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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Vincent Tolleron
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG CGRH}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 19 juin 2013}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat CGRH Antilles--Guyane~\decofourright\\19 juin 2013}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre \np{6000} et \np{32000} pièces identiques. Le coût de fabrication, en euros, de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre $6$ et $32$, est noté $C(x)$ où $C$ est la fonction définie sur l'intervalle [6~;~32] par 

\[C(x) = 2x^3 - 108x^2 + \np{5060} x - \np{4640}.\]
 
La représentation graphique de la fonction $C$ est donnée en annexe. 

Toutes les pièces produites sont vendues au prix de 3,5~\euro{} l'unité.
 
Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32], on note $R(x)$ le montant de la vente en euros de $x$ milliers de pièces. Le bénéfice $B(x)$, en euros, pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces est 

$B(x) = R(x) - C(x)$. 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] : $R(x) = \np{3500}x$. 
\item Représenter la fonction $R$ sur l'annexe, à remettre avec la copie. 
\item Par lecture graphique, et avec la précision permise par celui-ci, répondre aux questions suivantes. On laissera apparents tous les tracés utiles aux lectures graphiques. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre de pièces produites correspond à un coût de \np{30000}~\euro{} ? 
		\item Quel nombre minimal de pièces fabriquées permet d'avoir un bénéfice positif ou nul ?
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] : 

\[B(x)= - 2x^3 + 108x^2 - \np{1560}x + \np{4640}.\]
 
\item On désigne par $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $B'(x)$. 
		\item Vérifier que $B'(x) = (- 6x + 60)(x - 26)$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [6~;~32]. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [6~;~32].
	\end{enumerate} 
\item Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise? Donner le nombre de pièces à produire réalisant ce maximum. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip
 
Un organisme de centres de vacances propose à ses clients deux types de destinations : en France ou à l'étranger. Pour chaque destination, le client a le choix entre deux types d'hébergement : le camping ou l'hôtel.
 
L'organisme fait une analyse statistique de ses fiches clients et constate que 60\,\% de ses clients optent pour les centres à l'étranger et parmi ceux-ci 80\,\% choisissent un hôtel. En outre, 70\,\% des clients choisissant un centre en France, se rendent dans un camping.

\medskip
 
On prélève une fiche client au hasard. Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie. 

On considère les évènements suivants :
 
$E$ : \og La fiche prélevée est celle d'un client ayant choisi un centre de vacances à l'étranger. \fg
 
$H$ : \og La fiche prélevée est celle d'un client ayant choisi un hôtel. \fg
\medskip
 
On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A,\: P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $P_{B}(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.

\medskip
\emph{ Les résultats numériques sont demandés sous forme décimale.}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Décrire par une phrase l'évènement $\overline{E}$ et donner sa probabilité $P\left(\overline{E}\right)$. 
		\item Déterminer la probabilité conditionnelle $P_{\overline{E}}\left(\overline{H}\right)$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous. 

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E$}\taput{0,6}}
	  { 
		  \TR{$H$}
		  \TR{$\overline{H}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E}$}}
	  {
		  \TR{$H$}
		  \TR{$\overline{H}$}
	  }	
}
\end{center} 

		\item Calculer la probabilité $P(E \cap H)$. 
		\item Calculer la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un client ayant choisi un hôtel en France. 
		\item Montrer que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un client ayant choisi un hôtel est de $0,6$. 
		\item Les deux évènements $E$ et $H$ sont-ils indépendants ?
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un client ayant choisi un centre de vacances en France sachant que ce dernier réside en hôtel.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

Le marché de la musique enregistrée se divise en deux grands domaines : le marché physique (supports matériels comme les CD) et le marché dématérialisé (téléchargements).

\medskip
 
Le tableau suivant indique les montants des ventes, en millions d'euros, correspondant au marché physique et au marché total de l'année 2006 à l'année 2011.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline 
Marché physique &1287 &1127 &941 &833 &466 &413\\ \hline 
Marché total &1310 &1156 &983 &894 &554 &524\\ \hline
\multicolumn{7}{l}{\emph{Source : Snep (Syndicat national de l'édition phonographique), juin 2012}}
\end{tabularx}

\medskip

Les deux parties sont indépendantes.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : Taux d'évolution}

\medskip

Dans cette partie, les réponses seront données sous forme de pourcentages arrondis à $0,01$ près.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle part du marché total le marché physique représente-t-il en 2011 ? 
\item Calculer le taux d'évolution global du marché physique entre 2006 et 2011. 
\item Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du marché physique entre 2006 et 2011 est de $- 20,33$\,\%. Donner une interprétation de ce résultat. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude du marché physique}

\medskip
 
On suppose que chaque année à partir de 2011, le marché physique connaît une baisse de 20\,\%.
 
On note $u_{n}$ le montant, en millions d'euros, des ventes en France correspondant au marché physique de l'année $2011 + n$. Ainsi, $u_{0} = 413$.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$. 
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Dans la feuille de calcul d'un tableur, on souhaite déterminer les premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

Quelle formule peut-on écrire en C3, qui, par recopie vers le bas, donnera le contenu des cellules de C3 à C15 ? 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C\\ \hline 
1& Année &Rang $n$ &$u_{n}$\\ \hline 
2 &2011& 0& 413\\ \hline 
3 &2012& 1&\fbox{\rule[3mm]{16mm}{0mm}}\\ \hline
4 &2013& 2&\\ \hline 
5 &2014& 3&\\ \hline 
6 &2015& 4& \\ \hline
7 &2016& 5&\\ \hline 
8 &2017& 6&\\ \hline 
9 &2018& 7&\\ \hline 
10&2019& 8&\\ \hline 
11&2020& 9&\\ \hline 
12&2021& 10&\\ \hline 
13&2022& 11&\\ \hline 
14&2023& 12&\\ \hline
15&2024& 13&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\item Si la tendance reste la même, quel sera le montant du marché physique en 2020 ? 

Arrondir le résultat au million d'euros près. 
\item En quelle année prévoit-on, d'après ce modèle, un montant du marché inférieur à $50$~millions d'euros ? 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{\large{ANNEXE de l'exercice 1}\: À rendre avec la copie} 

\vspace{0,5cm}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0001cm}
\begin{pspicture}(-2,-5000)(33,115000)
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\end{center}
\end{landscape}
\end{document}