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%correction : Jean-Paul GOUALARD
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique, CFE, GSI}
\lfoot{\small{Correction Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\gray Correction de Baccalauréat STG --- Mercatique, CFE, GSI\\
 Antilles-Guyane 20 juin 2013}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
% 
%Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
% 
%\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une absence de réponse ou pour une réponse inexacte.}
%
%\medskip
% 
%Le tableau ci-dessous donne les réussites de 3 lycées à un examen. 
%
%On choisit au hasard un élève ayant passé l'examen parmi les élèves de ces lycées et l'on suppose que chaque élève a la même probabilité d'être choisi.
% 
%On note :
% 
%$A$ l'évènement : \og l'élève appartient au lycée A \fg,
%
%$R$ l'évènement: \og l'élève a réussi l'examen \fg.
% 
%On note $P_{R}(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant $R$. 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&Lycée A &Lycée B &Lycée C &Total\\ \hline 
%Nombre d'élèves ayant réussi l'examen&42 &41 &22 &105\\ \hline
%Nombre total d'élèves ayant passé l'examen   &54 &60 &36 &150\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\bigskip 

\begin{enumerate}
\item La probabilité de l'évènement A est : $p(\text{A})=\dfrac{54}{150}=\boxed{\textcolor{red}{0,36}}$ (\textbf{réponse a;})

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
%\textbf{a.~~} $P(A)=0,36$& 	\textbf{b.~~} $P(A)= \dfrac{1}{3}$& 
%\textbf{c.~~} $P(A) = \dfrac{42}{54}$&  \textbf{d.~~} $P(A)= \dfrac{42}{105}$
%\end{tabularx}
%\medskip
 
\item La probabilité de l'évènement $A \cap R$ est : $p(\text{A}\cap \text{R})=\dfrac{42}{150}=\boxed{\textcolor{red}{0,28}}$ (\textbf{réponse b.})

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}} 
%\textbf{a.~~} \footnotesize$P(A \cap R)=0,78$& 	\textbf{b.~~} $P(A \cap R)= 0,28$& 
%\textbf{c.~~} $P(A \cap R) = 0,4$&  \textbf{d.~~} $P(A \cap R) = \dfrac{1}{6}$
%\end{tabularx}
%\medskip
 
\item La probabilité de l'évènement $A \cup R$ est  : \\
$p(\text{A}\cup \text{R})=p(\text{A})+p(\text{R})-p(\text{A}\cap \text{R})=\dfrac{54}{150}+\dfrac{105}{150}-\dfrac{42}{150}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{117}{150}}}$ (\textbf{réponse b.})

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}}
%\textbf{a.~~} $P(A \cup R) = \dfrac{42}{54}$& 	\textbf{b.~~} $P(A \cup R)= \dfrac{117}{150}$& 
%\textbf{c.~~} $P(A \cup R) = \dfrac{54}{150}$&  \textbf{d.~~} $P(A \cup R) = \dfrac{159}{150}$
%\end{tabularx}
%\medskip 

\item La probabilité $P_{R}(A)$ est  : $\dfrac{42}{105}=\boxed{\textcolor{red}{0,4}}$ (\textbf{réponse c.}).\\
On peut aussi calculer $\dfrac{p(\text{A}\cap \text{R})}{p(\text{R})}=\dfrac{\dfrac{42}{150}}{\dfrac{105}{150}}=\dfrac{42}{105}$ 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
%\textbf{a.~~} $P(A) = 0,78$& 	\textbf{b.~~} $P(A) = 0,28$& 
%\textbf{c.~~} $P(A) = 0,4$&  \textbf{d.~~} $P(A) = 0,6$
%\end{tabularx}
%\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\medskip

Le tableau ci-dessous représente le prix d'un même objet en fonction de l'année entre 2003 et 2011.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2003 &2004 &2005&2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Prix de l'objet en euros : $y_{i}$ &10,1 &8,5 &7,4 &6,5 &5,8 &5,1 &4,6 &4,2 &3,9\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
%Le nuage des points $M\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique est représenté dans un repère orthogonal en annexe.
% 
%Dans la suite de l'exercice, on étudie trois méthodes différentes permettant d'anticiper le prix de l'objet dans les années à venir. 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Ajustement affine} 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'équation réduite de la droite (D) passant par le premier et le dernier point du nuage. 
		L'équation réduite est de la forme $y=ax+b$.\\
		$a$ est le coefficient directeur : $a=\dfrac{3,9-10,1}{8-0}=\dfrac{-7,2}{8}=-0,775$.\\
		L'ordonnée à l'origine est  $b=10,1$ puisque la droite passe par le point de coordonnées $(0~;~10,1)$.\\
L'équation cherchée est donc $\boxed{\textcolor{red}{y=-0,775x+10,1}}$.

		\item %Tracer la droite (D) dans le repère précédent. 
		Tracé :
		\begin{center}
\psset{unit=1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(11,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(11,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.5,-0.5)(11,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=6](0,0)(11,11)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,10.1)(1,8.5)(2,7.4)(3,6.5)(4,5.8)(5,5.1 )(6,4.6)(7,4.2)(8,3.9)
\uput[dl](0,0){O} 
\psplot{0}{8}{10.1-0.775*x}
\end{pspicture}

\end{center}
		\item On choisit la droite (D) comme droite d'ajustement affine de y en x. \\
%En déduire une estimation du prix de l'objet en 2013 avec cet ajustement (arrondir au centième d'euro). On indiquera la méthode utilisée.
2013 correspond à  $x=10$ : on trouve $-0,075\times 10+10,1=2,35$.\\
Avec cette estimation, le prix en 2013 sera de $\boxed{\textcolor{red}{2,35~\text{\euro}}}$.
	\end{enumerate}
	
\item \textbf{Ajustement inverse} 
	\begin{enumerate}
		\item On note $z = \dfrac{1}{y}$. Reproduire, puis compléter le tableau ci-dessous ; on arrondira les résultats  au millième : 
		
\medskip
\scriptsize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline

Année &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline  
Rang de l'année : $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
$z_{I} = \dfrac{1}{y_{i}}$&$\dfrac{1}{10,1} \approx 0,099$&0,118&0,135&0,154&0,172&0,196&0,217&0,238&0,256\\ \hline 
\end{tabularx}
\normalsize
\medskip

		\item %À l'aide d'une calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au millième. 
		À la calculatrice, on trouve comme équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ : $\boxed{\textcolor{red}{z=0,020x + 0,097}}$.
		
		\item Pour cette question, on décide de prendre : $y = \dfrac{1}{0,02x + 0,1}$.
 
%À l'aide de cet ajustement, déterminer une nouvelle estimation du prix de l'objet en 2013. On arrondira au centième d'euro.
Pour $x=10$ : $y= \dfrac{1}{0,02\times 10 + 0,1}=\dfrac{1}{0,3}=\dfrac{10}{3}\approx 3,33$.
À l'aide de cet ajustement,  une nouvelle estimation du prix de l'objet en 2013 est $\boxed{\textcolor{red}{3,33\text{ \euro}}}$.
	\end{enumerate}
	
\item \textbf{Ajustement \og moyen \fg} 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le taux d'évolution global du prix entre 2003 et 2011 arrondi à 0,01\,\%. 
		Le taux d'évolution global du prix entre 2003 et 2011 est :\\
		 $\dfrac{3,9-10,1}{10,1}=-\dfrac{6,2}{10,1}\approx -0,6139$, soit environ $\boxed{\textcolor{red}{-61,39\:\%}}$.

%Vérifier que ce taux correspond à une baisse annuelle moyenne de 11,21\,\% entre 2003 et 2011. \\
Soit $t$ le taux annuel moyen entre 2003 et 2011.\\
On a $(1+t)^{8}=1-0,6139=0,3861$ donc $1+t=0,3861^{\frac18}$ d'où \\
$t=0,3861^{\frac18}-1\approx -0,11215434183043$, soit environ $\boxed{\textcolor{red}{-11,21\:\%}}$.\\
Le taux annuel moyen correspond bien à une baisse de 11,21\:\%.

		\item %On suppose que ce taux correspond aux évolutions du prix de l'objet dans les années à venir. À l'aide de cet ajustement, en déduire une troisième estimation du prix de l'objet en 2013. On arrondira au centième d'euro.
		En supposant que ce taux se maintienne, le prix en 2013 sera :\\
		$3,9\times \left(1-\dfrac{11,21}{100}\right)^{2}\approx 3,07$.\\
		En suivant ce modèle, le prix en 2013 sera de $\boxed{\textcolor{red}{3,07\text{ \euro}}}$.
	\end{enumerate} 
	
\item \textbf{Comparaison}
 
En 2013, le prix réel de l'objet est de $3,30$ \euro. 
%D'après les questions précédentes, déterminer l'ajustement qui semble le plus adéquat. On justifiera rapidement.
L'ajustement inverse donne un prix de 3,33 \euro, donc c'est l'ajustement inverse qui donne  la meilleure approximation.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip

%Paul a fait un héritage de \np{150000}~\euro{} au début de l'année 2013.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %On lui propose de placer cette somme sur un compte qui rapporte 4\,\% par an. 

%On note $u_{n}$ la somme en euros disponible sur ce compte l'année $(2013 + n)$. On a donc 
%$u_{0} = \np{150000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $u_{1} = \np{156000}$. 
		Le coefficient multiplicateur est $1+\dfrac{4}{100}=1,04$.\\
		On en déduit $u_{1}=u_{0}\times 1,04=\numprint{150000}\times 1,04=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{156000}}}$.
		
		\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		Pour tout $n$, on a $u_{n+1}=1,04 u_{n}$ ; la suite $\left(u_{n}\right)$ est \textbf{géométrique}, de raison $q=1,04$ et de premier terme $u_{0}=\numprint{150000}$.\\
		On en déduit : $u_{n}=u_{0}q^{n}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n}=\numprint{150000}\times 1,04^{n}}}$.
		
		\item %Déterminer l'année à partir de laquelle Paul disposera d'au moins \np{250000}~\euro.
		On veut $u_{n}\geqslant \numprint{250000}$ donc $\numprint{150000}\times 1,04^{n}\geqslant \numprint{250000}$ \\
		donc $1,04^{n}\geqslant \dfrac{\numprint{250000}}{\numprint{150000}}=\dfrac{5}{3}$.\\
		On en déduit $\ln\left(1,04^{n}\right)\geqslant \ln\left(\dfrac{5}{3}\right)$, d'où $n\geqslant \dfrac{\ln\left(\frac53\right)}{\ln(1,04)}\approx 13,02$.\\
		Comme $n$ est entier, il faut que $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 14}}$.\\
		Paul disposera donc d’au moins \numprint{250000} \euro{} dans 14 ans, soit en \textbf{2027}.
	\end{enumerate} 
	
\item %Pour augmenter plus rapidement son capital, Paul décide d'économiser chaque année \np{8000}~\euro, qu'il place en fin d'année sur son compte rémunéré à 4\,\%. 

%Au début de l'année 2014, Paul possèdera donc la somme de : 
%
%$\np{150000} \times 1,04 + \np{8000} = \np{164000}$ (en euros). 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la somme que Paul possède en début d'année 2015 est de 178 560 ?. On note $v_{n}$ la somme que Paul possède au début de l'année $(2013 + n)$. 
		En 2015, Paul possèdera $164000\times 1,04+\numprint{8000}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{178560}\text{ \euro}}}$.

%Voici une feuille de calcul qui permet de calculer la somme en euros possédée par Paul à la fin de chaque année: 

		\item %Quelle formule doit-on entrer dans la cellule B3 pour calculer les intérêts de l'année? 
		Dans la cellule B3, il faut taper \og{}\textbf{=A3*4/100}\fg.
		
		\item %Quelles formules doit-on entrer dans les cellules C3 et D3 par recopie vers le bas pour obtenir la somme dont dispose Paul à la fin de chaque année ? 
		En D3, on tape \og{}=D2\fg ou \og{}\textbf{=8000}\fg.\\
		En E3, on tape \og{}\textbf{=A3+B3+C3}\fg ou \og{}\textbf{=SOMME(A3:C3)}\fg.
		\item %Déterminer l'année à partir de laquelle Paul pourra disposer de la somme de \np{250000}~\euro.\\
En complétant le tableau, on obtient :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	&C	&D\\ \hline 
1	&\small Somme sur le compte en début d'année&\small   Intérêt (4\,\% de la somme sur le compte en début d'année)&\small  Argent économisé pendant l'année &\small  Somme totale sur le compte en fin d'année \\ \hline 
2&\np{150000}&\np{6000}&\np{8000}& \np{164000}\\ \hline
3&150 000&6 000&8 000&164 000\\
\hline
4&164 000&6 560&8 000&178 560\\
\hline
5&178 560&7 142&8000&193 702\\
\hline
6&193 702&7 748&8000&209 450\\
\hline
7&209 450&8 378&8000&225 829\\
\hline
8&225 829&9 033&8000&242 862\\
\hline
9&242 862&9 714&8000&260 576\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
C'est en \textbf{2020} que Paul possédera au moins \numprint{250000} \euro sur son compte.\\

\textbf{Autre façon} : on  considère la suite définie par $v_{0}=\numprint{150000}$ et \\$v_{n+1}=1,04v_{n}+\numprint{8000}$ et on calcule les termes à la calculatrice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~10] par : 

\[f(x) = x^2 - 2x + 30 - 24 \ln (x).\] 

Une entreprise fabrique des objets. Le coût unitaire (en euros) pour $x$ centaines d'objets produits est égal à $f(x)$. 

%Par exemple : On a $f(2) \approx 13,36$, ce qui signifie que pour $200$ objets produits, le coût de production par objet est d'environ $13,36$~euros. L'entreprise devra donc vendre ces $200$ objets à plus de $13,36$~euros pièce si elle ne veut pas vendre à perte.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(3)$ à $10^{- 2}$ près et interpréter le résultat en s'inspirant de l'exemple précédent. 
$f(3)\approx 6,63$ ; Pour 300 objets, le coût de fabrication de chaque objet est $\boxed{\textcolor{red}{6,63\text{ \euro}}}$.
 
\item %Recopier, puis compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On arrondira les résultats au centième.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ 	&1 	&2 		&3 	&4 	&5 	&6 	&8 	&10\\ \hline 
$f(x)$&29,00&13,36	&6,63	&4,73	&6,37	&11,99	&28,09	&54,74\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 

\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~10] et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

%Montrer que sur l'intervalle [1~;~10] , $f'(x) = \dfrac{2(x - 4)(x + 3)}{x}$. 
$f'(x)=2x-2-24\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^{2}-2x-24}{x}=\dfrac{2\left(x^{2}-x-12\right)}{x}$.\\
$\dfrac{2(x-4)(x+3)}{x}=\dfrac{2\left(x^{2}-4x+3x-12\right)}{x}=\dfrac{2\left(x^{2}-x-12\right)}{s}=f'(x)$ donc\\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{2(x-4)(x+3)}{x}}}$.

\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~10], puis dresser le tableau de variation de $f$ sur cet intervalle. 
Signe de $f'(x)$ : sur $[1~;~10]$, $x>0$, $2>0$ et $x+3>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x-4$, qui s'annule en 4.\\
On en déduit que $f'(x) < 0$ sur $[1~;~4[$, $f'(4)=0$ et $f'(x)>0$ sur $]4~;~10]$.\\
\textbf{Tableau de variation }:
\begin{center}
\begin{variations}
x&1&&4&&10\\
\hline
\text{signe de }f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{29}&\d&38-24\ln(4)&\c&\h{110-24\ln(10)}\\
\end{variations}
\end{center}

\item %Pour combien d'objets produits, le coût de fabrication par objet est-il minimum ? Donner la valeur arrondie au centime d'euros de ce coût minimum. 
Le coût de fabrication par objet est minimal pour \textbf{400} objets ; IL est alors d'environ $\boxed{\textcolor{red}{4,73\text{ \euro{}}}}$ par objet.

\item La courbe représentative de la fonction! est donnée en annexe dans un repère orthogonal. 
	\begin{enumerate}
		\item %Avec la précision permise par le graphique, résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \leqslant 20$. 
On considère l'inéquation $f(x)\leqslant 20$ ; sur le graphique, on trace la droite d'équation $y=20$.\\
On trouve qu'on a environ $\boxed{\textcolor{red}{1,5\leqslant x\leqslant 7,2}}$.
		
		\item %L'entreprise vend chaque objet $20$~euros pièce. Pour quelle(s) quantité(s) d'objets produits et vendus, l'entreprise est-elle bénéficiaire ?
On en déduit que l'entreprise est bénéficiaire lorsqu'elle vend environ \textbf{entre 150 et 720 objets}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-0.4,-4)(10.5,60)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(-0.4,-4)(10.5,60)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,55)}
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\uput[u](10.5,0){$x$} \uput[r](0,58){$y$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{10}{x dup mul x 2 mul sub 30 add x ln 24 mul sub}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linecolor=red](1,20)(10,20)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](1.47,20)(1.47,0)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](7.19,20)(7.19,0)
\end{pspicture}
\end{document}