\documentclass[10pt]{article}
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%Corrig\'e : Jean-Paul Goualard
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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Correction de mercatique-Métropole }}
\rfoot{\small{20 juin 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint} 
\begin{document}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Correction du Baccalauréat STG Mercatique  Métropole \decofourright\\ 20 juin 2013 }}
\end{center}
    
%\vspace{0,5cm}
%
%%\begin{center} 
%La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
%
%Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

%Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

%\end{center}

%\vspace{0,5cm}
    
 \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   
 
 \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).} \\
%Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. \\
%Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie .\\
%Aucune justification n'est demandée. \\
%Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. }

\begin{enumerate}

\item 	%L'équation $\ln (3x) -1 = 0$ admet pour solution dans l'intervalle $]0~;~ \infty[$ : 	
	
%		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~ $\dfrac{1}{3}$  &\textbf{b.}~~$\dfrac{\e}{3}$ &\textbf{c.}~~$\dfrac{1}{3\e}$ &\textbf{d.}~~ $\e^{\scriptstyle{\frac{1}{3}}}$\\
%\end{tabularx}
L'équation $\ln (3x) -1 = 0$ s'écrit successivement $\ln(3x)=1$ puis $3x=\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{\mathrm{e}}{3}}}$ (réponse b.)

\item 	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3e^{2x+1}$. 
				
%	On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. 		
%		
%	Pour tout réel $x$, on a :
%	
%	
%	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~  $f'(x)=3\e^{2x+1}$ &\textbf{b.}~~$f'(x) = 2\e^{2x+1}$ &\textbf{c.}~~$f'(x) = \e^{2x+1}$  &\textbf{d.}~~ $f'(x) = 6\e^{2x+1}$ \\
%\end{tabularx}
$f=3\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=2x+1$ donc $f'=3\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=3u'\mathrm{e}^{u}$ où $u'(x)=2$.\\
Par conséquent : $f'(x)=3\times 2\mathrm{e}^{2x+1}=\boxed{\textcolor{red}{6\mathrm{e}^{2x+1}}}$. (réponse d.))
\end{enumerate}

 Pour les questions suivantes, $g$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~6]$ dont le 
tableau de variation est donné ci-dessous. 
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,2.5)
\psframe(10,2)
\psline(0,1.65)(10,1.65)\psline(2,0)(2,2)
\rput(1,1.80){$x$}\rput(2.2,1.8){$-5$}\rput(4.6,1.8){$-1$}\rput(7.2,1.8){$2$}\rput(9.6,1.8){$6$}
\rput(0.9,1){variations}\rput(0.7,0.4){de $g$}
\rput(2.2,1.5){3}\rput(7.2,1.5){1}
\rput(4.6,0.3){$0$}\rput(9.6,0.3){$-4$}
\psline{->}(2.4,1.48)(4.5,0.4)\psline{->}(4.7,0.4)(7.1,1.46)\psline{->}(7.4,1.48)(9.5,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
		
\item On peut affirmer que: 
 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~$g(-3)\leqslant g(-5)$   &\textbf{b.}~~$g(3)\geqslant g(-5)$  &\textbf{c.}~~$g(-3) < 0$ &\textbf{d.}~~$g(3)\leqslant g(5)$ \\
%\end{tabularx}
Sur l'intervalle [-5~;~-1], $g$ est décroisante, $-5\geqslant -3\geqslant -1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{g(-3)\leqslant g(-5)}}$. (réponse a.)

\item	On note $g'$ la fonction dérivée de g sur $[-5~;~6]$. 

%L'inéquation $g'(x) \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions l'intervalle: 
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~ $[-5~;~2]$  &\textbf{b.}~~$[-1~;~2]$ &\textbf{c.}~~ $[-1~;~6]$&\textbf{d.}~~$[2~;~6]$ \\
%\end{tabularx}
$g$ est croisante sur $[-1~;~2]$ donc $g'(x)$ a pour solution l'intervalle $\boxed{\textcolor{red}{[-1~;~2]}}$. (réponse b.)
\end{enumerate}
 \vspace{0.5cm}
 
 \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 

\medskip
  
Le tableau ci-dessous indique la production mondiale de voitures particulières de marque française entre 2004 et 2011. 

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{4.1cm}|*{8}{c|}}
\hline
Année 	&2004 &	2005 &	2006 &	2007 &	2008 &	2009 &	2010 &	2011 \\\hline
Nombre de voitures 								
particulières produites (en milliers) &\np{5168} &	\np{5178}&\np{5047} &\np{5301} &\np{4901} &\np{4807}&	\np{5610} &	\np{5605} \\\hline
 \end{tabular}
	\end{center}							
\begin{flushright}\emph{\small Source: comité des constructeurs français d'automobiles (CCFA)}\end{flushright} 

\begin{enumerate}
\item Entre 2003 et 2004, la production a augmenté de 2,46\,\%. %Déterminer le nombre de voitures particulières produites en 2003, au millier près. 
Soit $x$ le nombre de voitures en 2003 ; le coefficicient multiplicateur entre 2003 et 2004 est $1+\dfrac{2,46}{100}=\np{1,0246}$ donc $1,0246x=\np{5168}$ d'où \\
$x=\dfrac{\np{5168}}{\np{1,0246}}\approx \boxed{\textcolor{red}{\np{5044}}}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer le taux d'évolution global de la production entre 2004 et 2011. 
Soit $T$ le taux d'évolution entre 2004 et 2011 :\\
$T=\dfrac{\np{5605}-\np{5168}}{\np{5168}}\approx 0,08455$, soit environ $\boxed{\textcolor{red}{8,46\:\%}}$.
					  % On donnera le résultat en pourcentage à 0,01 près. 
		\item 	%En déduire le taux d'évolution annuel moyen de la production entre 2004 et 2011. 
%
%		
%On donnera le résultat en pourcentage à 0,01 près. 
Soit $t$ le taux annuel moyen entre 2004 et 2011.\\
On a $(1+t)^{7}=1+T$ donc $t=(1+T)^{\frac17}-1\approx 0,01166$ soit environ $\boxed{\textcolor{red}{1,17\:\%}}$.
	\end{enumerate}
\item 	%On choisit l'indice de référence 100 pour la production de l'année 2004.
%Calculer l'indice, arrondi à 0,01 près, de la production en 2009. 
Soit $I$ l'indice en 2009 ; on a $\dfrac{I}{100}=\dfrac{\np{4807}}{\np{5168}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{I\approx 93,01}}$ à 0,01 près.
\end{enumerate}

Dans une feuille de calcul d'un tableur, reproduite ci-dessous, on a recopié ces données afin de calculer 
les taux d'évolution annuels de la production. 

Les cellules de la plage C3:I3 sont au format pourcentage à deux décimales. 

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.95}}c|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}m{1.195cm}|}}\hline
\rowcolor[gray]{0.95}&A & B & C&  D  & E &	F &	G &	H &	I   \\
\hline		
1 &	Année &2004 &2005&2006& 2007 &	2008 &	2009& 2010 &2011\\
\hline 
 2 &Production (en milliers)&\np{5168} &	\np{5178} &	\np{5047} &	\np{5301} &	\np{4901} &\np{	4807} &	\np{5610} &	\np{5605} \\ 
\hline
 3 &Taux d'évolution annuel&\cellcolor[gray]{0.65}&0,19\,\% &	$-2,53\,\%$ &	$5,03\,\% $&	$-7,55\,\% $&	$-1,92\,\%$ &	$16,70\,\%$ 	&$-0,09\,\% $\\
 \hline 	
\end{tabular}

\medskip
		
\begin{enumerate}
\item %Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 pour obtenir, par recopie vers la droite, le contenu des cellules de la plage C3:I3 ? 
Dans la cellule C3, ou peut taper la formule \og{}$\boxed{\textcolor{red}{=(\text{C}2-\text{B}2)/\text{B}2}}$\fg ou \og{}$\boxed{\textcolor{red}{=(\text{C}\$2-\text{B}\$2)/\text{B}\$2}}$\fg.

\item %Au vu des résultats obtenus, peut-on considérer que le taux d'évolution annuel moyen calculé dans la question \textbf{2.b.} modélise de façon pertinente l'évolution de la production? Justifier la réponse. 
Non, ce taux annuel moyen n'est \textbf{pas pertinent}, car il y a de grandes variations dans les taux successifs, certains négatifs et d'autres positifs.
\end{enumerate}

 \vspace{5mm}
 
  \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} 
 
% Dans une parfumerie, on remet à chaque client un échantillon de parfum gratuit lors du passage en 
%caisse. Parmi les échantillons disponibles : 
%\begin{itemize}
%\item [$\bullet$] 55 \,\% sont des parfums pour femme, les autres sont pour homme;
%\item [$\bullet$] 48 \,\% des parfums pour homme sont de la marque Alpha ; 
%\item [$\bullet$] 12\,\% des parfums pour femme sont de la marque Alpha. 
%\end{itemize}
%
%L 'hôtesse de caisse choisit un échantillon de parfum au hasard. On admet que chaque échantillon a la 
%même probabilité d'être choisi. 
%
%On définit les évènements suivants : 
%\begin{itemize}
%\item [$\bullet$] F : \og l'échantillon choisi est un parfum pour femme\fg{} ; 
%\item [$\bullet$] H : \og l'échantillon choisi est un parfum pour homme\fg{} ; 
%\item [$\bullet$] A : \og l'échantillon choisi est de la marque Alpha\fg. 
%\end{itemize}
%
%On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de A. 

%\emph{Les probabilités demandées seront données sous forme décimale.} 
\begin{enumerate}
\item %Donner, à partir des informations de l'énoncé: 
\begin{enumerate}
\item %la probabilité $P(\text{F})$ de l'évènement F ; 
La probabilité  de l'évènement F est $p(\text{F})=\dfrac{55}{100}=\boxed{\textcolor{red}{0,55}}$; 

\item %la probabilité $P_{\text{F}}(\text{A})$ de l'évènement A sachant que l'évènement F est réalisé. 
La probabilité  de l'évènement A sachant que l'évènement F est réalisé est $p_{\text{F}}(\text{A})=\dfrac{12}{100}=\boxed{\textcolor{red}{0,12}}$
\end{enumerate}

\item %Reproduire et compléter sur la copie l'arbre de probabilités ci-dessous. 
Voici l'arbre de probabilités . 
\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{F}\taput{\np{0.55}}}
	{\TR{A}\taput{$0,12$}
	\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{$0,88$}
	}
\pstree{\TR{H}\tbput{$0,45$}}
	{\TR{A}\taput{$0,48$}
	\TR{$\overline{\text{AC}}$}\tbput{$0,52$}
	}
}
\end{center}

\item 
		\begin{enumerate}
		\item  %Définir par une phrase l'évènement H $\cap$ A. 
		L'évènement H $\cap$ A est l'évènement \og{} l'échantillon est un parfum pour homme de la marque Alpha .
		
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement H $\cap$ A. 
		$p(\text{H}\cap \text{A})=p_{\text{H}}(\text{A})\times p(\text{H})=0,48\times 0,45=\boxed{\textcolor{red}{0,216}}$
		\end{enumerate}

\item %Montrer que la probabilité de l'évènement A est égale à 0,282. 
$p(A)=0,12\times 0,55+0,48\times 0,45=0,066+0,216=\boxed{\textcolor{red}{0,282}}$.

\item 	%Calculer la probabilité que l'échantillon soit un parfum pour homme sachant qu'il est de la marque Alpha. 
%
%On arrondira le résultat au millième. 
$p_{\text{A}}(\text{H})=\dfrac{p(\text{H}\cap \text{A})}{p(\text{A})}=\dfrac{0,216}{0,282}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,77}}$ à 0,01 près
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} 

 \medskip
 
{\textbf{ Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. }}

\medskip

On s'intéresse à l'évolution du nombre de licences sportives en France.

\medskip
 
\textbf{Partie A }

\medskip

%Le tableau ci-dessous indique le nombre de licences sportives, toutes pratiques confondues, entre 2004 et 2010.
%
%\smallskip 
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|m{3.9cm}|*{7}{c|}}
%\hline
%Année &	2004 &	2005 &	2006&	2007& 	2008 &	2009& 	2010 \\
%\hline
%Rang de l'année $x_i$& 	0 &	1 &	2 &	3 	&4 	&5& 	6 \\
%\hline
%Nombre de licences sportives (en millions) $y_i$ 	&15,23 &	15,78& 	15,91 &	16,25 &	16,78& 	17,27 &	17,42\\
%\hline
% \end{tabular}\end{center}	
%\begin{flushright}					
%\emph {\small Source: mission des études, de l'observation et des statistiques (Meos)}\end{flushright} 


%Le nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ pour $i$ variant de 0 à 6 est représenté en \textbf{annexe}. 

\begin{enumerate}
\item 	%À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au millième). 
À la calculatrice, on trouve que l'équation de la droite est $\boxed{\textcolor{red}{y = 0,372x + 15,261 }}$

\item On décide d'ajuster le nuage avec la droite D d'équation $y = 0,37 x + 15,26$. 
	\begin{enumerate}
	\item  %Tracer la droite D sur le graphique de l'\textbf{annexe à rendre avec la copie}. 
	Voir graphique.
	
	\item %Calculer le nombre de licences sportives prévu par ce modèle d'ajustement en 2013. 
	2013 correspond à $x=9$ ; on remplace $x$ par 9 ; $0,37\times 9 + 15,26\approx \boxed{\textcolor{red}{18,59}}$.\\
En 2013, on peut prévoir 18,59 millions de licences sportives.

	\item %Selon ce modèle, en quelle année le nombre de licences sportives sera-t-il pour la première fois supérieur à 20 millions ? 
	On résout l'inéquation $0,37 x + 15,26\geqslant 20$, soit $0,37x\geqslant 20-15,26=4,74$ d'où $x\geqslant \dfrac{4,74}{0,37}\approx \boxed{\textcolor{red}{12,81}}$.\\
On dépassera les 20 millions de licences en 2017.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B }

\medskip

%On étudie plus particulièrement le nombre de licences sportives délivrées par la Fédération Française 
%de la Randonnée Pédestre. 
%
%En 2004, on comptait \np{170000} randonneurs licenciés. Entre 2004 et 2010, ce nombre a augmenté en 
%moyenne de 4\,\% par an, et on suppose que cette évolution va se poursuivre au moins jusqu'en 2020. 
%
%Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne une estimation du nombre de randonneurs licenciés, en milliers, 
%pendant l'année (2004 + $n$). Ainsi, $u_0=170$. 
 \begin{enumerate}
 \item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_n \right)$ ? Justifier et préciser sa raison. 
 Le coefficient  multiplicateur annuel est $1+\dfrac{4}{100}=1,04$ ; pour tout $n$, $u_{n+1}=1,04u_{n}$.\\
 La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc \textbf{géométrique}, de raion $q=1,04$ et de premier terme $u_{0}=170$.
 
\item %Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
On en déduit que, pour tout $n$, $u_{n}=u_{0}q^{n}=\boxed{\textcolor{red}{170\times 1,04^{n}}}$.

 \item %Déterminer, au millier près, le nombre de randonneurs licenciés prévu par ce modèle en 2013. 
 2013 correspond à $n = 9$ ; $u_{9} = 170\times 1,04^{9}\approx 241,963$, soit environ \np{242} milliers de licenciés.
 
 \item%Selon ce modèle, en quelle année le nombre de randonneurs licenciés sera-t-il pour la première fois supérieur à \np{300 000} ? 
 $u_{n}\geqslant 300$ s'écrit $170\times 1,0'^{n}\geqslant 300$ d'où $1,04^{n}\geqslant \dfrac{300}{170}=\dfrac{30}{17}$.\\
En appliquant la fonction $\ln$, on doit alors savoir $\ln\left(1,04^{n}\right)\geqslant \ln\left(\dfrac{30}{17}\right)$ d'où $n\ln(1,04)\geqslant \ln\left(\dfrac{30}{17}\right)$, c'est-à-dire $n\geqslant \dfrac{\ln\left(\frac{30}{17}\right)}{\ln(1,04)}\approx \boxed{\textcolor{red}{14,48}}$.

On dépassera \np{300000} licenciés en 2019
\end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}
\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.3)(11.4,4)
\psaxes[Ox=0,Oy=15,Dx=1,Dy=0.2]{->}(10.5,3.8)
\multido{\n=0+0.5}{22}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-0.01)(\n,3.8)}
\multido{\n=0+0.1}{39}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(10.7,\n)}
\psdots[dotstyle=Add,dotscale=1.6,dotangle=45](0,0.23)(1,0.78)(2,0.91)(3,1.25)(4,1.78)(5,2.27)(6,2.42)
% \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{0}{10.1}{403.0357 x mul 50.71 sub}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{0}{10.1}{0.372 x mul  0.261 add}
\rput(0.5,3.92){Nombre de licences}\rput(0.5,3.83){sportives en millions}
\rput(11.45,-0.07){Rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}