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%Sujet aimablement communiqué par l'académie de la Martinique et de la Guadeloupe
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small C. G. R. H.}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2012}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG C. G. R. H. Antilles--Guyane~\decofourright\\septembre 2012}} 

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}

\medskip
 
Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule est correcte}.
 
\textbf{Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.}
 
Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Un vêtement affiché initialement 70~\euro{} est vendu 17,50~\euro{} après remise. Le prix de ce vêtement a donc baissé de : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 75\,\% &\textbf{b.~~} 25\,\% &\textbf{c.~~} 300\,\%
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Le prix d'un article a augmenté de 12\,\% en trois ans. Le taux moyen annuel d'évolution sur cette durée (arrondi à 0,1 près) est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 4\,\% &\textbf{b.~~}3\,\% &\textbf{c.~~} 3,8\,\%
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Si $A$ et $B$ sont deux événements tels que $P(A) = 0,4 \:;\: P(B) = 0,32 \:;\: P_{A}(B) = 0,5$. 

Alors $P(A \cap B)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,128 &\textbf{b.~~} 0,16 &\textbf{c.~~} 0,20
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Un hôtel propose des prix dégressifs selon le nombre de nuits passées. Le tableau ci-dessous donne les prix en euros pour une nuit.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Nombre de nuits $x$&1 &3 &7 &10 &14\\ \hline 
Prix $y$ en euros pour une nuit &97 &95 &90 &84 &80\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

La droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, a pour équation réduite (valeurs arrondies au centième près) :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~}  $y = 1,36x + 98,75$& 	\textbf{b.~~} $y = - 1,36x + 98,75$ 
&\textbf{c.~~} $y = -0,73x + 71,70$
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip
 
Léo vient de signer son contrat, il commencera à travailler le 01/10/2012. Il prévoit en conséquence l'acquisition d'une première voiture. Ses parents proposent de compléter le financement de cet achat à condition qu'il apporte lui-même au moins $\np{3500}$~\euro.

\medskip
 
Le 30/09/2012, Léo disposera de 200~\euro{} d'économies dans sa tirelire. Il décide alors d'y déposer, à compter du mois d'octobre, une partie de son salaire le dernier jour de chaque mois. Il hésite entre deux stratégies.

\medskip
 
\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\medskip

\emph{On rappelle que la somme $S$ des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par} 

\[	S = u_{0} + u_{1} + \ldots  + u_{n-1} = n\dfrac{u_{0} + u_{n - 1}}{2}\]

\emph{La somme $S$ des $n$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q \neq 1$ est donnée par} 
 
\[S = u_{0} + u_{1} + \ldots  + u_{n-1} = u_{0}\dfrac{1 - q^n}{1 - q}.\] 

\textbf{Partie I :}  première stratégie

\medskip
 
Il augmentera chaque mois le montant de son dépôt de 10~\euro.

\medskip
 
On pose $u_{0} = 200, u_{1} = 210$ et l'on note pour tout entier $n \geqslant 2,\: u_{n}$ le montant du dépôt effectué au moyen de son $n$-ième salaire selon cette condition.
Ainsi, $u_{2} = 220$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant, la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. Préciser son premier terme et sa raison. 
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer le montant du versement effectué grâce à son douzième dépôt. 
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la somme $S = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{12}$. 
		\item Pourra-t-il acheter sa nouvelle voiture le 01/10/2013, jour de ses 21 ans ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	 
\textbf{Partie II} : seconde stratégie

\medskip
 
Il augmentera chaque mois le montant de son dépôt de 5\,\%.

\medskip
 
Il étudie le tableau (donné ci-dessous) qu'il vient de créer à l'aide d'un tableur. 

\textbf{Les valeurs ont été arrondies à l'unité.}

Il a posé $v_{0} = 200,\: v_{1} = 210$ et pour tout entier $n \geqslant 2,\: v_{n}$ correspond au montant du dépôt effectué au moyen de son $n$-ième salaire.
 
Il a d'abord rempli les trois premières lignes. Ensuite, dans chacune des cellules A4, B4, C4, il a inscrit une formule permettant de compléter les colonnes A, B, C par recopie vers le bas. 

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A&B&C&D\\ \hline
1&&&& 1,05\\ \hline 
2 	&Mois $n$	& $v_{n}$	& Total		&\\ \hline  
3 	&0 			&200 		&200		&\\ \hline 
4 	&1 			&210 		&410		&\\ \hline 
5 	&2 			&221 		&631		&\\ \hline 
6 	&3 			&232 		&862 		&\\ \hline
7 	&4 			&243 		&\np{1105}	&\\ \hline 
8 	&5 			&255 		&\np{1360}	&\\ \hline 
9 	&6 			&268 		&\np{1628}	&\\ \hline 
10 	&7 			&281 		&\np{1910}	&\\ \hline 
11 	&8 			&295 		&\np{2205}	&\\ \hline 
12 	&9 			&310 		&\np{2515}	&\\ \hline 
13 	&10 		&326 		&\np{2841}	&\\ \hline 
14 	&11 		&342 		&\np{3183}	&\\ \hline 
15 	&12 		&359 		&\np{3542}	&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Parmi les formules suivantes, déterminer celles qui peuvent être saisies dans la cellule B4.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline  
\textbf{a.} =B3*\$D\$1& 
\textbf{b.} =B3*1,05& 
\textbf{c.} =B3*\$Dl& 
\textbf{d.} =B3*0,05\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Quelle formule a-t-il inscrite en C4 ? 
\item Léo pourra-t-il acheter sa nouvelle voiture le 01/10/2013, jour de ses 21 ans ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

Une entreprise fabrique et vend chaque jour au plus 40 matelas \og grand confort \fg.
 
On décide en conséquence de modéliser la situation au moyen de fonctions définies sur l'intervalle [0~;~40].
 
Le co\^ut total, exprimé en euros, de la production journalière de $x$ matelas est donné par : 

\[C(x) = x^3 - 60x^2 + \np{1800}x + 3.\]
 
Chaque matelas est vendu \np{1275}~\euro.
 
La recette journalière, exprimée en euros, est donc donnée par : 

\[R(x) = \np{1275}x.\]
 
Les représentations graphiques des fonctions $C$ et $R$ sont construites en ANNEXE. 

\medskip
 
\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie I :} lectures graphiques

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Laquelle des deux représentations graphiques est celle de la fonction R ? Justifier. 
\item Avec la précision permise par le graphique, estimer : 
	\begin{enumerate}
		\item le nombre de matelas que l'entreprise doit produire chaque jour pour que le coût 
total de production journalière soit de \np{30000}~\euro. On fera apparaître les traits utiles à la lecture graphique. 
		\item le nombre minimum de matelas que l'entreprise doit produire et vendre chaque jour afin de ne pas réaliser de perte. Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II :} étude du bénéfice en fonction de la production

\medskip
 
On rappelle que le bénéfice journalier total, exprimé en euros, est noté $B(x) = R(x) - C(x)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que : 

\[B(x) = - x^3 + 60x^2 - 525x - 3.\]
 
\item Calculer $B^{\prime}(x)$ pour $x$ compris entre $0$ et $40$ et vérifier que: 

\[B^{\prime}(x) = (- 3x + 15)(x - 35).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $B^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [0~;~40].
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~40]. 
		\item En déduire combien de matelas l'entreprise doit produire et vendre chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal. Que vaut alors ce bénéfice maximal ? 
		\item Expliquer comment retrouver graphiquement ce résultat. Faire apparaître les traits de constructions utiles à la lecture graphique. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\psset{xunit=0.20cm,yunit=0.0003cm}
\begin{pspicture}(-4,-200)(42,57000)
\uput[u](37,0){nombre de matelas}
\uput[l](0,57000){montant} \uput[l](0,56000){en euros}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=5000]{->}(0,0)(0,-200)(42,57000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=0,Dx=10,Dy=5000](0,0)(-4,-200)(42,57000)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{40}{x 3 exp x dup mul 60 mul sub 1800 x mul add 3 add} \uput[u](38,49000){$\mathcal{D}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{40}{1275 x mul} \uput[u](38,38000){$\mathcal{E}$}
\end{pspicture}
\end{center}
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