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%Sujet aimablement fourni par l'académie de Martinique
%Tapuscrit Denis Vergès
%Corrig\'e : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSI}
\lfoot{\small{Métropole\hspace{3mm}correction}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}%\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\gray Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI \\
Métropole 13 septembre 2012\hspace{3mm} Correction}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1\hfill  4 points}

\medskip


Selon un sondage réalisé sur un échantillon de personnes en France, 57\,\% des personnes interrogées sont parties en vacances en 2010, mais 17\,\% de ces personnes n'ont pas pu repartir en 2011.
 
On choisit au hasard une personne dans cet échantillon.
 
On note $A$ l'évènement \og la personne interrogée est partie en vacances en 2010 \fg{} 
et $\overline{A}$  l'évènement contraire.
 
On note $B$ l'évènement \og la personne interrogée est partie en vacances en 2011 \fg{} et $\overline{B}$ l'évènement contraire.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donnons  à partir de l'énoncé $P(A)$ et $P_{A}\left(\overline{B}\right)$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $P(A)=\np{0.57}$ car 57\,\% des personnes interrogées sont parties en vacances en 2010.
\item[$\bullet$]  $P_{A}\left(\overline{B}\right)=\np{0.17}$ car 17\,\% de ces personnes n'ont pas pu repartir en 2011. \end{itemize}
\item Construisons l'arbre illustrant les données.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=1ex]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$0,57$}}
		{
\TR{$B$}\taput{\np{0.83}}
\TR{$\overline{B}$}\tbput{\np{0.17}}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{\np{0.43}}}
		{
\TR{$B$}\taput{\np{0.18}}
\TR{$\overline{B}$}\tbput{\np{0.82}}
 		}
}
\end{center}

\item $P(A\cap \overline{B})$ est la probabilité que la personne interrogée soit partie en vacances en 2010 et qu'elle n'ait pas pu repartir en 2011. $P(A\cap \overline{B})=\np{0.57}\times \np{0.17}=\np{0.0969}$
\item 18\,\% des personnes n'ayant pas pu partir en 2010 sont parties en vacances en 2011 par conséquent $P_{\overline{A}}(B)=\np{0.18}$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B})=1-\np{0.18}=\np{0.82}$  .
 
L'évènement $\overline{A} \cap  \overline{B}$ est l'évènement \og la personne n'est partie en vacances ni en 2010 ni en 2011\fg. 

$P(\overline{A} \cap  \overline{B})=\np{0.43}\times \np{0.82}=\np{0.3526}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2\hfill  6 points}

\medskip
 
La capacité d'énergie photovoltaïque recensée dans le monde de 2005 à 2010 est donnée par le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.7cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline 
Capacité (en gigawatt) $y_{i}$& 5,4 &7 &9,5 &16 &24 &39\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{\emph{Source : programme des Nations Unies pour l'environnement}}
\end{tabularx}

\medskip
 
On considère la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ donnée par le tableau ci-dessus. Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donné en \textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{6.44}x+\np{5.73}$, les coefficients étant arrondis à $0,01$ près. 
		\item La droite $D$ est tracée dans le repère de l'\textbf{annexe 1}. 
		\item Pour cette question, on retient comme ajustement affine la droite d'équation $y = 6,4x - 5,73$. 
		
En supposant que le modèle précédent reste valable pour les deux années suivantes, la capacité (en gigawatt) d'énergie photovoltaïque estimée pour 2012  est obtenue en calculant la valeur de $y$ pour $x=8$, rang de l'année. \[y=\np{6.4}\times 8 +\np{5.73}\approx\np{45,47}.\]
La capacité  d'énergie photovoltaïque estimée pour 2012 est d'environ \np{45.47}~GW.
	\end{enumerate} 
\item Trouvant cet ajustement trop approximatif, les spécialistes lui préfèrent l'ajustement donné par la relation \mbox{$y = 3,3 \text{e}^{0,4 x}$.}
 
Soit $f$ la fonction définie sur [1~;~8] par 

\[f(x) = 3,3 \text{e}^{0,4 x}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons $f^{\prime}(x)$. La fonction dérivée de $f$ est définie par $f^\prime(x)=\np{3.3}(\np{0.4}\e^{\np{0.4}x})=\np{1.32}\e^{\np{0.4}x}$. 
		\item Si pour tout $x\in I,\:f^{\prime}(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Pour tout $x\in[1~;~8]\ f^\prime(x)>0$ comme produit de nombres strictement positifs. Par conséquent $f$ est strictement croissante sur [1~;~8].

		\item Complétons le tableau de valeurs.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		 
$x$		&1 	&2 	& 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline
$f(x)$	&\np{4.9}	&\np{7.3}	&\np{11.0}	&\np{16.3}	&\np{24.4}	&\np{36.4}	&\np{53.3}	&\np{81.0}\\ \hline
\end{tabularx}
{\scriptsize Les valeurs de $f(x)$ sont arrondies à $0,1$ près}
\medskip
 
		\item  La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ est tracée dans le repère de l'annexe 1.
		\item Selon ce modèle, estimons la capacité (en gigawatt) d'énergie photovoltaïque  pour 2012. Pour ce faire, calculons $f(8)$. $f(8)=\np{3.3}\e^{\np{0.4}\times 8}\approx \np{80.957}$.
		
		Selon ce modèle, la capacité d'énergie photovoltaïque estimée pour 2012 est d'environ \np{80.96}~GW.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill  5 points}

\medskip
{\scriptsize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}
}
\medskip
 
Une action cotée en bourse prend les valeurs suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Mois &\footnotesize janvier &\footnotesize février &\footnotesize mars &\footnotesize avril &\footnotesize mai &\footnotesize juin &\footnotesize juillet &\footnotesize août &\footnotesize sept. &\footnotesize octobre \\ \hline
 Valeur en euros &258 &273 &310 &389 &178 &127 &$\cdots$ &109 &$\cdots$ &97\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'action a baissé de 11,6\,\% entre juin et juillet. 
La valeur de l'action en juillet est donc de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} \cancel{115,4 }&\textbf{b.~~}\cancel{ 141,73 }&\textbf{c.~~}\cancel {113,80 }&\ovalbox{\textbf{d.~~} 112,27}
\end{tabularx}
{\scriptsize $127\times (1-\np{0.116})=127 \times\np{0.884}$}
\medskip
 
\item L'action a baissé de 8\,\% de septembre à octobre.

La valeur de l'action en septembre est donc de : 
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \cancel{105,00} &\textbf{b.~~}\ovalbox{ 105,43} &\textbf{c.~~} \cancel{104,76} &\textbf{d.~~} \cancel{89,81}
\end{tabularx}
{\scriptsize $\dfrac{97}{1-\np{0.08}}$ }
\medskip
 
\item Le taux d'évolution global de janvier à octobre est de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} \ovalbox{$- 62,4$\,\%} &\textbf{b.~~} \cancel{$- 65,98$\,\%} &\textbf{c.~~} \cancel{65,98\,\% }&\textbf{d.~~} \cancel{$- 61$\,\%}
\end{tabularx}
{\scriptsize Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\tiny valeur finale}}-\text{\tiny valeur initiale}}{\text{\tiny{valeur initiale}}}$ \  $T=\dfrac{97-258}{258}$}


\medskip
 
\item La meilleure approximation du taux d'évolution moyen mensuel entre janvier et octobre est de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} \cancel{$- 6,93$\,\% }&\textbf{b.~~} \cancel{$- 7,33$\,\% }&\textbf{c.~~}\cancel{$- 5,79$\,\%} &\textbf{d.~~} \ovalbox{$- 10,30$\,\%} 
\end{tabularx}
{\scriptsize $(1+T)=(1+t_m)^9$ d'où $t_m=(1-\np{0.6240})^{\tfrac{1}{9}}-1$}
\medskip

\item En prenant pour indice de base 100 la valeur de l'action au mois de janvier, l'indice de la valeur de l'action au mois d'août est de: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \ovalbox{42,2} &\textbf{b.~~}\cancel{ 97} &\textbf{c.~~} \cancel{131} &\textbf{d.~~} \cancel{237}
\end{tabularx}
{\scriptsize $\dfrac{258}{100}=\dfrac{109}{I_8}$}

\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4\hfill  5 points}

\medskip

Pauline veut monter une boutique de vente de bijoux et elle étudie avec son banquier les différentes possibilités d'évolution de ses ventes. 

Elle suppose que, le chiffre d'affaires du premier mois, le mois de janvier, sera de 600 ~euros.
 
Elle utilise une feuille de calcul sur tableur donnée en annexe 2 pour simuler la situation.

%\bigskip
 \newpage
\textbf{Partie A : première hypothèse}

\medskip
 
Son chiffre d'affaires augmente tous les mois de 75~euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Une formule que Pauline peut saisir dans la cellule C3 pour que, recopiée vers le bas, elle permette de remplir les cellules de la plage C3~:~C17 est  : \hspace{3mm} \fbox{=C2 +75}\hspace{1cm}ou\hspace{1cm} \fbox{=\$C2+75}
\item  Le chiffre d'affaires qu'elle peut alors espérer obtenir au mois de septembre est 1200~\euro. En effet, nous avons, par définition,  une suite  arithmétique de raison 75. Le terme général est $600+75n$, au mois de septembre $n=8$.

Au mois d'octobre, $n=9$,  elle peut donc espérer $\np{1275}$~\euro.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : seconde hypothèse}

\medskip
 
Son chiffre d'affaires augmente tous les mois de 9\,\%. 

\begin{enumerate}
\item On se propose de représenter le chiffre d'affaires mensuel à l'aide d'une suite $\left(u_{n}\right)$ : on note $u_{0}$ sa valeur au mois de janvier et $u_{n}$ sa valeur au $n$-ième mois après le mois de janvier. 
	\begin{enumerate}
		\item  La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de  premier terme $u_{0}=600$ et de  raison \np{1.09}. En effet, chaque terme,  sauf le premier, se déduit du précédent en le multipliant par un même nombre, \np{1.09}c'est-à-dire le coeficient multiplicateur associé à une évolution de 9\,\%.    
		\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. Par conséquent, $u_{n}=600(\np{1.09})^n$.  
		\item  $u_{8}=600\times \np{1.09}^8\approx \np{1195.54}$ et $u_{9}=600\times \np{1.09}^9\approx \np{1303.14}$.
	\end{enumerate} 
\item Pour $n \leqslant 8$, l'hypothèse la plus favorable au commerce de Pauline est la première hypothèse et pour $n \geqslant 9$ l'hypothèse la plus favorable au commerce de Pauline est la seconde hypothèse.

\end{enumerate}
	 
\bigskip
 
\textbf{Partie C : calcul du bénéfice}

\medskip
 
Les charges mensuelles de Pauline s'élèvent à 850~euros.
 
Pauline crée dans sa feuille de calcul une colonne permettant de calculer, à partir de la seconde hypothèse, ses bénéfices mensuels (les pertes sont considérées comme des bénéfices négatifs).
 
Une formule que Pauline peut saisir dans la cellule E2, pour que, recopiée vers le bas, elle permette de remplir les cellules de la plage E2~:~E17 est : \hspace{2mm}\fbox{=D2-850}\hspace{5mm} ou \hspace{5mm} \fbox{=\$D2-850}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 : à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}
 
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(9,85)
\multido{\n=0.0+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,85)}
\multido{\n=0.0+2.5}{35}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(9,85)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](1,5.4)(2,7)(3,9,5)(4,16)(5,24)(6,39)
\uput[u](8,0){Rang de l'année}\uput[u](1.5,85){Capacité d'énergie photovoltaïque recensée}
\psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=blue]{1}{8}{ 2.71828 0.4 x mul exp 3.3 mul}
\psplot[linewidth=0.5pt,linecolor=cyan]{1}{8}{6.44 x mul 5.73 sub}
\uput[dr](7.5,43.5){$D$}\uput[d](7.5,80){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2}

\vspace{1cm} 


\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A	&B &C &D &E\\ \hline 
1	&mois &valeur de $n$ &1\up{re} hypothèse &2\up{e} hypothèse &bénéfices mensuels\\ \hline 
2	& janvier 	&0 	&600&600,00 &$- 250,00$\\ \hline 
3 	&février 	&1 	&675&654,00	&\\ \hline 
4 	&mars 		&2	&750&	712,86	& \\ \hline
5 	&avril 		&3	&825	&\np{777.02}		& \\ \hline 
6	& mai		& 4	&900	&\np{846.95}		& \\ \hline 
7 	&juin 		&5 	&975	&\np{923.17}		& \\ \hline
8 	&juillet 	&6	&\np{1050}	&\np{1006.26}		& \\ \hline 
9 	&août 		&7	&\np{1125}	&\np{1096.82}		& \\ \hline 
10 	&septembre 	&8	&\textcolor{blue}{\np{1200}}	&\textcolor{blue}{\np{1195.54}}	& \\ \hline 
11 	&octobre 	&9 	&\textcolor{blue}{\np{1275}}	&\textcolor{blue}{\np{1303.14}}		& \\ \hline
12 &novembre 	&10 &\np{1350}	&\np{1420.41}		& \\ \hline 
13 &décembre 	&11 &\np{1425}	&\np{1548.26}		& \\ \hline 
14 &janvier 	&12 &\np{1500}	&\np{1687.60}		& \\ \hline
15 &février 	&13 &\np{1575}	&\np{1839.48}		& \\ \hline
16 &mars 		&14 &\np{1650}	&\np{2005.04}		& \\ \hline
17 &avril 		&15 &\np{1725}	&\np{2185.48}		& \\ \hline
18 &mai 		&16 &\np{1800}	&\np{2382.18}		& \\ \hline
19 &juin 		&17 &\np{1875}	&\np{2596.58}		& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{document}