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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small C. G. R. H.}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 22 juin 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Métropole--La Réunion~\decofourright\\22 juin 2010}}

\bigskip

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.


\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)}

\medskip
 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule réponse est correcte.}
 
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip
 
Au rayon \og multimédia \fg{} d'un magasin, un écran plat et un lecteur DVD sont en promotion pendant une semaine. Un client étant choisi au hasard, on désigne par :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement \og le client achète l'écran plat en promotion \fg. 
\item $B$ l'évènement \og le client acquiert le lecteur DVD en promotion \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On estime que $p(A) = \dfrac{1}{3},~p\left(\overline{A} \cap  B\right) = \dfrac{1}{9}$ et que la probabilité de l'évènement \og le client achète les deux objets en promotion \fg{} est $\dfrac{1}{18}$. 
 
Pour répondre aux questions suivantes on pourra s'aider d'un arbre de probabilités ou d'un tableau.
 
\begin{enumerate}
\item $p\left(\overline{A}\right)$ est égale à 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\dfrac{17}{18}$&$\dfrac{1}{6}$ &$\dfrac{2}{3}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item $p(B)$ est égale à 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{5}{18}$ &$\dfrac{13}{18}$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item $p_{A}(\text{B})$ est égale à

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{18}$ &$\dfrac{1}{6}$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item $p(A \cup B)$ est égale à 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{4}{9}$ &$\dfrac{1}{18}$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un produit. Ce laboratoire peut produire de 5 à 30~kg du produit par semaine.

\medskip
 
\textbf{A) Étude du prix de revient unitaire moyen :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le prix de revient d'un produit dépend de la quantité produite. Pour $x$ kg de produit fabriqué, le prix de revient moyen d'un kg de ce produit, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $U$ 
dont l'expression est 

\[U(x) = \dfrac{1}{3}x^2 - 11x + 100 + \dfrac{72}{x},\]

où $x$ appartient à l'intervalle $[5~;~30]$. 

Quel est le prix de revient moyen d'un kg de produit lorsqu'on en fabrique 5~kg par semaine ?
 
\emph{On arrondira le résultat à $10^{-1}$ près.}
 
\item À l'aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs donné en annexe 1, On arrondira les résultats à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
 
\textbf{B) Étude graphique du bénéfice :}

\medskip
 
Le laboratoire s'intéresse maintenant au coût total de production, exprimé en euros et modélisé par la fonction $C$ dont l'expression est 

\[C(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 11x^2 + 100x + 72,\]

 où $x$ appartient à l'intervalle $[5~;~30]$.
  
La courbe représentative de la fonction $C$ sur l'intervalle $[5~;~30]$ est donnée en \textbf{annexe 2}.
 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, estimer la quantité dont le coût total de production est de 600~\euro.
 
\emph{On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Après une étude de marché, le prix de vente du produit a été estimé à 60~\euro{} le kg. 
Donner, en fonction de $x$, l'expression $R(x)$ de la fonction $R$ modélisant la recette. 
		\item Représenter graphiquement, sur la feuille annexe 2, la fonction $R$ sur l'intervalle $[5~;~30]$. 
		\item Le laboratoire souhaite connaitre l'intervalle dans lequel doit se trouver la quantité de produit à vendre pour réaliser un bénéfice. Quel est cet intervalle ?
		
\emph{On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.}	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C) Étude algébrique du bénéfice :}

\medskip
 
Le bénéfice réalisé par l'entreprise, c'est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, est exprimé en euros et modélisé par la fonction $B$ dont l'expression est
 
\[B(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 + 11x^2 - 40x - 72,\]

 où $x$ appartient à l'intervalle $[5~;~30]$. 
 
\begin{enumerate}
\item Conjecturer les variations de $B$ à l'aide de la calculatrice. 
\item Montrer que $B'(x) = -(x - 2)(x - 20)$. 
\item En déduire les variations de $B$ sur l'intervalle $[5~;~30]$. 
\item \textbf{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
	\begin{enumerate}
		\item On considère que la production est entièrement vendue. Déterminer la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximum. 
		\item Le service de commercialisation du laboratoire a fixé un objectif de vente entre 15~kg et 24~ kg pour la semaine à venir. Quel est le \textbf{bénéfice minimum} envisageable ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

Dans cet exercice on s'intéresse à l'évolution du SMIC (Salaire Minimum Interprofessionnel de Croissance) sur 5~ans. On utilisera les informations fournies par : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, dans lequel la base 100 des indices de salaires correspond à l'année 2005 (\emph{les indices sont arrondis à $10^{-1}$ près et les valeurs successives du SMIC horaire brut sont arrondies au centime d'euro près}), 
\item le graphique ci-dessous composé d'un nuage de points et d'une droite qui en réalise un ajustement affine. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
	&A							&B		&C		&D		&E		&F\\ \hline
1	&Année $\left(x_{i}\right)$	&2005	&2006	&2007	&2008	&2009\\ \hline
2	&SMIC horaire brut en euros 
$\left(y_{i}\right)$			&8,03	&8,27	&8,44	&8,71	&8,82\\ \hline 
3	&Indice						&100	&103,0	&105,1	&108,5	&109,8\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{center} 
\psset{xunit=2cm,yunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,7.7)(5.5,9.5)
\psframe(-0.5,7.7)(5.5,9.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Oy=7.9,Dy=0.1](0,7.9)(5,8.9)
\multido{\n=0+1,\na=2005+1}{6}{\uput[d](\n,7.9){\na}}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.4](0,8.03)(1,8.27)(2,8.44)(3,8.71)(4,8.82)
\multido{\n=7.9+0.1}{11}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-0.1,\n)(5,\n)}
\psline(0,8.05)(4,8.85)
\rput(2.5,9.25){\textbf{SMIC horaire brut en euros}}
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip
 
\textbf{A) Taux d'évolution et indices :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle formule a-t-on introduite en C3, puis recopiée vers la droite, pour obtenir les indices de salaire de 2006 à 2009 ? 
\item Déterminer le taux d'évolution global du SMIC, arrondi à $10^{-1}$ près, entre 2005 et 2009. 
\item Calculer le taux d'évolution moyen, arrondi à $10^{-1}$ près, entre 2005 et 2009.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B) 1\up{er} modèle d'évolution : la droite de régression par la méthode des moindres carrés}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ci-dessus, on a représenté le nuage de points correspondant à l'évolution des salaires et sa droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. À l' aide de la calculatrice, 
déterminer une équation de cette droite. On arrondira les coefficients à $10^{-2}$ près. 
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On admet que l'ajustement affine réalisé par la droite représentée dans le graphique ci-dessus reste valable jusqu'en 2010. Proposer alors une estimation du SMIC en 2010.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C) 2\up{e} modèle d'évolution : utilisation d'une suite}

\medskip
 
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite géométrique définie par son premier terme $u_{0} = 8,03$ et sa raison $1,024$.
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{5}$. \emph{On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.}
		\item Comment peut-on interpréter $u_{5}$ ?
 	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie}

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&5	&10	&15	&16,5	&17	&18,5	&20	&25	&30\\ \hline
$U(x)	&	&	&	&		&	&		&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.34cm,yunit=0.008cm}
\begin{pspicture}(-2,-50)(32,2200)
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1pt](\n,-50)(\n,2200)}
\multido{\n=0+200}{12}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1pt](-2,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=2500]{->}(0,0)(32,2200)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=2500](0,0)(32,2200)
\multido{\n=0+200}{12}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{5}{30}{x 3 exp 3 div x dup mul 11 mul sub 100 x mul add 72 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}