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%Tapuscrit : Denis Vergès
%sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise,\\ gestion des systèmes d'information}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{7 mars 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\7 mars 2014}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un Q.C.M.. Pour chacune des questions posées. une seule des trois réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. \\
Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. L'absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne le nombre de nuitées (en milliers) dans les hôtels en France métropolitaine, entre 2005 et 2011.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,5cm}|*{7}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline 
Nombre de  nuitées dans les hôtels 3 étoiles&\np{53285,1} &\np{54197,7} &\np{57300,2} &\np{57381,1} &\np{54524,7} &\np{56536,1} &\np{60688,7}\\ \hline  
Nombre total de nuitées dans les hôtels&\np{192660,7} &\np{191925,2} &\np{198927,0} &\np{197615,0} &\np{187971,6} &\np{192172,4} &\np{198367,3}\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source: Insee}}  
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item La proportion (arrondie à 0,1\,\%) des nuitées dans les hôtels 3 étoiles par rapport à l'ensemble des nuitées en hôtels pour l'année 2011 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} 30,6\,\%& \textbf{b.~~} 69,4\,\%& \textbf{c.~~} 3,3\,\% 
\end{tabularx}
\medskip

\item À partir des informations du tableau ci-dessus, on construit avec un tableur, la feuille de calcul suivante :
 
\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2,5cm}|*{7}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline
1&Année &2005&2006&2007&2008&2009&2010&2011\\ \hline
2&Nombre de nuitées dans les hôtels 3 étoiles&\np{53285,1}&\np{54197,7}&\np{57300,2}&\np{57381,1}&\np{54524,7}&\np{56536,1}&\np{60688,7}\\ \hline 
3&Taux d'évolution&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  
La ligne 3 est au \textbf{format pourcentage}. 

La formule qui, saisie dans la cellule C3 et recopiée vers la droite, permet d'obtenir le taux d'évolution du nombre de nuitées dans les hôtels 3 étoiles d'une année à l'autre, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} = C2-B2/B\$2&\textbf{b.~~} = (C2-B2)/B2&\textbf{c.~~} 
= C2-B2/B2
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Le taux d'évolution (arrondi à 0,01\,\%) du nombre de nuitées dans les hôtels 3 étoiles entre 2005 et 2011 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}  2,96\,\%&\textbf{b.~~} 1,14\,\%& \textbf{c.~~} 13,89\,\%
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Le taux d'évolution annuel moyen (arrondi à 0,01\,\%) du nombre de nuitées dans les hôtels 3 étoiles entre 2005 et 2011 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} 2,19\,\%& \textbf{b.~~} 2,32\,\% &\textbf{c.~~} 1,88\,\% 
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
 
Une émission de télé-réalité est diffusée une fois par semaine. On désire, dans cet exercice, étudier les audiences de cette émission sur un groupe de \np{1000}~adolescents. La première semaine, 400 adolescents de ce groupe ont regardé l'émission.

\medskip
 
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Évolution de l'audience entre la première et la deuxième semaine}

\medskip
 
Pendant les deux premières semaines, on a pu constater que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 40\,\% des adolescents du groupe ont regardé l'émission la première semaine ; 
\item[$\bullet~~$] Parmi ceux qui ont regardé l'émission la première semaine, 90\,\% ont aussi regardé l'émission la deuxième semaine ; 
\item[$\bullet~~$] Parmi ceux qui n'ont pas regardé l'émission la première semaine, 10\,\% ont regardé l'émission la deuxième semaine.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard un adolescent du groupe. On note :

\medskip
 
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement : \og L'adolescent a regardé l'émission la première semaine \fg 
\item[ ] $\overline{A}$ l'évènement : \og L'adolescent n'a pas regardé l'émission la première semaine \fg 
\item[ ] $B$ l'évènement : \og L'adolescent a regardé l'émission la deuxième semaine \fg 
\item[ ] $\overline{B}$ l'évènement : \og L'adolescent n'a pas regardé l'émission la deuxième semaine \fg
\end{description}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire ces informations à l'aide d'un arbre de probabilités. 
\item Calculer la probabilité de $A \cap B$. Interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase. 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$ est $0,42$. 
\item Sachant que l'adolescent a regardé l'émission la deuxième semaine, calculer la probabilité qu'il ait regardé l'émission la première semaine. Arrondir au centième.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Audience le jour de la finale}

\medskip
 
On estime dans cette partie que les audiences augmentent chaque semaine de 5\,\%.
 
On note $u_{n}$ le nombre d'adolescents du groupe ayant regardé l'émission la $n$-ième semaine. On a ainsi $u_{1} = 400$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_{2}$. 
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Justifier. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item La finale de cette émission se déroule la douzième semaine. Combien d'adolescents du groupe ont regardé la finale ? Arrondir le résultat à l'unité. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude du nombre de licenciés dans un club de Taekwondo}

\medskip
 
Fondé en 1990, le club de Taekwondo de la ville de Estégé a connu une forte augmentation de son nombre de licenciés. Le tableau ci-dessous donne le nombre de licenciés pour certaines années :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &1992 &1996 &1998 &2001 &2003 &2006 &2008\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$ &2 &6 &8 &11 &13 &16 &18\\ \hline 
Nombre de licenciés $y_{i}$ &18 &26 &32 &42 &50 &68 &82\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, notée (D), de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
 
Les calculs seront faits à la calculatrice et les valeurs cherchées seront arrondies au dixième ; on ne demande aucune justification. 
\item Le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donné dans l'annexe 1.

Tracer dans le même repère la droite (D). 
\item En 2012, le nombre de licenciés est de $123$. L'ajustement affine est-il approprié ? Justifier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~26] par 

\[f(x) = 13,5 \text{e}^{0,1x}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$, où $f'$ désigne la dérivée de $f$ sur [0~;~ 26]. 
\item Quel est le sens de variation de $f$ ? Justifier. 
\item Résoudre par le calcul sur l'intervalle [0~;~26] l'inéquation $f (x) \geqslant 150$. 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ donné en annexe 2. On arrondira les valeurs à l'unité. 
		\item Tracer la courbe de la fonction $f$ dans le repère de l'annexe 1.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on utilise la fonction $f$ pour ajuster la série présentée à la partie A.
 
À partir de quelle année dépassera-t-on les $150$~licenciés dans ce club ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip
 
Pour équiper le personnel d'une entreprise de communication, la direction fait appel à un fournisseur informatique qui lui propose deux lots :
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]un lot A contenant 8 clés USB et 3 disques durs externes au tarif de 300 € ; 
\item[$\bullet~~$]un lot B contenant 6 clés USB et 1 disque dur externe au tarif de 130 €. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

L'entreprise a besoin d'au moins $120$ clés USB et $30$~disques durs externes.
 
On cherche à déterminer le nombre $x$ de lots A et le nombre $y$ de lots B pour minimiser la dépense.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que les contraintes pour l'achat de $x$ lots A et $y$ lots B se traduisent par le système suivant dans lequel $x$ et $y$ désignent des inconnues entières: 

\[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c l}
4x + 3y	&\geqslant &60\\ 
3x + y	&\geqslant &30\\ 
x 		&\geqslant &0 \\
y 		&\geqslant &0\\
\end{array}\right.\]
 
\item Sur la figure donnée en annexe 3, on a tracé les droites d'équations respectives: 
 
\[y = -\dfrac{4}{3}x + 20\quad  \text{et}\quad  y = - 3x + 30.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points $M$ du plan dont le couple de coordonnées $(x~;~y)$ vérifie le système $(S)$. 
		\item Avec $10$ lots A et $5$ lots B, l'entreprise peut-elle équiper son personnel ? Justifier la réponse. 
		\item Même question avec $12$ lots A et $10$ lots B.
	\end{enumerate} 
\item Pour minimiser la dépense, notée $d$, la direction utilise un tableur. Un extrait de la feuille de calcul est donné en annexe 4. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la dépense $d$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Parmi les trois formules suivantes, indiquer sur votre feuille celle qui, écrite dans la cellule B2 et recopiée vers la droite et vers le bas sur la plage B2 : P10, permet de remplir le tableau donné en annexe 4.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}		 
=300* A\$2+ 130*\$B 1& =300* A\$2+ 130*B\$1& =300*\$A2+130*B\$1
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
À l'aide du graphique, rayer toutes les cellules qui ne correspondent pas à des solutions du système $(S)$. 
		\item En déduire le nombre $x$ de lots A et le nombre $y$ de lots B qui engendrent une dépense minimale.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 1 (exercice 3) à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(27,210)
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,200)}
\multido{\n=0+5}{41}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.9,-5)(27,210)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.7](2,18)(6,26)(8,32)(11,42)(13,50)(16,68)(18,82)
\uput[u](25,0){Rang de l'année}\uput[dl](0,0){$0$}
\uput[r](0,205){Nombre de licenciés}  
\end{pspicture} 

\vspace{1cm}
 
\textbf{\large ANNEXE 2 (exercice 3) à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&0&4&7&10&12&15&17&20&26\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1} 
\end{center}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 3 (exercice 4) à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}
 
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.35cm}
\def\pshlabel#1{\footnotesize#1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize#1}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2)(39,34)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(39,34)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.9,-0.9)(39,34)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-1}{16}{20 x 4 mul 3 div sub}
\rput{-72}(2,26){$y = - 3x + 30$}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-1}{11}{30 x 3 mul sub}
\rput{-54}(12,6){$y = - \frac{4}{3}x + 20$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

\vspace{2cm}
 
\textbf{\large ANNEXE 4 (exercice 4) à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{15}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P\\ \hline
1&\diagbox{$x$}{$y$}&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\ \hline 
2&0&0&130 &260 &390&520&650 &780 &910 &\np{1040} &\np{1170} &\np{1300} &\np{1430} &\np{1560} &\np{1690} &\np{1820}\\ \hline 
3&1&300& 430 &560 &650 &820 &950 &\np{1080} &\np{1210} &\np{1340}&\np{1470} &\np{1600} &\np{1730} 
&\np{1860} &\np{1990} &\np{2120}\\ \hline 
4&2&600 &730 &860 &990 &\np{1120} &\np{1250} &\np{1380} &\np{1510} &\np{1640} &\np{1770} &\np{1900}&\np{2030} &\np{2160} &\np{2290} &\np{2420}\\ \hline 
5&3&900 &\np{1030} &\np{1160} &\np{1290} &\np{1420} &\np{1550} &\np{1680} &\np{1810} &\np{1940} &\np{2070} &\np{2200} &\np{2330} &\np{2460} &\np{2590} &\np{2720}\\ \hline 
6&4 &\np{1200} &\np{1330} &\np{1460} &\np{1590} &\np{1720} &\np{1850} &\np{1980} &\np{2110} &\np{2240} &\np{2370} &\np{2500} &\np{2630} &\np{2760} &\np{2890} &\np{3020}\\ \hline 
7& 5 &\np{1500} &\np{1630} &\np{1760} &\np{1890} &\np{2020} &\np{2150} &\np{2280} &\np{2410} &\np{2540} &\np{2670} &\np{2800} &\np{2930} &\np{3060} &\np{3190} &\np{3320}\\ \hline 
8&6 &\np{1800} &\np{1930} &\np{2060} &\np{2190} &\np{2320} &\np{2450} &\np{2580} &\np{2710} &\np{2840} &\np{2970} &\np{3100} &\np{3230} &\np{3360}&\np{3490} &\np{3620}\\ \hline 
9 &7 &\np{2100} &\np{2230} &\np{2360} &\np{2490} &\np{2620} &\np{2750} &\np{2880} &\np{3010} &\np{3140} &\np{3270} &\np{3400} &\np{3530} &\np{3660} &\np{3790} &\np{3920} \\ \hline
10 &8 &\np{2400} &\np{2530} &\np{2660} &\np{2790} &\np{2920} &\np{3050} &\np{3180} &\np{3310} &\np{3440} &\np{3570} &\np{3700}&\np{3830} &\np{3960} &\np{4090} &\np{4220}\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}
