$ et $O$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip
 
On s'intéresse au tarif d'affranchissement postal en France depuis l'année 2002. Le tableau suivant donne l'évolution du prix du timbre-poste au cours de ces huit dernières années.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2002 &2003 &2005 &2006 &2008 &2009 &2010\\ \hline 
Prix du timbre (en euros)&0,46 &0,50 &0,53 &0,54 &0,55 &0,56 &0,58\\ \hline 
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : ARCEP (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes)}}
\end{tabularx} 
\medskip  

\emph{Les prix demandés seront arrondis au centime. Les taux seront donnés en pourcentages arrondis 
à} 0,1\,\%

\begin{enumerate}
\item Déterminer le taux d'évolution du prix du timbre entre 2002 et 2010.
\item Déterminer le taux d'évolution annuel moyen du prix du timbre durant ces  huit années.
\item L'ARCEP a décidé qu'entre 2009 et 2011 le taux d'évolution annuel moyen du prix du 
	timbre poste ne pourrait dépasser 2,3\,\%.
	
Si le prix du timbre augmentait de 	1~centime en 2011, la décision de l'ARCEP serait-elle respectée ? 
\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

On désire réaliser une étude de l'évolution du prix du timbre, à l'aide d'une feuille de calcul, en partant d'un prix de 0,59~\euro{} en 2012 et en appliquant une augmentation annuelle de 2,3\,\% à partir de cette date.
 
On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ où $v_{n}$ représente la valeur estimée, selon ce modèle, du prix du timbre l'année $(2012 + n)$.
 
On a ainsi $v_{0} = 0,59$ correspondant au prix du timbre en 2012.
 
On obtient la feuille de calcul suivante :

\emph{Les cellules de la plage} B2 : B10 \emph{sont au format nombre à deux décimales.}

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A&B&C\\ \hline
1&$n$&$v_{n}$&\\ \hline
2&0&0,59&\\ \hline
3&1&0,60&\\ \hline
4&2&0,62&\\ \hline
5&3&$\cdots$&\\ \hline
6&4&$\cdots$&\\ \hline
7&5&$\cdots$&\\ \hline
8&6&$\cdots$&\\ \hline
9&7&$\cdots$&\\ \hline
10&8&$\cdots$&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Donner la raison de cette suite.
\item Donner une formule qui, écrite dans la cellule B3, permet d'obtenir, par recopie vers le bas, la plage de cellules B4 : B10 ? 
\item Quel serait alors le prix du timbre en 2017 ? 
\item Selon ce modèle, en quelle année le prix du timbre poste dépasserait-il 75~centimes d'euro ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Un propriétaire de camping désire aménager son terrain avec des bungalows et des mobil-homes. 

La taille de son terrain lui impose un maximum de 50~installations. Il peut loger 6~personnes par bungalow et 4 personnes par mobil-home.  L'infrastructure du camping ne l'autorise pas à dépasser le nombre de 240~clients par semaine.
 
On notera $x$ le nombre de bungalows et $y$ le nombre de mobil--homes que le propriétaire désire installer.
 
\begin{enumerate}
\item Décrire par un système d'inéquations les contraintes du problème en justifiant vos affirmations. 
\item Justifier que le système demandé est équivalent au système (S) suivant : 

\[(\text{S})\quad\left\{\begin{array}{l c l}
x&\geqslant&0\\
y&\geqslant&0\\
y&\leqslant& - x + 50\\
y&\leqslant& - 1,5x + 60\\
\end{array}\right. \quad \text{o\`u}\,\,x\, \text{et}\, y\, \text{sont des nombres entiers.}\] 

Sur le graphique donné en \textbf{annexe}, on a tracé dans  un repère orthogonal, les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ d'équations respectives $y = - x + 50$ et $y = -1,5x + 60$. 

Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient le système (S). 
\item Préciser en justifiant si le propriétaire peut installer sur son terrain et louer : 
	\begin{enumerate}
		\item 10 bungalows et 35 mobil-homes ?
	 	\item 30 bungalows et 20 mobil-homes ?
	\end{enumerate} 
\item Un bungalow se loue 500 ~\euro{} la semaine et un mobil--home 400~\euro{} la semaine. Soit $R$ le revenu hebdomadaire que recevra le propriétaire. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $R$ en fonction de $x$ et $y$.
		\item Déterminer une équation de la droite $(d)$ correspondant à un revenu hebdomadaire de \np{12000}~\euro, puis tracer cette droite sur le graphique.
		\item En justifiant la démarche, déterminer graphiquement le couple $(x~;~y)$ qui permet d'obtenir un revenu hebdomadaire maximum.
		\item Préciser combien d'installations de chaque type doit acquérir le propriétaire pour obtenir le revenu maximum. Calculer alors ce revenu. 	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\bigskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 4}

\bigskip

\psset{xunit=0.17cm,yunit=0.12cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(65,70)
\uput[u](57,0){Nombre de bungalows}\uput[r](0,68){Nombre de mobil-homes}
\uput[d](65,0){$x$}
\uput[l](0,70){$y$}
\multido{\n=0+5}{14}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+5}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(65,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-5,-5)(65,70)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{-5}{55}{50 x sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{-5}{43}{60 1.5 x mul  sub}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}