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%Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique, CFE, GSI}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{13 septembre 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG ---Mercatique, CFE, GSI~\decofourright\\
 Antilles-Guyane 13 septembre 2013}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une absence de réponse ou pour une réponse inexacte.}

\medskip
 
Le 1\up{er} janvier 2000, Gilbert hérite de \np{3500}~\euro. Il décide de placer cette somme sur un compte épargne à intérêts composés au taux d'intérêts annuel de $2,4$\,\%.
 
Pour tout $n$ entier naturel, on note $u_{n}$ la somme disponible sur le compte de Gilbert au 1\up{er} janvier de l'année $(2000 + n)$. Ainsi, on a $u_{0} = \np{3500}$. 

Gilbert utilise une feuille de calcul afin de déterminer les montants dont il disposera chaque année et le taux d'évolution global par rapport à l'année 2000. Un extrait de cette feuille de calcul est donné ci-dessous.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{gristab}}c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\rowcolor[gray]{0.8}&A	&B	&C\\ \hline
1& Rang $n$&Épargne disponible& Taux d'évolution par rapport à l'an 2000\\ \hline 
2&0&\np{3500}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad} \\ \hline
3&1&\np{3584}&\np{0,0240}\\ \hline
4&2&\np{3670,02}&\np{0,0486}\\ \hline
5&3&\np{3758,10}&\np{0,0737}\\ \hline
6&4&\np{3848,29}&\np{0,0995}\\ \hline
7&5&\np{3940,65}&\np{0,1259}\\ \hline
8&6&\np{4035,23}&\np{0,1529}\\ \hline
9&7&\np{4132,07}&\np{0,1806}\\ \hline
10&8&\np{4231,24}&\np{0,2089}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~} arithmétique de raison 84&\textbf{b.~} géométrique de raison 2,4\\
\textbf{c.~} géométrique de raison 1,024 &\textbf{d.~} géométrique de raison 0,024
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Parmi les formules suivantes pour la cellule B3, laquelle permet d'obtenir les résultats de la colonne B par recopie automatique vers le bas ? 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~} =3500* 1,024&\textbf{b.~} =B2*1,024\\
\textbf{c.~} =3500*1,024\^{} \negthinspace A2&\textbf{d.~}  =B\$2*1,024
\end{tabularx}
\medskip 

\item Parmi les formules suivantes pour la cellule C3, laquelle permet d'obtenir les résultats de la colonne C par recopie automatique vers le bas ? 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~}  =B3-B2/B2&\textbf{b.~} =(B3-\$B\$2)/\$B\$2\\
\textbf{c.~}  =(B3-B2)/B2&\textbf{d.~} =B3/\$B\$2
\end{tabularx}
\medskip
 
\item À partir de quelle année l'épargne de Gilbert dépassera-t-elle \np{5000}~\euro{} ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~}   2014&\textbf{b.~} 2016\\ 
\textbf{c.~}   2018&\textbf{d.~} 2020 
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
Une boîte de biscuits contient $80$ biscuits d'aspect identique. 

On sait que, dans cette boîte :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $40$ biscuits sont à la vanille, $24$ biscuits sont à l'orange et les biscuits restants sont à la noix de 
coco ; 
\item[$\bullet~~$] 60\,\% des biscuits à la vanille contiennent des pépites de chocolat; 
\item[$\bullet~~$] 25\,\% des biscuits à l'orange contiennent des pépites de chocolat ;
\item[$\bullet~~$] Aucun biscuit à la noix de coco ne contient de pépites de chocolat.
\end{itemize}

\medskip

La boite étant pleine, on choisit au hasard un biscuit dans la boîte. On admet que chaque biscuit a la même probabilité d'être choisi.
 
On définit les évènements suivants :
 
$V$ : \og le biscuit choisi est un biscuit à la vanille \fg{} ; 

$O$ : \og le biscuit choisi est un biscuit à l'orange \fg{} ;
 
$N$ : \og le biscuit choisi est un biscuit à la noix de coco \fg{} ;

$C$ : \og le biscuit choisi contient des pépites de chocolat \fg.
 
Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ et $p(A)$ la probabilité que l'évènement $A$ soit réalisé.
 
Dans les questions suivantes, les probabilités seront données sous forme décimale.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la probabilité que l'on choisisse un biscuit à la noix de coco est égale à $0,2$. 
\item Compléter l'arbre pondéré représentant la situation donné en annexe 1. 
\item Définir par une phrase l'évènement $V \cap C$ et calculer sa probabilité. 
\item Montrer que : $p(C) = 0,375$. 
\item On a choisi un biscuit contenant des pépites de chocolat. Quelle est la probabilité que ce soit un biscuit à la vanille ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

La consommation de produits issus de l'agriculture biologique est en hausse depuis plusieurs années. Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffre d'affaires de la consommation alimentaire biologique en France de 2005 à 2010, en millions d'euros.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2005 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline 
Rang $\left(x_{i}\right)$ &0 &2 &3 &4 &5\\ \hline  
Chiffre d'affaires $\left(y_{i}\right)$ (en millions d'euros)& \np{1564} &\np{2069} 
&\np{2561} &\np{3055} &\np{3385}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Source : Évaluation de la consommation alimentaire biologique - Agence BIO / ANDi}}\\
\end{tabularx} 
\end{center}
 
\begin{center} \textbf{Les parties A et B suivantes sont indépendantes.} \end{center}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Premier modèle : évolution annuelle moyenne
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide du tableau précédent, déterminer le taux d'évolution global du chiffre d'affaires de la consommation alimentaire biologique entre 2005 et 2010. Le résultat sera donné en pourcentage arrondi à $0,1$\,\%. 
\item Démontrer que le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires de la consommation alimentaire biologique entre 2005 et 2010 est d'environ $16,7$\,\%. 
\item On suppose que le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires reste le même jusqu'en 2013. Estimer le chiffre d'affaires prévisible en 2013, arrondi au million d'euros.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Second modèle : ajustement affine
 
Le nuage de points associé à cette série statistique à deux variables est représenté dans un repère orthogonal en annexe 2.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage et le placer dans le graphique en annexe 2. 
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$, droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième. 
\item Dans cette question, on prend pour équation de la droite $D : y = 378x + \np{1470}$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $D$ dans le repère fourni en annexe 2. 
		\item En utilisant cet ajustement, estimer le chiffre d'affaires de la consommation alimentaire biologique en France en 2013.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [10~;~75] par : 

\[f(x) = - 0,5x^2 + 55x + 500 - 450\ln (x).\]
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [10~;~75] et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [10~;~75] , on a $f'(x) = \dfrac{(x - 10)( 45 - x)}{x}$. 
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [10~;~75] et en déduire les variations de la fonction $f$. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on arrondira les résultats au dixième) : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&10 		&15 	&25 &35 &45 &55 	&65 	&70 &75\\ \hline 
$f(x)$ 	&$- 36,2$ 	&$- 6,1$&	&	&	&$209,2$&$84$	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal où l'on prendra pour unités graphiques : 1~cm pour $5$ unités en abscisses et 1~cm pour $50$~unités en ordonnées.
 
L'entreprise de Monsieur Lou produit des lampadaires pour l'éclairage public.
 
Pour des raisons techniques, la production journalière de lampadaires est toujours comprise entre $10$ et $75$ lampadaires.
 
Pour $x$ lampadaires produits, $x$ appartenant à l'intervalle [10~;~75], le bénéfice réalisé par l'entreprise en dizaines d'euros est égal à $f(x)$. 
\item À l'aide de la courbe représentative de la fonction $f$ et avec la précision permise par le graphique, déterminer pour quelles quantités de lampadaires l'entreprise de Monsieur Lou est bénéficiaire. 
\item Quel est le bénéfice maximal réalisé par l'entreprise, à l'euro près ? Pour quelle quantité de lampadaires est-il atteint? 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1\\
À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
 
\textbf{EXERCICE 2}

\vspace{2cm} 

\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$V$~}\taput{\ldots}}
	  { 
		  \TR{~$C$~}\taput{\ldots}
		  \TR{~$\overline{C}$~}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{~$O$~}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{~$C$~}\taput{\ldots}
		  \TR{~$\overline{C}$~}\tbput{\ldots}	 
	  }
	\pstree{\TR{~$N$~}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{~$C$~}\taput{0}
		  \TR{~$\overline{C}$~}\tbput{1}	
	  }	
}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2\\
À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
 
\textbf{EXERCICE 3}

\bigskip

Chiffre d'affaires de la consommation alimentaire biologique en France, en millions d'euros, de 2005 à 2010 
\vspace{1cm} 

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.004cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(9,3600)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,0)(\n,3600)}
\multido{\n=0+200}{19}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=1200,Dy=200]{->}(0,0)(-0.1,-50)(9,3600)
\uput[d](8.9,0){$x$}
\uput[l](0,3580){$y$}\uput[d](0,-40){0}
\uput[l](-0.13,0){1200}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,364)(2,869)(3,1361)(4,1855)(5,2185)
\end{pspicture}
\end{center} 

\end{document}