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%Correction : Jean-Paul GOUALARD
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG CGRH}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 19 juin 2013}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Correction du Baccalauréat CGRH Antilles--Guyane ~\decofourright\\19 juin 2013}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre \numprint{6000} et \numprint{32000} pièces identiques. Le coût de fabrication, en euros, de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre $6$ et $32$, est noté $C(x)$ où $C$ est la fonction définie sur l'intervalle [6~;~32] par 

\[C(x) = 2x^3 - 108x^2 + \numprint{5060} x - \numprint{4640}.\]
 
La représentation graphique de la fonction $C$ est à la fin de l'exercice. 

Toutes les pièces produites sont vendues au prix de 3,5~\euro{} l'unité.
 
Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32], on note $R(x)$ le montant de la vente en euros de $x$ milliers de pièces. Le bénéfice $B(x)$, en euros, pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces est 

$B(x) = R(x) - C(x)$. 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] : $R(x) = \numprint{3500}x$. 
$x$ est en milliers d'objets, donc $R(x)=\numprint{1000}x\times 3,5=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{3500}x}}$.

\item %Représenter la fonction $R$ sur l'annexe, à remettre avec la copie. 
$R$ est une fonction linéaire, donc sa représentation graphique est une droite (passant par l'origine).\\
$R(6)=\numprint{21000}$ et $R(32)=\numprint{112000}$, donc la droite passe par les points de coordonnées $(6~;~\numprint{21000})$ et $\left(32~;~\numprint{112000}\right)$.

\item %Par lecture graphique, et avec la précision permise par celui-ci, répondre aux questions suivantes. On laissera apparents tous les tracés utiles aux lectures graphiques. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel nombre de pièces produites correspond à un coût de \numprint{30000}~\euro{} ? 
		Graphiquement, on trouve que \numprint{30000} \euro{} correspondent à un coût de fabrication d'environ \fbox{\textcolor{red}{\numprint{8000} objets}}.
		
		\item %Quel nombre minimal de pièces fabriquées permet d'avoir un bénéfice positif ou nul ?
		L'entreprise a un bénéfice lorsque le montant de vente est supérieur au coût de fabrication des pièces, donc lorsque la droite est au-dessus de la courbe. Graphiquement, on trouve que $\boxed{\textcolor{red}{x\geqslant 18}}$ (environ), donc pour une fabrication de plus de \numprint{18000} objets.
		
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] : 

$B(x)=R(x)-C(x)=\numprint{3500}x-\left(2x^3 - 108x^2 + \numprint{5060} x - \numprint{4640}\right)= \boxed{\textcolor{red}{- 2x^3 + 108x^2 - \numprint{1560}x + \numprint{4640}.}}$
 
\item %On désigne par $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $B'(x)$. 
		On a $\boxed{\textcolor{red}{B'(x)=-2\times 3x^{2}+108\times 2x-\numprint{1560}=-6x^{2}+216x-\numprint{1560}}}$.
		
		\item %Vérifier que $B'(x) = (- 6x + 60)(x - 26)$.
		On a $(- 6x + 60)(x - 26)=-6x^{2}+156x+60x-\numprint{1560}=-6x^{2}+216x-\numprint{1560}=B'(x)$ donc \[\boxed{\textcolor{red}{B'(x)= (- 6x + 60)(x - 26)}}.\]
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [6~;~32]. 
		Pour étudier le signe de $B'(x)$, on étudie le signe de chaque facteur.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $-6x+60=0$ donne $x=10$.\\
On en déduit $-6x+60\geqslant 0$ pour $x\leqslant 10$ et $-6x+60\leqslant 0$ pour $x\geqslant 10$.

\item $x-26=0$ pour $x=26$.\\
$x-26\leqslant 0$ pour $x\leqslant 26$ et $x-26\geqslant 0$ pour $x\geqslant 26$.
\end{enumerate}
		\item %En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [6~;~32].
		Tableau de variation de $B$ :
		\begin{center}
\begin{variations}
x&6&&10&&26&&32\\
\hline
-6x+60&&+&\z&-&\l&-&\\
\hline
x-26&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
B'(x)=(- 6x + 60)(x - 26)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
B(x)&\h{-1264}&\d&-2160&\c&\h{1936}&\d&-224\\
\end{variations}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item %Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise? Donner le nombre de pièces à produire réalisant ce maximum. 
Le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise est \fbox{\textcolor{red}{\numprint{1936} \euro}}, pour la fabrication de \fbox{\textcolor{red}{\numprint{26000} objets}}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.0001cm}
\begin{pspicture}(-2,-5000)(33,115000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(-1.5,-5000)(33,115000)
\multido{\n=0+2}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,115000)}
\multido{\n=0+5000}{24}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6}{32}{x 3 exp 2 mul x dup mul 108 mul sub 5040 x mul add 4640 sub}
\rput(30,95000){$y = C(x)$}
\psline[linecolor=red](6,21000)(32,112000)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](8,0)(8,30000)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](18,0)(18,63112)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}


\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

%\medskip
% 
%Un organisme de centres de vacances propose à ses clients deux types de destinations : en France ou à l'étranger. Pour chaque destination, le client a le choix entre deux types d'hébergement : le camping ou l'hôtel.
% 
%L'organisme fait une analyse statistique de ses fiches clients et constate que 60\,\% de ses clients optent pour les centres à l'étranger et parmi ceux-ci 80\,\% choisissent un hôtel. En outre, 70\,\% des clients choisissant un centre en France, se rendent dans un camping.
%
%\medskip
% 
%On prélève une fiche client au hasard. Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie. 
%
%On considère les évènements suivants :
% 
%$E$ : \og La fiche prélevée est celle d'un client ayant choisi un centre de vacances à l'étranger. \fg
% 
%$H$ : \og La fiche prélevée est celle d'un client ayant choisi un hôtel. \fg
%\medskip
% 
%On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A,\: P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $P_{B}(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.
%
%\medskip
%\emph{ Les résultats numériques sont demandés sous forme décimale.}
%
%\bigskip
 D'après l'énoncé, on a $p(\text{E})=0,6$, $p_{\text{E}}(\text{H})=0,8$ et $p_{\overline{\text{E}}}(\overline{\text{H}})=0,7$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Décrire par une phrase l'évènement $\overline{E}$ et donner sa probabilité $P\left(\overline{E}\right)$. 
		$\overline{\text{E}}$ est l'événement \og{} rester en France\fg{} et $\boxed{\textcolor{red}{p(\overline{\text{E}})=0,4}}$.
		
		\item %Déterminer la probabilité conditionnelle $P_{\overline{E}}\left(\overline{H}\right)$. 
		$\boxed{\textcolor{red}{P_{\overline{E}}\left(\overline{H}\right)=0,8}}$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous. 
On obtient l'arbre de probabilité ci-dessous :
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E$}\taput{0,6}}
	  { 
		  \TR{$H$}\taput{0,8}
		  \TR{$\overline{H}$}\tbput{0,2}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E}$}\tbput{0,4}}
	  {
		  \TR{$H$}\taput{0,3}
		  \TR{$\overline{H}$}\tbput{0,7}
	  }
	
}
\end{center} 

		\item %Calculer la probabilité $P(E \cap H)$. 
		$p(\text{E}\cap \text{H})=p_{\text{E}}(\text{H})\times p(\text{E})=0,8\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,48}}$.
		
		\item %Calculer la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un client ayant choisi un hôtel en France. 
		$p\left(\overline{\text{E}}\cap H\right)=0,3\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,12}}$.
		
		\item %Montrer que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un client ayant choisi un hôtel est de $0,6$. 
		D'après la formule des probabilités totales, $p(\text{H})=p(\text{E}\cap \text{H})+p\left(\overline{\text{E}}\cap H\right)=0,48+0,12=\boxed{\textcolor{red}{0,6}}$.
		
		\item %Les deux évènements $E$ et $H$ sont-ils indépendants ?
		$p(\text{E}\cap \text{H})=0,48$ et $p(\text{E})\times p(\text{H})=0,6\times 0,6=0,36\neq p(\text{E}\cap \text{H})$.\\
		E et H ne sont donc \textbf{pas indépendants}.
	\end{enumerate} 

\item %Calculer la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un client ayant choisi un centre de vacances en France sachant que ce dernier réside en hôtel.
$p_{\text{H}}\left(\overline{E}\right)=\dfrac{p\left(\overline{\text{E}}\cap \text{H}\right)}{p(\text{H})}=\dfrac{0,12}{0,6}=\boxed{\textcolor{red}{0,2}}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

%Le marché de la musique enregistrée se divise en deux grands domaines : le marché physique (supports matériels comme les CD) et le marché dématérialisé (téléchargements).
%
%\medskip
% 
%Le tableau suivant indique les montants des ventes, en millions d'euros, correspondant au marché physique et au marché total de l'année 2006 à l'année 2011.
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline 
%Marché physique &1287 &1127 &941 &833 &466 &413\\ \hline 
%Marché total &1310 &1156 &983 &894 &554 &524\\ \hline
%\multicolumn{7}{l}{\emph{Source : Snep (Syndicat national de l'édition phonographique), juin 2012}}
%\end{tabularx}

\medskip

Les deux parties sont indépendantes.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : Taux d'évolution}

\medskip

Dans cette partie, les réponses seront données sous forme de pourcentages arrondis à $0,01$ près.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle part du marché total le marché physique représente-t-il en 2011 ? 
$\dfrac{413}{424\approx 0,7882}$ soit environ 78,82\:\%. En 2011, le marché physique représente environ \fbox{\textcolor{red}{78,82\:\%}} du marché total.

\item %Calculer le taux d'évolution global du marché physique entre 2006 et 2011. 
Entre 2006 et 2011, le taux d'évolution global du marché physique est $\dfrac{413-1287}{1287}\approx -0,6791$, soit une baisse d'environ \fbox{\textcolor{red}{67,91\:\%}}.

\item %Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du marché physique entre 2006 et 2011 est de $- 20,33$\,\%. Donner une interprétation de ce résultat. 
Soit $t$ le taux d'évolution annuel moyen du marché physique entre 2006 et 2011.\\
On  a $(1+t)^{5}=1-\dfrac{67,91}{100}\approx 0,3209$ donc $1+t=0,3209^{\frac15}$ d'où $t=0,3209^{\frac15}-1\approx -0,2033$, soit environ \fbox{\textcolor{red}{-30,33\:\%}}.
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude du marché physique}

\medskip
 
On suppose que chaque année à partir de 2011, le marché physique connaît une baisse de 20\,\%.
 
On note $u_{n}$ le montant, en millions d'euros, des ventes en France correspondant au marché physique de l'année $2011 + n$. Ainsi, $u_{0} = 413$.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_{1}$. 
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 20\:\% est $1-\dfrac{20}{100}=0,8$.\\
		On en déduit $u_{1}u_{0}\times 0,8=413\times 0,8=\boxed{\textcolor{red}{330,4}}$.
		
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$. 
		Pour tout $n$, $u_{n+1}=0,8u_{n}$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}}, de raison $q=0,8$.
		
		\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
		On en déduit $u_{n}=u_{0}q^{n}$ donc $u_{n}=\boxed{\textcolor{red}{413\times 0,8^{n}}}$.
	\end{enumerate} 
\item %Dans la feuille de calcul d'un tableur, on souhaite déterminer les premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

%Quelle formule peut-on écrire en C3, qui, par recopie vers le bas, donnera le contenu des cellules de C3 à C15 ? 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A &B &C\\ \hline 
%1& Année &Rang $n$ &$u_{n}$\\ \hline 
%2 &2011& 0& 413\\ \hline 
%3 &2012& 1&\fbox{\rule[3mm]{16mm}{0mm}}\\ \hline
%4 &2013& 2&\\ \hline 
%5 &2014& 3&\\ \hline 
%6 &2015& 4& \\ \hline
%7 &2016& 5&\\ \hline 
%8 &2017& 6&\\ \hline 
%9 &2018& 7&\\ \hline 
%10&2019& 8&\\ \hline 
%11&2020& 9&\\ \hline 
%12&2021& 10&\\ \hline 
%13&2022& 11&\\ \hline 
%14&2023& 12&\\ \hline
%15&2024& 13&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\end{center}
En C3, il faut taper \fbox{\textcolor{red}{=C2*0.8}}

\item %Si la tendance reste la même, quel sera le montant du marché physique en 2020 ? 
En 2020 ($n=9$), le montant du marché physique sera $413\times 0,8^{9}\approx \boxed{\textcolor{red}{55}}$ millions d'euros.

%Arrondir le résultat au million d'euros près. 

\item %En quelle année prévoit-on, d'après ce modèle, un montant du marché inférieur à $50$~millions d'euros ? 
On résout l'inéquation $u_{n}\leqslant 50$ donc $413\times 0,8^{n}\leqslant 50$, soit $0,8^{n}\leqslant \dfrac{50}{413}$.\\
Alors $\ln\left(0,8^{n}\right)\leqslant \ln\left(\dfrac{50}{413}\right)$, soit $n\ln(0,8)\leqslant \ln\left(\dfrac{50}{413}\right)$.\\
On obtient : $n\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{50}{413}\right)}{\|n(0,8)}$ d'où $n\geqslant \approx 9,5$. ($\ln(0,8)$ est négatif, donc en divisant par $\ln(0,8)$, l'inégalité change de sens).\\
C'est en \textbf{2021} que le montant du marché physique deviendra inférieur à 50 millions d'euros.
\end{enumerate} 




\end{document}