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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG-CGRH}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}\hspace{3mm}correction}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\gray Baccalauréat STG --- CGRH\\
 Antilles-Guyane 20 juin 2012\hspace{3mm}Correction}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\smallskip

{\footnotesize{\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}\\
Dans cet exercice, pour chaque question trois réponses sont proposées, \textbf{une seule est correcte.}\\
\textbf{Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.}\\
Aucune justification n'est demandée.\\
\emph{Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.\\
Les deux parties sont indépendantes.}
}}
\smallskip

\textbf{Partie I}

\smallskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~4]$ par $f(x)=x^3-3x^2-9x+3$.\\
On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur $[-3~;~4]$.\\
On donne le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-3~;~4]$:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-3$ & \qquad\qquad & $-1$ & \qquad\qquad & $3$ & \qquad\qquad & 4\\
\hline
 & & &\rnode{b}{8}& & & &\rnode{d}{$-17$}\\
 $f$& & & & & & & \\
 &\rnode{a}{$-24$}& & & &\rnode{c}{$-24$}& & \\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{c}{d}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'expression de $f'(x)$ est:

\begin{tabular}{*{3}{p{4cm}}}
\textbf{a.}~~\cancel{$f^{\prime}(x)=x^2 - 6x - 9$} & \textbf{b.}~~\ovalbox{$f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x - 9$} & \textbf{c.}~~\cancel{$f^{\prime}(x)=3x^2 - 6x - 6$}\\
\end{tabular}

\item Sur l'intervalle $[-3~;~4]$ la fonction $f'$ est:

\begin{tabular}{*{3}{p{4cm}}}
\textbf{a.}~~\cancel{positive} & \textbf{b.}~~\cancel{négative} &\textbf{c.}~~\ovalbox{de signe non constant}.
\end{tabular}

\item Le calcul de $f(-2)$ donne:

\begin{tabular}{*{3}{p{4cm}}}
\textbf{a.}~~\cancel{25} &\textbf{b.}~~ \cancel{$-11$} & \textbf{c.}~~\ovalbox{1}
\end{tabular}

\item L'équation $f(x)=0$ admet sur l'intervalle $[-3~;~4]$:

\begin{tabular}{*{3}{p{4cm}}}
\textbf{a.}~~\cancel{aucune solution} &\textbf{b.}~~ \cancel{une unique solution}&\textbf{c.}~~ \ovalbox{deux solutions}.
\end{tabular}

\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie II}

\smallskip

Dans cette partie, $A$ et $B$ sont deux évènements. On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ leurs évènements contraires respectifs.

\smallskip

On considère l'arbre pondéré et complété suivant:
\begin{center}
\pstree[nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treemode=R,levelsep=3cm]{
\Tr{}
}
{
\pstree{\Tr{$A$}^{\np{0,6}}}{\Tr{$B$}^{\np{0.8}} \Tr{$\overline{B}$}_{\np{0,2}}}
\pstree{\Tr{$\overline{A}$}_{\np{0.4}}}{\Tr{$B$}^{\np{0,7}} \Tr{$\overline{B}$}_{\np{0.3}}}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item La probabilité $P\left(A\cap \overline{B}\right)$ est égale à:

\begin{tabular}{*{3}{p{4cm}}}
\textbf{a.}~~\cancel{\np{0,2}} &\textbf{b.}~~ \cancel{\np{0,8}} &\textbf{c.}~~ \ovalbox{\np{0,12}}
\end{tabular}

$P\left(A\cap \overline{B}\right)= P(A) \times P_A(\overline{B})=\np{0.6}\times \np{0.2}$

\item La probabilité $P(B)$ est égale à:

\begin{tabular}{*{3}{p{4cm}}}
\textbf{a.}~~\ovalbox{\np{0,76}} & \textbf{b.}~~\cancel{\np{0,8}} & \textbf{c.}~~\cancel{\np{0,7}}
\end{tabular}

$P(B)=P(A\cap B) + P\left(\overline{A}\cap B\right) = \np{0,6}\times \np{0,8}+\np{0,4}\times \np{0,7}$
\end{enumerate}

%\newpage
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
 
%\smallskip

Une salle de théâtre contient \np{2000} places assises. Lors du lancement d'un nouveau spectacle, le directeur s'attend à ce que le nombre de spectateurs augmente au fil du temps et note en conséquence chaque jour le nombre de personnes souhaitant y assister.

%\smallskip

Les résultats sont consignés dans le taibleau suivant:
{\small{
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Rang du jour: $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
\hline
Nombre de spectateurs: $y_i$& 975 & \np{1025} & \np{1100} & \np{1225} & \np{1275} & \np{1350} & \np{1450}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}}
\begin{enumerate}
\item
Calculons le pourcentage d'évolution du nombre de spectateurs entre le premier et le septième jour de représentation.

Le taux $T$ est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$.\hspace{2em}$T=\dfrac{\np{1450}-\np{975}}{\np{975}}\approx \np{0,4871}$

Le pourcentage d'augmentation du nombre de spectateurs entre le premier et le septième jour de représentation est d'environ \np{48,7}\,\%.
\item
%Dans un repère orthogonal et sur une feuille de papier millimétré,Unités: 2~cm pour 1~jour en abscisse et 1~cm pour 50~spectateurs en ordonnée en commençant les graduations de l'axe des ordonnées à 800, 
Le nuage de points associé à cette série statistique  a été représenté page \pageref{graph}.
\item La forme du nuage permet d'envisager un ajustement affine, car les points sont sensiblement alignés.
\item  Calculons les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. 
 Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$
\[
\overline{x}_G=\frac{1+2+\dots+6+7}{7}=\np{4} \quad \overline{y}_G=\frac{975+\np{1025}+\dots+\np{1450}}{7}=\np{1200}\]
G $\left( \np{4}~;~\np{1200} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.
\item
\begin{enumerate}
\item
\`A l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{80,4}x +\np{878,6}$
%\emph{On arrondira les valeurs numériques obtenues au dixième.}
\item  Cette droite $\mathcal{D}$  est tracée dans le repère du graphique précédent.
\end{enumerate}
\item On admet dans cette question que la tendance se poursuit suivant le modèle établi dans la question précédente.
\begin{enumerate}
\item Déterminons le nombre de spectateurs que le directeur peut prévoir  le dixième jour de représentation du spectacle. 

Remplaçons $x$ par 10 dans l'équation de la droite. $y=\np{80.4}\times 10+\np{878.6}=\np{1682.6}$

Il peut prévoir \np{1683} spectateurs.
\item
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou toute initiativee  mêmee infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
 Déterminons au bout de combien de jours la salle affichera complet. Cela se produira lorsqu'il y aura \np{2000} spectateurs.

 Pour ce faire, résolvons $\np{2000}=\np{80.4}x+\np{878.6}$. $x=\dfrac{\np{2000}-\np{878,6}}{\np{80,4}}\approx\np{13,95}$.

Au bout de 14 jours, le théâtre affichera complet. 
 
Le directeur devra alors refuser ce jour là : $\np{80,4}\times 14 +\np{878,6} -\np{2000}\approx\np{4,2}$ soit 4 personnes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 
\smallskip

Le but de cet exercice est de comparer l'évolution de la population de deux quartiers d'une même ville: le quartier Uranus et le quartier Saturne.

En 2010, Uranus compte \np{2000} habitants et Saturne en compte \np{2700}. On fait l'hypothèse que, chaque année, la population d'Uranus augmente de 250 habitants et celle de Saturne augmente de 4~\%.

\smallskip

On note $u_0$ la population d'Uranus en 2010, $u_1$ sa population en 2011 et plus généralement $u_n$ sa population en l'an $2010 + n$.

De même, on note $s_0$ la population de Saturne en 2010, $s_1$ sa population en 2011 et plus généralement $s_n$ sa population en l'an $2010 + n$.

\begin{enumerate}
\item
La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison 250, car chaque année la population s'accroît de 250 personnes.
\item
\begin{enumerate}
\item Le taux annuel d'augmentation étant de 4~\%, le coefficient multiplicateur associé est \np{1.04}. Chaque terme, sauf le premier, se trouvant multiplié par \np{1,04} par rapport au précédent, la  suite $\left(s_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $s_0= \np{2700}$ et de raison \np{1,04}. 
\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$ donc ici, $s_n = \np{2700}\times(\np{1,04})^n$
\end{enumerate}
\item 
Afin de prévoir l'évolution de la population de ces deux quartiers, on a réalisé \textbf{page \pageref{prout} en annexe à rendre avec la copie,} une feuille de calcul.

 \emph{(Les valeurs ont été arrondies à l'unité).}
\begin{enumerate}
\item Pour obtenir les termes consécutifs de la suite $(s_n)$, nous pouvons écrire comme formule en C3, puis en la recopiant vers le bas :

= C2*1,04 ou =\$C2*1,04
 
\item Les colonnes B et C de la feuille de calcul  sont complétées page \pageref{prout} .
\item D'après cette feuille de calcul, la population d'Uranus dépassera pour la première fois celle de Saturne, en 2016. 

Nous lisons ligne 8 pour $n=6\  u_6=\np{3500}$ et $s_6=\np{3416}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%\vspace{3cm}
\begin{center}
\large
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.75}}c |c|c|c|c|}
\hline
\rowcolor[gray]{0.75}& \textbf{A}& \textbf{B}& \textbf{C}\\
\hline
\textbf{1} & $n$&  $u_n$ & $s_n$ \\
\hline
\textbf{2} & 0 & \np{2000} & \np{2700}\\
\hline
\textbf{3} & 1 & \np{2250} & \np{2808}\\
\hline
\textbf{4} & 2 & \np{2500} & \np{2920}\\
\hline
\textbf{5} & 3 & \np{2750} & \np{3037}\\
\hline
\textbf{6} & 4 & \np{3000} & \np{3159}\\
\hline
\textbf{7} & 5 &\np{3250}   &\np{3285} \\
\hline
\textbf{8} & 6 & \np{3500}  & \np{3416}\\
\hline
\textbf{9} & 7 &  \np{3750} &\np{3553} \\
\hline
\textbf{10} & 8 & \np{4000}  & \np{3695}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\label{prout}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice}2}

\textbf{Tracés du nuage de points et de la droite }

\medskip

{\psset{xunit=2cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-0.15,-50)(8.1,800)\label{graph}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=50,Oy=800]{->}(0,0)(7.5,800)
\multido{\n=1+1}{7}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,800)}
\multido{\n=50+50}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(7.5,\n)}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](1,175)(2,225)(3,300)(4,425)(5,475)(6,550)(7,650)
\rput(7.2,20){rang du jour} \rput(0.75,780){Nombre de spectateurs}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{7.5}{ 80.4 x mul 78.6 add}
\psdots[dotstyle=BoldMul,dotscale=2.7](4,400)
\uput[dr](4,400){G}
\end{pspicture}


\end{document}