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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small C.G.R.H.}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG C.G.R.H  Métropole~\decofourright\\20 juin 2013 }}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}
 
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction,la clarté  et la précision des raisonnements entreront pour une part importante  dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}   

\medskip
 
Le supermarché Baprix distribue en caisse un ticket à gratter à chaque acheteur. Les tickets gagnants 
donnent droit à des bons de réduction à utiliser la semaine suivante.
 
Le gérant veut augmenter ses ventes le mardi. Ce jour-là, un ticket sur cinq donne droit à un bon de réduction. Les autres jours de la semaine, un ticket sur 100 donne droit à un bon de réduction.
 
On interroge un client choisi au hasard. Celui-ci a acheté une seule fois chez Baprix la semaine précédente. 

Cette semaine là, 32\,\% des achats se sont faits le mardi. 

On désigne par $M$ l' évènement : \og le client a fait ses achats le mardi de la semaine précédente\fg{} et par $B$ l'évènement \og le client a obtenu un bon de réduction la semaine précédente\fg. 

$\overline{M}$ et $\overline{B}$ désignent respectivement les évènements contraires de $M$ et de $B$.

\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à 0,001 près.} 
\begin{enumerate}
\item	D'après l'énoncé, quelle est la probabilité que le client ait obtenu un bon de réduction, sachant qu'il 
a fait ses achats le mardi de la semaine précédente ? 
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt,nodesep=2.5pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$}\taput{\np{0.32}}}
	{\TR{$B$}\taput{}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$}\tbput{}}
	{\TR{$B$}\taput{\np{0.01}}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{}
	}
}
\end{center}
 
Calculer la probabilité $p(M \cap B)$ que le client ait fait ses achats le mardi de la semaine précédente et 
obtenu un bon de réduction à cette occasion. 
\item Traduire par une phrase l'évènement $\overline{M}\cap B$ puis calculer sa probabilité. 
\item Calculer $p(B)$. 
\item \textbf{\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non 
fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}} 

Le client interrogé a un bon de réduction. Y a-t-il plus de 80\,\% de chances qu'il ait fait ses achats le 
mardi de la semaine précédente ? 
\end{enumerate}    
    \vspace{0.5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}   
    
\medskip   
    
Le tableau ci-dessous donne le nombre d'abonnements annuels à un stade depuis 2006. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{7}{c|}}
\hline
Année 						&2006 	&2007 	&2008 		&2009		& 2010 		&2011 	&2012 \\ \hline
Rang de l'année : $x_i$ 	&1 		&2 		&3 			&4 			&5 			&6 		&7 \\ \hline
Nombre d'abonnements : $y_i$&\np{12310} &\np{13150} &\np{13300}	&\np{12855} &\np{13820}& \np{14490}& \np{15005} \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les parties I, II et III sont indépendantes.}\end{center} 

\medskip

\textbf{I -- Étude statistique} 

\medskip

Les données ci-dessus sont représentées par le nuage de points figurant en \textbf{\emph{annexe 1 à rendre avec la copie.}}
 
On a représenté sur le même graphique la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine de ce nuage de points par 
la méthode des moindres carrés. 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la calculatrice, déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$. 

On arrondira les coefficients à $0,1$ près. 
\item On considère que cet ajustement reste valide jusqu'en 2013 inclus. Quel est le nombre 
d'abonnements que l'on peut prévoir pour 2013 si la tendance observée se confirme ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II --Étude des taux d'évolution}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le taux global d'évolution du nombre d'abonnements entre 2006 et 2012. 

\emph{On arrondira le résultat à 1\,\% près.} 
\item 	Montrer que le taux annuel moyen d'évolution de ce nombre d'abonnements au cours de la période observée est d'environ $3,35$ \,\%.
 \end{enumerate}

\medskip

\textbf{III -- Étude d'une suite} 

\medskip

Le gérant du stade veut modéliser l'évolution du nombre d'abonnements dans les années futures en utilisant une suite géométrique $\left((u_n\right)$. Il estime que le nombre d'entrées va augmenter de 3\,\% par an. 

$u_n$ représente le nombre d'abonnements lors de l'année 2012+$n$. On a donc $u_0 = \np{15005}$. 

Pour ses calculs, il utilise un tableur dont un extrait figure dans l'\textbf{\emph{annexe 1 à rendre avec la copie.}}
 
Le format des cellules a été choisi pour que tous les nombres soient arrondis à l'unité.
\smallskip
 
\textbf{Les questions suivantes constituent un questionnaire à choix multiples (QCM).}
 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule réponse est correcte.} 

\emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. \\
Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou 
une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. }

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La raison de la suite géométrique est égale à : 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbullet~~ 0,03  &\textbullet~~1,03  &\textbullet~~ 103  \\
\end{tabularx}

\item La formule à entrer en cellule D3, qui, recopiée vers le bas, permettra d'obtenir l'estimation du nombre d'entrées entre 2013 et 2017 est: 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbullet~~ =D2*(1+A\$2)  &\textbullet~~=D\$2*(1+A\$2) &\textbullet~~ =D2*(1 +\$A2)  \\
\end{tabularx}

\item  Le nombre d'abonnés devrait dépasser \np{17000} : 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbullet~~ en 2017   &\textbullet~~  en 2015&\textbullet~~ jamais  \\
\end{tabularx}

\end{enumerate} 
    
\vspace{0.5cm}  
     
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\medskip
    
Un artisan fabrique des meubles qu'il vend au prix de 150 euros l'un. Chaque semaine, il en produit au 
maximum 16. On suppose que l'artisan vend tous les meubles qu'il fabrique. 

Le coût de fabrication de $x$ meubles, charges de l'entreprise incluses, exprimé en euros, est noté $C(x)$. La 
fonction C est définie sur l'intervalle [1~;~16].
 
\medskip

\textbf{Partie A :} lectures graphiques 

\medskip

Dans le graphique donné dans \textbf{\emph{l'annexe 2 à rendre avec la copie,}} on a représenté la fonction de coût C et la 
fonction recette R respectivement par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{R}$.

Répondre aux questions suivantes en utilisant ce graphique. 

\emph{On laissera apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.} 
\begin{enumerate}
\item Quel est le coût de fabrication de 6 meubles, exprimé en euros ? Quel est le coût de fabrication de 13 
meubles, exprimé en euros ? 
\item Est-il rentable pour l'artisan de fabriquer et vendre 13 meubles ? Justifier la réponse. 
\item Pour un coût de fabrication de 900 euros, combien l'artisan fabrique-t-il de meubles? 
\item Déterminer les nombres de meubles qui doivent être fabriqués pour que l'entreprise soit bénéficiaire. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :} étude du bénéfice 

\medskip

Le bénéfice est donné par $B(x)$ où $B$ est la fonction définie sur l'intervalle [1~;~16] par :
 
\[B(x) =-10x^2 + 140x-180 \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $B'(x)$, où $B'$ désigne la dérivée de la fonction $B$. 
\item Étudier le signe de $B' (x)$ . En déduire les variations de la fonction $B$. 
\item Combien de meubles l'artisan doit-il fabriquer par semaine pour que son bénéfice soit maximum ? 
\item Calculer ce bénéfice maximum. 
\item \textbf{\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même 
infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} }

L'artisan souhaite augmenter son bénéfice maximum. Pour ce faire, il réorganise son mode de production. 

Le bénéfice est alors donné par la fonction $F$ définie sur l 'intervalle [1~;~16] par : 

\[F(x) = -10x^2 +150x-180.\] 

Le bénéfice maximum va-t-il augmenter ? 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie.}
\vspace{0.5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2}}
    
\vspace{0.5cm}
\textbf{Partie I}
\end{center}
   
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm, yunit=0.0024cm}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.3)(10.3,6000)
\psaxes[Ox=0,Oy=12000,Dx=1,Dy=1000]{->}(10.2,5500)
\multido{\n=0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,5500)}
\multido{\n=0+200}{28}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\psdots[dotstyle=Add,dotscale=1.2,dotangle=45](1,310)(2,1150)(3,1300)(4,855)(5,1820)(6,2490)(7,3005)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{0}{10.1}{403.0357 x mul 50.71 sub}
\rput(0.5,5650){Nombre d'abonnements}\rput(10,+100){Rang de l'année}\rput(9.70,4300){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.75cm}

\begin{center}
\textbf{Partie II}3

\end{center}
\begin{center}

\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.75}}c|c|c|>{\centering \arraybackslash}m{1.5cm}|>{\centering \arraybackslash}p{3.15cm}|}\hline
\rowcolor[gray]{0.75}&A & B & C&  D\\\hline
%&A &B &C &D\\ \hline 
1 &Taux 	& Année &$n$&Nombre d'entrées $u_n$\\ \hline 
2 &3\,\% 	&2012 	&0 	&\np{15005}\\ \hline 
3 & 		&2013 	&1 	&\np{15455}\\ \hline 
4 & 		&2014 	&2 	&\np{15919} \\ \hline
5 & 		&2015	&3 	&\\ \hline
6 & 		&2016 	&4 	& \\ \hline 
7 & 		&2017 	&5	& \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie.}

\vspace{0.5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=0.9cm, yunit=0.0045cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(16.8,3200)

\multido{\n=0+0.5}{34}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,3200)}
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\rput(0.15,3250){Euros}\uput[u](16,40){Nombre de meubles}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{1}{16}{ x 150 mul }
\end{pspicture}
\end{document}