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%Tapuscrit : Denis Vergès
% François Couloigner pour l'annexe : merci à lui
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG CGRH}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Baccalauréat STG CGRH  Polynésie \decofourright\\ juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on donnera les valeurs exactes des probabilités.}

\medskip

Lue achète un lot de 20 clés USB de deux marques, Gralinte et Kincoss, toutes les clés ayant la même forme extérieure.

De la première marque il a pu acquérir cinq clés de capacité 512 Mo, deux de 1 Go et une de 2 Go.
 
De la seconde il ramène huit clés de capacité 512 Mo, deux de 1 Go et deux de 2 Go. (1~Go~=~\np{1000} Mo).
 
Il choisit au hasard l'une de ces clés.

On note dans la suite les évènements suivants :

$G$ : \og La clé choisie est de marque Gralinte \fg ;
 
$K$ : \og La clé choisie est de marque Kincoss \fg ; 
 
$A$ : \og La capacité de la clé choisie est de 512 Mo \fg ; 
 
$B$ : \og La capacité de la clé choisie est de 1 Go \fg ; 
 
$C$ : \og La capacité de la clé choisie est de 2 Go \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité de l'évènement $K$,
		\item Donner la probabilité de l'évènement $A$ sachant $K$.
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant, en écrivant sur chaque branche la probabilité correspondante :

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3.5cm,nodesep=5pt,treesep=1cm]{\Tdot}
{\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$G$}\taput{$0,4$}}{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}
				}
\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$K$}}{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\tbput{$1/6$}
				}
}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que Luc ait choisi une clé de 512 Mo ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  7 points}


\medskip

On considère la série statistique chronologique ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années $x_{i}$	&1997		&1998		&1999		&2000		&2001\\ \hline
Emploi total en 
milliers $y_{i}$&\np{22223}	&\np{22479}	&\np{22672}	&\np{23261} &\np{23759}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source INSEE, enquêtes emplois et comptes nationaux. Données de mars de chaque année}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Modélisation par un ajustement affine}

La droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation

\[y = 	385,4 x - \np{747535,8}.\]

On suppose que l'évolution se poursuit selon le modèle donné par l'ajustement affine.

À l'aide de cet ajustement affine, déterminer par le calcul le nombre de personnes en emploi total (en milliers) prévisible pour l'année 2003.
\item  \textbf{Modélisation par une suite géométrique}
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution global de l'année 1997 à l'année 2001, puis le taux d'évolution annuel moyen pour la même période (les réponses seront données

 sous la forme $x$\:\%
où $x$ est arrondi à $10^{-3}$).
\item 	Le taux annuel moyen est proche de 1,68\:\%.
On suppose que l'évolution suit le modèle donné par la suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ dont le premier terme est 
 
 $u_{0} = \np{22223}$ et dont la raison est \np{1,0168}.

Recopier et compléter le tableau suivant
  
 \medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années	&1997		&1998	&1999	&2000	&2001	&2002	&2003\\ \hline
Rang $n$&0			&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
$u_{n}$	&\np{22223}	&		&		&		&		&		&\np{24559}\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\end{enumerate}
\item 	\textbf{Comparaison des deux modélisations à la réalité}

En fin de compte, le tableau statistique complet relatant le marché du travail s'avère être le suivant :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années& 1997& 1998& 1999& 2000& 2001& 2002&	2003\\ \hline
Emploi total en milliers&	\np{22223}& \np{22479}& \np{22672}& \np{23261}&\np{23759}&	\np{23942}&	\np{24347}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
  
	\begin{enumerate}
		\item Comparer la valeur trouvée pour l'année 2003 à l'aide de l'ajustement affine, avec la donnée réelle observée. Quel est le pourcentage d'erreur commise par rapport à la valeur réelle ?
		\item 	Comparer $u_{6}$ avec la donnée réelle de 2003. Quel est le pourcentage d'erreur commise par rapport à la valeur réelle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  8 points}

\medskip
	
Le site (imaginaire) \og www.musordi.net \fg{} propose aux internautes de télécharger des titres de musique sur leur ordinateur. Son offre commerciale pour un trimestre est la suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] l'option simple : 0,90 \euro{} par titre téléchargé ;
\item[$\bullet~$] l'option abonnement : un abonnement de 12 \euro, chaque titre téléchargé facturé à 0,675 \euro ; 
\item[$\bullet~$] l'option forfaitaire : un forfait de 40 \euro{} pour 50 titres téléchargés, chaque titre supplémentaire étant facturé 1 \euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie I Utilisation d'un tableur}

\medskip

Pour choisir au mieux son option trimestrielle, Cécile crée une feuille de calcul à l'aide d'un tableur. Son étude porte sur un nombre de titres téléchargés, compris entre 0 et 150. Ci-dessous est reproduit le début de son tableau ; le graphique est obtenu à partir du tableau complet, non présenté.

 \medskip
 \begin{center}
 \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	& 	C& D\\ \hline
1	&\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Comparaison des offres commerciales}}\\ \hline
2	& Nombre de titres &	Option&	Option& 	Option\\
	&téléchargés&	simple&	abonnement &	forfaitaire\\ \hline
3	&	0&	0	&	12		&	40\\ \hline
4	&	1&	0,9	&	12,675	&	40\\ \hline
5	&	2&	1,8	&	13,35	& 	40\\ \hline
6	&	3&	2,7	&	14,025	&	40\\ \hline
 \end{tabularx}
 \end{center}
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, Cécile doit-elle écrire dans la cellule B3 ?
\item  Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, Cécile doit-elle écrire dans la cellule C3 ?
\item  Compléter les cellules B54, C54, D54 dans le tableau de la feuille annexe.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II : Étude graphique (Figure sur la feuille annexe à rendre avec la copie)}

\medskip

\emph{Veiller à laisser sur le graphique les traces écrites des factures effectuées qui sont la justification des réponses.}

Sur le graphique de la feuille annexe, la droite $\mathcal{D}_{f}$ représente la fonction $f$, définie pour $x$ réel dans l'intervalle [0~;~150] par $f(x) = 0,9 x$ et la droite $\mathcal{D}_{g}$ représente $g$, définie sur l'intervalle [0~;~150] par $g(x) = 0,675 x + 12$.

Pour les valeurs entières de $x,~f(x)$ est le coût en euros du téléchargement de $x$ titres avec l'option simple.

Pour les valeurs entières de $x,~g(x)$ est le coût en euros du téléchargement de $x$ titres avec l'option abonnement.

Pour les valeurs entières de $x$, le coût en euros du téléchargement de $x$ titres avec l'option forfaitaire est $h(x)$, où $h$ est une fonction définie sur l'intervalle [0~;~150].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que si $0 \leqslant   50$ on a $h(x) = 40$ et si $50 \leqslant x  \leqslant  150$ on a $h(x) =  x - 10$.
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection des droites $\mathcal{D}_{f}$ et $\mathcal{D}_{g}$ $\left(\text{à}\: 10^{-2}\right)$.
\item Par lecture graphique, déterminer les nombres de titres téléchargés pour lesquels l'option simple est la plus avantageuse.
\item Le budget trimestriel de Cécile est limité à 30~\euro. Déterminer graphiquement combien de titres Cécile peut télécharger au maximum.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	& 	C& D\\ \hline
1	&\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Comparaison des offres commerciales}}\\ \hline
2	& Nombre de titres &	Option&	Option& 	Option\\
	&téléchargés&	simple&	abonnement &	forfaitaire\\ \hline
52	&49	&44,10	&45,075	&40\\ \hline
53	&50	&45		&45,75	&40\\ \hline
54	&51	&		&		& 	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\vfill

\begin{center}
\psset{xunit=0.075cm,yunit=0.1cm} 
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{150}
\def\ymin{-0.5} \def\ymax{140}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{gridwidth=0.2pt,gridlabels=0pt}
\multido{\n=0+10}{16}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,140)}
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\psaxes[Dx=10,Dy=10,ticks=none,arrowscale=1.5,linewidth=1pt]{->}(0,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[Dx=10,Dy=10,ticks=none,arrowscale=1.5,linewidth=1pt](0,0)(\xmax,\ymax)
\uput[dr](0,\ymax){\euro}
\uput[ul](\xmax,0){Nombre de titres}
\psline[linecolor=blue](150,135) 
\uput[r](140,126){\blue $\mathcal C_f$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=red]{0}{150}{0.675 x mul 12 add} 
\uput[dr](140,105){\red $\mathcal D_g$}
\psline[linecolor=green](0,40)(50,40)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=green]{50}{150}{x 10 sub}  
\uput[l](140,130){\green $\mathcal D_h$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vfill
\end{document}