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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small STG CGRH}  
\lfoot{\small{Polynésie\hspace{0.5em} correction}}
\rfoot{\small{5 septembre 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG C.G.R.H.  Polynésie~\decofourright\\5  septembre 2013 \hspace{1em}Correction}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip
{\footnotesize
La société Bonbon.com commercialise des confiseries.
 
On utilise une feuille de calcul d'un tableur pour observer l'évolution du chiffre d'affaires en milliers d'euros de la société Bonbon.com depuis 2006. 

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D\\ \hline 
1 &Année &Rang de l'année $x_{i}$ &Chiffre d'affaires (en milliers d'euros) $y_{i}$&Taux d'évolution annuel du chiffre d'affaires\\ \hline 
2 &2006 &0 	&166		&\\ \hline 
3 &2007 &1 	&164 	&$-1,20\,\%$\\ \hline 
4 &2008 &2 	&170		&\\ \hline 
5 &2009 &3	&			&\\ \hline 
6 &2010 &4 	&186		&\\ \hline 
7 &2011 &5 	&191		&\\ \hline 
8 &2012 &6 	&199		&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center} 
}
\textbf{Partie A}  \emph{\footnotesize Les taux d'évolution seront exprimés en pourcentages et arrondis à $0,01\,\%$ près}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculons le taux d'évolution du chiffre d'affaires entre 2007 et 2008. 

Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$.
		  $t=\dfrac{170-164}{164}\approx \np{0.036585}$.
		  
		  Le taux d'évolution du chiffre d'affaires entre  2007 et 2008, exprimé en pourcentage est environ $\np{3,66}\,\%$.

\item Sachant que le chiffre d'affaires entre 2009 et 2010 a augmenté de 8,14\,\%, calculons le chiffre d'affaires en 2009 arrondi au millier d'euros. 

 À un taux d'évolution de \np{8,14}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1,0814}. Le chiffre d'affaires en 2010 est de 186 milliers d'euros.
 
 $x\times \np{1,0814}=\np{186}$, d'où $x = \dfrac{186}{\np{1.0814}}\approx \np{171.9993}$. 

Le chiffre d'affaires en 2009 est d'environ 172 milliers d'euros.
\item Dans la feuille de calcul reproduite ci-dessus, les cellules de la colonne D sont au format pourcentage. Une formule à saisir dans la cellule D3 pour obtenir, par recopie vers le bas, les taux d'évolution successifs est :

=(C3-C2)/C2 ou =(\$ C3$-$\$ C2)/ \$ C2. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons le taux d'évolution du chiffre d'affaires entre 2006 et 2012. 
		
		$\dfrac{199 - 166}{166}\approx \np{0,198795}$.
		
		Le taux d'évolution du chiffre d'affaires entre 2006 et 2012 est environ 19,88\,\%.
		\item Déterminons le taux moyen annuel d'évolution du chiffre d'affaires de 2006 à 2012.
		
		Si nous appelons $T$ le taux global d'évolution, le coefficient multiplicateur associé est $(1+T)$. Soit $t_m$ le taux moyen d'évolution. Entre 2006 et 2012, le chiffre d'affaires a subi six évolutions, par conséquent le chiffre d'affaires de 2006 a été multiplié par $\left(1 + t_m\right)^6$. Nous avons alors $(1 + T)= \left(1 + t_m\right)^6$ d'où $t_m=(1+T)^{\scriptscriptstyle\frac{1}{6}} - 1$. 

Il en résulte $t_m=\np{1,1988}^{\scriptscriptstyle\frac{1}{6}}-1\approx \np{0,03068}$.
		
	Le taux moyen d'évolution du chiffre d'affaires entre 2006  et 2012  est environ $+\np{3,07}\,\%$.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La société souhaite estimer le chiffre d'affaires pour les prochaines années au moyen d'une approximation affine.
 
On admet dans cette partie que le chiffre d'affaires de l'année 2009 s'élevait à $172$~milliers d'euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ correspondant aux colonnes B et C du tableau ci-dessus  est tracé ci-dessous.%sur une feuille de papier millimétré.
 
%\emph{Unités graphiques: en abscisse $1$~cm pour $1$ unité, en ordonnée 1~cm pour $5$~milliers d'euros en commençant la graduation à $160$~milliers d'euros.} 
\item À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients à $0,01$ près est

$y=\np{6.04}x+\np{160,18}$. 
\item Dans les questions suivantes on choisit comme droite d'ajustement la droite $\Delta$ d'équation $y = 6x + 160$.
 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de cet ajustement, calculons une estimation du chiffre d'affaires en 2014.  Le rang de l'année est $8$, remplaçons dans l'équation de la droite $x$ par $8$.
		
		$y=6\times 8 + 160 = 208$.
		\item La droite $\Delta$ est tracée dans le repère de la question 1. 
		\item Par lecture graphique, l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires dépassera $210$~milliers d'euros est 2015. Nous lisons sur le graphique le rang de l'année à partir de laquelle l'ordonnée du point  de la droite est supérieure ou égale à 210 soit 9.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(0,0)(11,70)
\psaxes[Ox=0,Oy=160,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(11.5,67.5)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,65)}
 \multido{\n=0+2.5}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(11,\n)}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,6)(1,4)(2,10)(3,12)(4,26)(5,31)(6,39)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{10.8}{x 6  mul }
\uput[d] (10.5,62.5){$\Delta$}
\def\Func{x 6 mul}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 8 def \Func)(!8 /x 8 def \Func)(8,0)
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 8.33 def \Func)(!8.33 /x 8.33 def \Func)(8.33,0)
\rput(0.7,70){\footnotesize Chiffre d'affaires}
\rput(0.7,68.2){\footnotesize   en milliers d'euros}
\rput(11.7,1.3){\footnotesize rang de l'année}
\end{pspicture}\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise un alliage métallique. Chaque mois, elle peut produire jusqu'à $10$~tonnes de cet alliage et en vend toute la production.

\bigskip
 
\textbf{Partie A - Étude du coût total et de la recette}

\medskip
 
Le coût total de production de $x$ tonnes de l'alliage, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $C$ dont l'expression est 
$C(x) = x^3 - 6x^2 + 24x + 135$ où $x$ appartient à l'intervalle [0~;~10].
 
La courbe $\Gamma$, représentant la fonction $C$ dans un repère du plan, est donnée en annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Estimons par lecture graphique : 
	\begin{enumerate}
		\item le coût total d'une production de $4$ tonnes; 
		
Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $4$ soit $200$.

		Le coût total de production de $4$ tonnes est  d'environ $200$ milliers d'euros.
		\item la quantité correspondant à un coût total de production de $600$~milliers d'euros.

Nous lisons l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée $600$ soit environ 9 tonnes
	\end{enumerate} 
\item Déterminons par le calcul: 
	\begin{enumerate}
		\item le coût total de production de $6$ tonnes de l'alliage. Calculons $C(6)$. 
		
		$C(6)=6^3-6\times 6^2+24\times 6+135= 144+135=279$.
		
		 Le coût total de production de $6$ tonnes est 279 milliers d'euros.
		\item le coût moyen de production d'une tonne lorsque l'entreprise produit $6$~tonnes.
		Lorsque l'entreprise produit 6 tonnes, elle dépense 279 milliers d'euros. Cette dépense est répartie sur chaque tonne   $\dfrac{279}{6}=\np{46.5}$ donc le coût moyen dans ces conditions, est de 46,5 milliers d'euros.
	\end{enumerate} 
\item Après une étude de marché, le prix de vente de l'alliage produit a été fixé à $60$~milliers d'euros la tonne. 
	\begin{enumerate}
		\item La recette pour la vente de $5$~tonnes d'alliage est de 300 milliers d'euros $60\times 5 = 300$.  
		\item On note $R$ la fonction qui modélise la recette, exprimée en milliers d'euros, pour $x$ tonnes vendues.
		 
L'expression de $R(x)$ en fonction de $x$ est alors $R(x)=60x$. 
		\item  La fonction $R$ est représentée sur l'intervalle [0~;~10], dans le même repère que la courbe $\Gamma$ sur l'annexe. 
		\item L'entreprise réalise un bénéfice lorsque la droite représentant la recette  est au dessus de la courbe $\Gamma$. Nous lisons : $x$ appartient à l'intervalle $[3~;~\approx \np{8,4}]$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B -  Étude algébrique du bénéfice}

\medskip
 
On note $B$ la fonction qui modélise le bénéfice, exprimé en milliers d'euros, sur l'intervalle [0~;~10]. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrons que l'expression de $B(x)$, lorsque $x$ appartient à l'intervalle [0~;~10] est : $B(x) = - x^3 + 6x^2 + 36x - 135.$ Le bénéfice est la différence entre les recettes et les coûts. 

$B(x)=60x-\left( x^3 - 6x^2 + 24x + 135\right)=-x^3+6x^2+36x-135$.

 Nous obtenons le résultat attendu.
\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Déterminons  $B'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10]. 

$B'(x) = -(3x^2) + 6(2x) + 36 = -3x^2 +12x + 36$
\item On admet que $B'(x)$ peut s'écrire $B'(x) = (x + 2)(18 - 3x)$.
 
Étudions  le signe de $B'(x)$. $x$ étant positif, $x+2$ est strictement positif par conséquent le signe de $B'(x)$ est  celui de $18-3x$ ou de $6-x$.

Sur $\R,\quad 6-x>0 \iff x<6$. Il en résulte : si $x\in [0~;6[,\ B'(x)>0$ ou si $x\in]6~;~10],\ B'(x)<0$.

Étudions les variations de $B$ sur l'intervalle [0~;~10].
 
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)\geqslant 0$ alors $f$ est croissante sur $I$.

$B^\prime(x)\geqslant 0$ si $x\in[0~;~6]$ donc B est  croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)\leqslant 0 $ alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$.

 $B^\prime(x)\leqslant 0$ si $x\in[6~;~10]$ donc  B est décroissante sur cet intervalle.
 
 Dressons le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
 
 \medskip
 
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45){$6$}\uput[u](7.75,2.45){$10$}
\uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$}\uput[u](2.6,2){$+$}\uput[u](6.6,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $B$}
\uput[u](4.5,1.9){$0$} \uput[d](1.45,0.51){$-135$}\uput[u](4.5,1.5){$81$}\uput[d](7.2,0.55){$-175 $}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.1,1.6) \psline{->}(4.7,1.6)(7.3,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\item En lisant le tableau de variations, la quantité d'alliage à produire pour réaliser un bénéfice maximal est de 6~tonnes. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip 
{\footnotesize
Une plateforme de téléchargement légal propose des films et des albums de musique que les internautes peuvent acquérir soit par souscription à un abonnement, soit par achat occasionnel.

\medskip
 
Lors de son bilan annuelle gérant de la plateforme constate que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 35\,\% des téléchargements ont été effectués par des abonnés ; 
\item[$\bullet~~$] parmi les téléchargements effectués par des abonnés, 28\,\% concernent un film ; 
\item[$\bullet~~$] parmi les téléchargements effectués lors d'achats occasionnels, 56\,\% concernent un album de musique.
\end{itemize}

\medskip
 
Le gérant de la plateforme choisit au hasard le relevé d'un téléchargement dans le bilan annuel. On note : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement \og le téléchargement a été effectué par un abonné \fg 
\item[ ] $F$ l'évènement \og le téléchargement concerne un film \fg, 
\item[ ] $\overline{A}$ l'évènement contraire de A 
\item[ ] $\overline{F}$ l'évènement contraire de F.
\end{description}
\setlength\parindent{6mm}

\medskip
 }
\begin{enumerate}
\item  $P_{A}(F)=\np{0,28}$ car parmi les téléchargements effectués par des abonnés, 28\,\% concernent un film. 
\item Complétons l'arbre de probabilités ci-dessous correspondant à la situation. 

\begin{center}
\psset{labelsep=0.05pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{\np{0.35}}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$F$}\taput{\np{0.28}}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\np{0.72}}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{\np{0.65}}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$F$}\taput{\np{0.44}}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\np{0.56}}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item La probabilité de l'évènement \og le téléchargement a été effectué par un abonné et concerne un film. \fg{}  est notée $P(A\cap F)$.
$P(A\cap F) = P(A)\times P_{A}(F)=\np{0,35}\times \np{0,28}=\np{0,098}$.
\item Montrons que la probabilité que le téléchargement concerne un film est égale à $0,384$. Calculons $P(F)$.

$P(F)=P(A)\times P_{A}(F)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(F)= \np{0,098}+\np{0,65}\times \np{0,44}=\np{0,098}+\np{0,286}=\np{0,384}$.

Le résultat est bien celui attendu.
\item La probabilité que le téléchargement ait été effectué par un abonné, sachant qu'il concerne un film est notée $P_{F}(A)$. 

$P_{F}(A)= \dfrac{P(A \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\np{0,098}}{\np{0,384}}\approx \np{0.255}$.
 
\item Les évènements $A$ et $F$ sont indépendants si $P(A\cap F)=P(A)\times P(F)$. 

$P(A\cap F)=\np{0,098}~;\quad P(A) \times  P(F)= \np{0,35}\times\np{0,384}=\np{0,134}$.

L'égalité n'étant pas vérifiée, les évènements ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{4cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(11,1000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(-0.5,-30)(11,1000)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(11,\n)}
\uput[d](8.75,-40){Quantité fabriquée en tonnes}
\uput[u](0,1000){Coût en milliers d'euros}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp x 2 exp 6 mul sub 24 x mul add 135 add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=0.75pt,linecolor=cyan]{0}{10}{x 60 mul}
\uput[l](10,760){$\Gamma$}\uput[ul](0,0){O}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x 3 exp x 2 exp 6 mul sub 24 x mul add 135 add}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 4 def \Func)(!4 /x 4 def \Func)(4,0)
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 9.0375 def \Func)(!9.0375 /x 9.0375 def \Func)(9.0375,0)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{->}(3,180)(3,0)
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(8.373863,502.4318125)(8.373863,0)
\psset{arrowscale=1.1}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{<->}(3,75)(8.373863,75)
\uput[d](5.6,80){\textcolor{red}{\scriptsize zone de bénéfice}}\uput[d](8.374,0){\textcolor{red}{\scriptsize $\approx 8,4$}}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}