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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STG CGRH}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{5 septembre 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG C.G.R.H.  Polynésie~\decofourright\\5  septembre 2013}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

La société Bonbon.com commercialise des confiseries.
 
On utilise une feuille de calcul d'un tableur pour observer l'évolution du chiffre d'affaires en milliers d'euros de la société Bonbon.com depuis 2006. 

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D\\ \hline 
1 &Année &Rang de l'année $x_{i}$ &Chiffre d'affaires (en milliers d'euros) $y_{i}$&Taux d'évolution annuel du chiffre d'affaires\\ \hline 
2 &2006 &0 	&166		&\\ \hline 
3 &2007 &1 	&164 	&$-1,20\,\%$\\ \hline 
4 &2008 &2 	&170		&\\ \hline 
5 &2009 &3	&			&\\ \hline 
6 &2010 &4 	&186		&\\ \hline 
7 &2011 &5 	&191		&\\ \hline 
8 &2012 &6 	&199		&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center} 

\textbf{Partie A}  \emph{Les taux d'évolution seront exprimés en pourcentages et arrondis à $0,01\,\%$ près}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution du chiffre d'affaires entre 2007 et 2008. 
\item Sachant que le chiffre d'affaires entre 2009 et 2010 a augmenté de 8,14\,\%, calculer le chiffre d'affaires en 2009 arrondi au millier d'euros. 
\item Dans la feuille de calcul reproduite ci-dessus, les cellules de la colonne D sont au format pourcentage. Donner une formule à saisir dans la cellule D3 pour obtenir, par recopie vers le bas, les taux d'évolution successifs. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution du chiffre d'affaires entre 2006 et 2012. 
		\item En déduire le taux moyen annuel d'évolution du chiffre d'affaires de 2006 à 2012.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La société souhaite estimer le chiffre d'affaires pour les prochaines années au moyen d'une approximation affine.
 
On admet dans cette partie que le chiffre d'affaires de l'année 2009 s'élevait à $172$~milliers d'euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Tracer le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ correspondant aux colonnes B et C du tableau ci-dessus sur une feuille de papier millimétré.
 
\emph{Unités graphiques: en abscisse $1$~cm pour $1$ unité, en ordonnée 1~cm pour $5$~milliers d'euros en commençant la graduation à $160$~milliers d'euros.} 
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients à $0,01$ près. 
\item Dans les questions suivantes on choisit comme droite d'ajustement la droite $\Delta$ d'équation 

\[y = 6x + 160.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de cet ajustement, calculer une estimation du chiffre d'affaires en 2014. 
		\item Tracer la droite $\Delta$ dans le repère de la question 1. 
		\item Par lecture graphique, estimer l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires dépassera $210$~milliers d'euros.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise un alliage métallique. Chaque mois, elle peut produire jusqu'à $10$~tonnes de cet alliage et en vend toute la production.

\bigskip
 
\textbf{Partie A - Étude du coût total et de la recette}

\medskip
 
Le coût total de production de $x$ tonnes de l'alliage, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $C$ dont l'expression est 

\[C(x) = x^3 - 6x^2 + 24x + 135\]
 
où $x$ appartient à l'intervalle [0~;~10].
 
La courbe $\Gamma$, représentant la fonction $C$ dans un repère du plan, est donnée en annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner par lecture graphique : 
	\begin{enumerate}
		\item le coût total d'une production de 4 tonnes; 
		\item la quantité correspondant à un coût total de production de $600$~milliers d'euros.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer par le calcul: 
	\begin{enumerate}
		\item le coût total de production de $6$ tonnes de l'alliage. 
		\item le coût moyen de production d'une tonne lorsque l'entreprise produit $6$~tonnes.
	\end{enumerate} 
\item Après une étude de marché, le prix de vente de l'alliage produit a été fixé à $60$~milliers d'euros la tonne. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la recette pour la vente de $5$~tonnes d'alliage. 
		\item On note $R$ la fonction qui modélise la recette, exprimée en milliers d'euros, pour $x$ tonnes vendues.
		 
Donner une expression de $R(x)$ en fonction de $x$. 
		\item Représenter graphiquement la fonction $R$ sur l'intervalle [0~;~10], dans le même repère que la courbe $\Gamma$ sur l'annexe. 
		\item Pour quelles valeurs de $x$ l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B -  Étude algébrique du bénéfice}

\medskip
 
On note $B$ la fonction qui modélise le bénéfice, exprimé en milliers d'euros, sur l'intervalle [0~;~10]. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'expression de $B(x)$, lorsque $x$ appartient à l'intervalle [0~;~10] est : 

\[B(x) = - x^3 + 6x^2 + 36x - 135.\]
 
\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10]. 
\item On admet que $B'(x)$ peut s'écrire 

\[B'(x) = (x + 2)(18 - 3x).\]
 
Étudier le signe de $B'$ et en déduire les variations de $B$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
\item Déterminer la quantité d'alliage à produire pour réaliser un bénéfice maximal. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip 

Une plateforme de téléchargement légal propose des films et des albums de musique que les internautes peuvent acquérir soit par souscription à un abonnement, soit par achat occasionnel.

\medskip
 
Lors de son bilan annuel le gérant de la plateforme constate que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $35$\,\% des téléchargements ont été effectués par des abonnés ; 
\item[$\bullet~~$] parmi les téléchargements effectués par des abonnés, 28\,\% concernent un film; 
\item[$\bullet~~$] parmi les téléchargements effectués lors d'achats occasionnels, $56$\,\% concernent un album de musique.
\end{itemize}

\medskip
 
Le gérant de la plateforme choisit au hasard le relevé d'un téléchargement dans le bilan annuel. On note : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement \og le téléchargement a été effectué par un abonné \fg 
\item[ ] $F$ l'évènement \og le téléchargement concerne un film \fg, 
\item[ ] $\overline{A}$ l'évènement contraire de A 
\item[ ] $\overline{F}$ l'évènement contraire de F.
\end{description}
\setlength\parindent{6mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de la probabilité $P_{A}(F)$. 
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{\ldots}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$F$}\taput{\ldots}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\ldots}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$F$}\taput{\ldots}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\ldots}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item Calculer la probabilité de l'évènement \og le téléchargement a été effectué par un abonné et concerne un film.\fg 
\item Montrer que la probabilité que le téléchargement concerne un film est égale à $0,384$. 
\item Calculer la probabilité que le téléchargement ait été effectué par un abonné, sachant qu'il concerne un film. Le résultat sera arrondi au millième. 
\item Les évènements $A$ et $F$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{4cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(11,1000)

\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(11,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(-0.5,-30)(11,1000)
\uput[d](8.75,-40){Quantité fabriquée en tonnes}
\uput[u](0,1000){Coût en milliers d'euros}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp x 2 exp 6 mul sub 24 x mul add 135 add}
\uput[l](10,760){$\Gamma$}\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}